生産管理応用例

ある工場でＡ、Ｂ二つの作業係がある。この二つの作業係がＰ１、Ｐ２種類の製品を作っている。Ａ係は経験者がたくさんおるので作業率はＢ係より上回る。一時間Ｐ１製品１０ｋｇ、Ｐ２製品８ｋｇの生産能力がある。一方Ｂ係は新入社員が混じっているため、一時間Ｐ１製品８ｋｇ、Ｐ２製品５ｋｇしか生産能力がない。Ａ、Ｂ二つの作業係とも一日八時間の正常勤務時間が規定される。この勤務時間内作った各製品の利益は、製品Ｐ１が２０円／ｋｇ、Ｐ２が１０円／ｋｇである。また正常時間以外に必要があれば、各係とも一日四時間の残業が許される、残業時間内作った製品利益はＰ１が１５円／ｋｇ、Ｐ２が７円／ｋｇ。少なくとも各作業係とも一日四時間以上働かなければならない。製品販売については、現在の工場の生産能力を十分上回るだけの需要が見込まれている。

この工場の経営方針を目標重用度の順序にまとめると以下になる。

一日の利益を３５００円にする。
Ｐ２製品はこれからの主力製品として売り出すことを考えており、潜在的市場は有望であると判断している。そこで市場獲得のためにも、目標として一日７５ｋｇ以上を生産したいと思っている。
なるべく残業しないこと、もし残業しなければならない場合、Ａ係に先に残業させる。

この工場の目標分析を目標計画法で表現すると下のようなモデルになる。

　　まず変数の設定

Ｘ１１　：　Ａ係正常時間内Ｐ１製品を作る勤務時間。
Ｘ１２　：　Ａ係正常時間内Ｐ２製品を作る勤務時間。
Ｘ１３　：　Ａ係残業時間内Ｐ１製品を作る勤務時間。
Ｘ１４　：　Ａ係残業時間内Ｐ２製品を作る勤務時間。
Ｘ２１　：　Ｂ係正常時間内Ｐ１製品を作る勤務時間。
Ｘ２２　：　Ｂ係正常時間内Ｐ２製品を作る勤務時間。
Ｘ２３　：　Ｂ係残業時間内Ｐ１製品を作る勤務時間。
Ｘ２４　：　Ｂ係残業時間内Ｐ２製品を作る勤務時間。
Ｙ１＋　：　一日の目標利益を超える値。
Ｙ１ー　：　一日の目標利益の不足値。
Ｙ２＋　：　Ｐ２製品の生産量を７５ｋｇ超える値。
Ｙ２ー　：　Ｐ２製品の生産量の目標７５ｋｇ達成不足値。
Ｐ　　　：　一日の利益。
Ｐ　＝　20(10X11 + 8X21) +10(8X12 + 5X22)+ 15(10X13 + 8X23) + 7(8X14+ 5X24)

＜数学モデル＞

　目的関数

　　目標行1　Minimize Ｙ１ー
　　目標行2　Minimize Ｙ２ー
　　目標行3　Minimize Ｘ２３　＋　Ｘ２４
　　目標行4　Minimize Ｘ１３　＋　Ｘ１４

　制約条件

制約行1　Ｐ　＋　Ｙ１ー　ー　Ｙ１＋　＝　３５００
制約行2　８（Ｘ１２　＋　Ｘ１４　＋　５（Ｘ２２　＋　Ｘ２４）　＋　Ｙ２ー　ー　Ｙ２＋　＝　７５
制約行3　４　≦　Ｘ１１　＋　Ｘ１２　≦　８
制約行4　４　≦　Ｘ２１　＋　Ｘ２２　≦　８
制約行5　０　≦　Ｘ１３　＋　Ｘ１４　≦　４
制約行6　０　≦　Ｘ２３　＋　Ｘ２４　≦　４
すべての変数　≧　０

　ＧＬＰＳ用インプット・データ

インプット・データの与え方はＧＬＰＳ操作ガイドを参照していただきたい。実際このモデルのインプット・データはGLPS(DLプログラム)よりの GLPS実行 → ファイル → Sample01 開くを経て、ファイルを開くことによって見ることができます。
実際このモデルのインプット・データは下のようになっています。

TITLE 生産管理応用モデル
MIN Y1-
MIN Y2-
MIN X23 + X24
MIN X13 + X14
ST
200X11 + 160X21 + 80X12 + 50X22 + 150X13 + 120X23 + 56X14 + 35X24 + Y1- - Y1+ = 3500
8X12 + 8X14 + 5X22 + 5X24 + Y2- - Y2+ = 75
4 <= X11 + X12 <= 8
4 <= X21 + X22 <= 8
0 <= X13 + X14 <= 4
0 <= X23 + X24 <= 4
END

　第一回計算結果

　①　作業時間割り

　　Ｘ１１　＝　７．３　　Ｘ１２　＝　０．７
　　Ｘ１３　＝　０　　　　Ｘ１４　＝　４
　　Ｘ２１　＝　８　　　　Ｘ２２　＝　０
　　Ｘ２３　＝　４　　　　Ｘ２４　＝　０

　②　目標分析

　　第一目標　Ｐ　　　＝　３５００　ちょうど達成した。
　　第二目標　Ｙ２－　＝　３７．４，　Ｙ２＋　＝　０　　Ｐ２製品の生産量　＝　３７．６ｋｇ　不足３７．４ｋｇ
　　第三目標　Ｂ係残業４時間。目標達成しなかった。
　　第四目標　Ａ係残業４時間。目標達成しなかった。

　③　モデルの修正

計算結果第一目標の利益目標は達成したけれど、第二目標の生産目標値はどうしても７５ｋｇ以上を生産しなければならない、またＡ，Ｂ係とも毎日残業４時間の要求は明らかに適当ではない、これはすべて第一目標の利益目標値が３５００円のせい。では、いったい利益をいくらに下げれば良いか？
まず第二目標Ｐ２製品の生産目標値７５ｋｇの保証を得てから利益の追求は次の目標に考える、つまり第一目標と第二目標の優先順序を交換してモデルを修正する。

実際インプット・データの修正は次のようになる。(赤色部分)

TITLE 生産管理応用モデル
MIN Y2-
MIN Y1-
MIN X23 + X24
MIN X13 + X14
ST
200X11 + 160X21 + 80X12 + 50X22 + 150X13 + 120X23 + 56X14 + 35X24 + Y1- - Y1+ = 3500
8X12 + 8X14 + 5X22 + 5X24 + Y2- - Y2+ = 75
4 <= X11 + X12 <= 8
4 <= X21 + X22 <= 8
0 <= X13 + X14 <= 4
0 <= X23 + X24 <= 4
END

　第二回計算結果

　①　作業時間割り

　　　Ｘ１１　＝　２．６２５　Ｘ１２　＝　５．３７５
　　　Ｘ１３　＝　０　　　　　Ｘ１４　＝　４
　　　Ｘ２１　＝　８　　　　　Ｘ２２　＝　０
　　　Ｘ２３　＝　４　　　　　Ｘ２４　＝　０

　②　目標分析

　　　第一目標　Ｐ２　　＝　７５ｋｇ目標達成した。
　　　第二目標　利益Ｐ　＝　２９３９前回より５６１減った
　　　第三目標　Ｂ係残業４時間。目標達成しなかった。
　　　第四目標　Ａ係残業４時間。目標達成しなかった。

　③　モデルの修正

第二回計算結果Ｐ２製品の生産目標値は達成した。ただし利益は２９３９以上を要求するのは無理なこともわかった。Ａ、Ｂ作業係とも相変わらず毎日４時間の残業が要求されているのはちょっと気になる。一応利益目標を２０００まで下げて、もう一度計算して見ることにしよう

実際インプット・データの修正は次のようになる。(赤色部分)

TITLE 生産管理応用モデル
MIN Y2-
MIN Y1-
MIN X23 + X24
MIN X13 + X14
ST
200X11 + 160X21 + 80X12 + 50X22 + 150X13 + 120X23 + 56X14 + 35X24 + Y1- - Y1+ = 2000
8X12 + 8X14 + 5X22 + 5X24 + Y2- - Y2+ = 75
4 <= X11 + X12 <= 8
4 <= X21 + X22 <= 8
0 <= X13 + X14 <= 4
0 <= X23 + X24 <= 4
END

　第三回計算結果

　①　作業時間割り

　　Ｘ１１　＝　０．０１７　Ｘ１２　＝　７．９８３
　　Ｘ１３　＝　０　　　　　Ｘ１４　＝　１．３９２
　　Ｘ２１　＝　８　　　　　Ｘ２２　＝　０
　　Ｘ２３　＝　０　　　　　Ｘ２４　＝　０

　②　目標分析

　　第一目標　Ｐ２　　＝　７５ｋｇ目標達成した。
　　第二目標　利益Ｐ　＝　２０００
　　第三目標　Ｂ係残業なし。目標達成した。
　　第四目標　Ａ係残業１．３９２時間。

今回の結果第四目標を除くすべての目標が予定通り達成された、Ａ係の残業時間も最小限に留まり、実行可能だと思う。

しかし連続変数の最適化計算の結果は残業時間は1.392になるのもやむを得ませんが、実際管理上勤務時間は１時間の整数単位が望ましいです。

今度はGLPS正式版のGLPSを使って勤務時間の変数だけ(X11,X12,X13,X14,X21,X22,X23,X24)を整数変数に指定してもう一回実施最適化計算。

実際インプット・データの修正は次のようになる。(赤色部分)

TITLE 生産管理応用モデル
MIN Y2-
MIN Y1-
MIN X23 + X24
MIN X13 + X14
ST
200X11 + 160X21 + 80X12 + 50X22 + 150X13 + 120X23 + 56X14 + 35X24 + Y1- - Y1+ = 2000
8X12 + 8X14 + 5X22 + 5X24 + Y2- - Y2+ = 75
4 <= X11 + X12 <= 8
4 <= X21 + X22 <= 8
0 <= X13 + X14 <= 4
0 <= X23 + X24 <= 4
END
GIN X11,X12,X13,X14,X21,X22,X23,X24

正式版混合整数計算結果

　②　目標分析
　　第一目標　Ｐ２製品＝７７ｋｇ目標達成した。
　　第二目標　利益＝２０１６目標達成した。
　　第三目標　Ｂ係残業なし、目標達成した。
　　第四目標　Ａ係残業２時間。

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