立方根

Q.

　立方根の求め方を教えてください。

A.

　正の数aの立方根の近似値は，a^(1/3)で求めることができます。
しかし，BASICの計算では1/3は誤差を持つので，aの立方根をa^(1/3)で計算すると誤差を含みます。
十進BASICでは1/3の計算結果は 0.333333333333333333333333333 となるので，1/3が持つ計算誤差は 0.333…×10^-17です。
f(x)=a^x のとき，f ' (x)=a^xloga なので，誤差は，およそ
a^1/3−a^{0.333333333333333333333333333}≒a^1/3log a×0.333…×10^-17
となり，log a > 3 で相対誤差が10^-17を超えます。 つまり，a>20 だと誤差を無視できなくなります。
一方，a≦1E99（MAXNUM）のとき相対誤差は10^-15を超えないので近似計算としては十分な精度があるともいえます。
なお，15桁以内の自然数nが立方数かどうかの判定は，n=ROUND(n^(1/3), 0)^3 で行えます。
なぜかというと，n<10¹⁶のとき，n^1/3logn×0.333…×10^-17は1に比べれば十分に小さいからです。