宝くじの高額当籤 (せん) 者を探しましょう。

最近一年間に 1000 万円以上の高額当籤者になった人が、あなたの知り合いにどの程度の確率でいるか計算します。

知り合いの数を 人 とし、 以上の高額当籤者に関して

解題

数字の計算方法についてコメントしておきます。
途中にはけっこう乱暴な仮定がはさまっていたりしますが、 具体的なデータが無かったり、処理が大変になったりといった理由でそうしています。

知り合い全員が高額当籤者でない確率を求める

T = 総人口
B = 一年間に一枚以上宝くじを購入する人数
W = 一年間の高額当籤者数
F = あなたが持つ知り合いの数

とします。また、以下の三条件を措定します。

(1) T における B の分布にばらつきがない。
(2) B のメンバーは、全ての種類の宝くじを一枚以上購入する。
(3) B における W の分布にばらつきがない。

この場合、
あなたの知り合いの中で一年間に宝くじを一枚以上購入する人間の数 b
宝くじ購入者が高額当籤者になれない確率 p
はそれぞれ、

b = F B / T
p = 1 - (W / B)

となります。以上から、あなたの知り合い全員が高額当籤者でない確率 P は

FB/T
P = Π (1 - (W / (B - i + 1)))
i = 1

と求めることが出来ます。
ただし、この場合 FB/T の値は常に B と比べて十分に小さいとみなし（実際はそうも言えないが）、 代わりに以下の式で P を求めます。

P = (1 - (W / B))FB/T

T, B, W については、 日本宝くじ協会 が公開しているデータに従い、それぞれ

T = 100300000
B = 43520000
W1 = 2396
W2 = 1582
W6 = 468

として計算しています。
（W1, W2, W6 はそれぞれ、 1000 万円以上、2000 万円以上、6000 万円以上の高額当籤者数です。）
T, B は 1998 年、W1, W2, W6 は 1997 年のデータです。

「知り合いの数」から 「知り合いの知り合い」および「知り合いの知り合いの知り合い」の数を求める

F1 = あなたが持つ知り合いの数
F2 = あなたの知り合いが持つ、知り合いの数の合計
f2 = あなたの知り合い一人が持つ、知り合いの数の平均
F3 = あなたの知り合いの知り合いが持つ、知り合いの数の合計
f3 = あなたの知り合い一人の知り合い一人が持つ、知り合いの数の平均
（ただし、F1, F2, F3 の間で、互いにメンバーの重複は起こらない。）

とした場合、

F2 = F1 f2
F3 = F2 f3

となります。さらに以下の三式を措定します。

f2 = F1 r
f3 = f2 r
r = 0.5

これにより、「知り合いの知り合い」および「知り合いの知り合いの知り合い」の数は、それぞれ

F2 = F1(F1 r) = F12 r
F3 = F1 f2 f2 r = F1(F1 r) (F1 r) r = F13 r3

と求めることが出来ます。

r = 0.5 という数字に根拠はありません。（直感的に決めました。）

総人口 T を 100300000 とした場合、
F1 = 927 ならば F1 + F2 + F3 < T ですが、
F1 = 928 になると F1 + F2 + F3 > T となります。
従って、0 < F1 < 928 という制限がつきます。

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