$$13\div 2=5\cdots 3\ ,\ 150\div 9\cdots 6\ などは、誰もが小学校で習ったおなじみの$$
$$計算です。言いかえると13=2 \times 5+3,150=9\times 16+6のことですが、$$
$$ある数を同じ数で割ったときの余りの数に着目します。余りが同じ数なら、元の$$
$$数は同じものと考えます。わかりやすい例をあげると、暦の曜日がいいでしょうか。$$
$$カレンダーの各曜日の欄に並ぶ数は7で割った余りが同じものです。いま、ある数aをn$$
$$で割ったときの余りをrとしたとき、\ a\equiv r\pmod n\ と表し、これを合同式といいます。$$
$$つまり、これらは、余りがどれも同じという意味で、=ではないが同じものと見なそう$$
$$という考え方なのです。しかし、=という記号を使うのはためらわれるので\equivを使おう$$
$$ということになったと考えればいいのでしょうか。$$
$$8\equiv 15\equiv 22\equiv 29\equiv 1\pmod 7$$
$$という訳です。7で割ったあまりの数は、0,1,2,\cdots ,6ですが、$$
$$2018年1月は\ \pmod 7で$$
$$日曜日を\ 0,月を\ 1,火を\ 2,\cdots ,土を 6$$
$$ と見なすことになります。$$
$$何年前、何年先のある日が何曜日かを知るには、少し手間がかかります。$$
$$１年は、うるう年でなければ、３６５日です。$$
$$これを７で割ると、$$
$$３６５ ÷ ７ ＝ ５２ あまり １$$
$$つまり、ちょうど１年後の同じ日付の曜日は、１つ進んだものになります。$$
$$そして、２年後ならば２つ進み、３年後なら３つ進みます。$$
$$ただし、その間に閏（うるう）年の２月２９日がはさまっていると、もう１つ余計に進みます。$$
$$現在採用されているグレゴリオ暦の規則で、閏年は$$
$$西暦年が4で割り切れる年は閏年。$$
$$ただし、西暦年が100で割り切れる年は平年。$$
$$ただし、西暦年が400で割り切れる年は閏年。$$
$$と決められています。$$
$$実際には、y年m月d日の曜日は、$$
$$\left(y + \left[\frac{y}{4}\right] - \left[\frac{y}{100}\right] + \left[\frac{y}{400}\right]+\left[\frac{13m + 8}{5}\right] + d\right) \pmod 7$$
(ツェラー(Zeller)の公式)
$$というものでわかります。（ただし、1月,2月の場合は(y-1)年の13月,14月としている。）$$
$$[x]はガウス記号といい、その数を超えない最大の整数を表す記号。$$
$$このようなところに合同式は使われているのですが、合同式の計算規則は、$$
$$次のとおりです$$
$$a\equiv b,c\equiv d\ なら\ a\pm c\equiv b\pm d$$
$$a\equiv b,c\equiv d\ なら\ ac\equiv bd$$
$$初等整数論/合同式について、簡単にふれましたが、正確に、また詳しくは、$$
wikibooksなどに解説がありますので、そちらを参照して下さい。
