クラスに同じ誕生日の人はいるのか?


不思議なことに、小学校のクラスに一組くらい、同じ誕生日の人がいたりする。 1年間は365日なのだから、重なるのは奇妙のことのように思えるもの。 これを、「誕生日のパラドクス」と呼ぶ。

それについての考察をしてみよう。

誕生日が同じになる確率

1.1 クラスが2人の時

確率を計算すると、

となる。非常に確率は低い。 余事象を使っても確率は計算できる。 この場合、みんなの誕生日が違う確率を出し、1から引けば良い。

同じ結果になった。

1.2 クラスが3人の時

余事象を使って計算すると、下の結果になる。

1.3 クラスが40人の時

余事象を使って計算した結果が下のようになる。

なんと、九割の確率で、同じ誕生日の人が一組いる事になる。 人が集まれば、誕生日が同じ人が出てくるもんなんですね。

1.4 人数と確率の関係は?

計算は面倒くさいので、プログラムにさせてみました。
プログラムリスト実行結果

実行結果は上のようになった。結構少ない人数で、 確率がどんどん上がっていくもんですね。 60人を越えると、ほとんど100%いるというのは驚き。

2. 実際には

研究室の人の誕生日を聞き、19人分のデータを得ることができた。 誕生日の分布を描いてみると、下のようになる。 (グラフの見方は、x軸が日付、y軸が人数となる。 日付は、年の始まりからの日数)

同じ誕生日の人はいなかったものの、誕生日に偏りがあることが分かる。 ちなみに、19人の場合の確率を計算すると、こうなった。

2人や3人の時と比べると、格段に確率が上がっている。

(後日談: そして、さらに研究室の人の誕生日を集めていたら、 同じ誕生日の人がいました。いるだろうなと思いつつ、 やっぱりいると感動です。)

3. さらにデータをとってみると、、

誕生日と誕生日の間に、どれくらいの日数があるのかを数えてみた。

多くの場合、10日以内にだれかの誕生日があるという事になる。 一番間が空くのは、63日だった。 興味深い分布かも?


2項分布ににている?

n=19 p=0.25で計算してみた. 二項分布のプログラム


統計学で基本的な分布のχ(カイ)自乗分布にもにていることに気づいた。 ちなみに、その分布をプロットしてみると、

こんな風。自由度は2で計算。 確率統計って,何でもありっぽいですね. 意味付けは,読者の方でお願いします. 分かったらメールください.