【関手】

圏$C$から圏$D$への対象、射の間の対応$F$が次の条件をみ

たすとき、これを関手(functor)と呼ぶ。
$\bullet$ $C$の射$X \overset{f}\rightarrow Y$を$D$の射$F(X) \overset{F(f)}\rightarrow F(Y)$に
対応させる。
$\bullet$ $C$の射$f,g$について
$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$である
$\bullet$ $C$の対象$X$に付随する恒等射$1_{X}$について
$F(1_{X})=1_{{F}(X)}$である。

$\mathscr{A},\mathscr{B}$を圏とする。関手(functor)$F:\mathscr{A}\to \mathscr{B}$とは、
$\bullet$ $A \longmapsto F(A)$と書かれる関数 $ob(\mathscr{A})\to ob(\mathscr{B})$
$\bullet$ $A,A'\in \mathscr{A}$について$f \longmapsto F(f)$と書かれる関数 $\mathscr{A}(A,A')\to \mathscr{B}(F(A),F(A'))$
からなり、以下の公理を満たすもののことである。
$\bullet$ $\mathscr{A}$で$A\overset{f}{\longrightarrow} A' \overset{f'}{\longrightarrow}A''$となるものについて$F(f'\circ f)=F(f')\circ F(f)$
$\bullet$ $A\in \mathscr{A}$について$F(1_{A})=1_{F(A)}$
\[ \boxed{\mathscr{A}\ \ \ \xymatrix{ A \ar[r]^{f} \ar[rd]_{f'\circ f} & A' \ar[d]^{f'}\\ & A'' }} \;\overset{F}{\longrightarrow}\; \boxed{\mathscr{B}\ \ \ \xymatrix{ F(A) \ar[r]^{F(f)} \ar[rd]_{F(f'\circ f)} & F(A') \ar[d]^{F(f')}\\ & F(A'') }} \]