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PrimeFactor!

自然数 (natural number) Nの約数 (divisor) になる素数 (prime number) である素因数 (prime factor) を求め、それを積の形で表す素因数分解 (prime factorization) をします。その結果から導かれる数論的関数 (arithmetic function) の値や自然数Nが属する類 (class) を表示します。

• 素因数分解
• 使用方法
• 利用上の注意
• 最大値
• アルゴリズム
• 整数列大辞典
• 参考文献

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素因数分解の計算

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使用方法

• 9007199254740991 (=2⁵³−1) 以下の自然数を入力、除数 (divisor) の条件を選択してから、[計算]ボタンをクリックします。
• 無平方分解 (square-free factorization) とは、Nを最大平方因子 (largest square factor) lsf²と無平方因子 (square-free factor)［別名: 無平方核 (square-free core)］coreの積 N=lsf²×core に分解することです。
• 二平方和 (Fermat's sum of 2 squares) 分解とは、Nを2つの非ゼロ (nonzero) 平方数の和 a²+b² (0<a≤b) の形で表すことで、√N=lsf√core を斜辺 (hypotenuse) とする直角三角形 (right triangle) の2辺aとbを求めることと等価になります。
• 自然数Nの値や素因数分解の結果から以下の数論的関数の値を求めています。

  素因数の個数 (omega function) ω(N)

  Nの相異なる素因数の個数

  素因数の総数 (big omega function) Ω(N)

  Nの重複も含めた素因数の総数

  素因数の和 (sum of (distinct) prime factors) sopf(N)

  Nの相異なる素因数の和

  素因数の総和 (sum of prime factors with repetition) sopfr(N)

  Nの重複も含めた素因数の総和［別名: 整対数 (integer logarithm)］

  根基 (radical) rad(N)

  Nの相異なる素因数の総積で、最大の無平方約数 (square-free divisor)［別名: 無平方核 (square-free kernel)］

  約数の個数 (count of divisor) σ₀(N)

  Nの約数d (≡d|N) の個数で、0次の約数関数 (divisor function)

  約数の総和 (summation of divisor) σ₁(N)

  Nの約数dの総和で、1次の約数関数

  約数の総積 (product of divisor)

  Nの全ての約数dの積

  オイラーのφ関数 (Euler's totient function) φ(N)

  Nと互いに素 (coprime) である1以上N以下の自然数の個数

  メビウス関数 (Möbius function) μ(N)

  Nが平方因子を持つ場合は0、相異なるk個の素因数に分解されるときは (−1)^kを返す関数

  桁数 (digit number)

  自然数の桁 (digit) の個数

  数字和 (digit sum)

  自然数の各桁の数字を加算した値で「各位の和」と表現される数

  数字根 (digital root)

  数字和を求める操作を繰り返し最終的に得られる1桁の数

  数字積 (digit product)

  自然数の各桁の数字を総乗した値

  逆順数 (reversed digit number)

  自然数の各桁の数字を逆順に並べた数

• 自然数Nが以下の類に属するかを判定しています。

  素数 (prime number)

  2以上の自然数のうち、約数が1と自分自身のみである数

  ピタゴラス素数 (Pythagorean prime)

  ガウス整数 (Gaussian integer) の範囲では分解でき、2つの平方数の和で表される奇素数 (odd prime)

  ガウス素数 (Gaussian prime)

  ガウス整数の範囲でも分解不可能、即ち2つの平方数の和で表すことができない奇素数

  偶素数 (even prime)

  偶数 (even number) である素数で、2のみ

  単数 (unit number)

  1の約数である数で、自然数では1のみ

  合成数 (composite number)

  1と自分自身以外の約数を持ち、2つ以上の素数の積で表すことができる自然数

  半素数 (semiprime)

  合成数のうち、2つの素数の積で表される自然数

  楔数 (sphenic number)

  合成数のうち、相異なる3つの素数の積で表される自然数

  調和数 (harmonic divisor number)

  約数の調和平均 (harmonic mean) H̅=N×σ₀(N)/σ₁(N) が整数になる自然数［別名: オアの調和数 (Ore's harmonic number)］

  完全数 (perfect number)

  自分自身を除く約数の総和に等しくなる自然数。σ₁(N)=2N ⇔ N=2^p−1×M_p ☞ 完全数を含む数列の計算

  不足数 (deficient number)

  自分自身を除く約数の総和より大きい自然数。σ₁(N)<2N

  過剰数 (abundant number)

  自分自身を除く約数の総和より小さい自然数。σ₁(N)>2N

  k倍完全数 (倍積完成数 multiply perfect number)

  約数の総和が元の数の整数k倍になる自然数。σ₁(N)=kN

  概完全数 (almost perfect number)

  不足数で、約数の総和が2N−1に等しくなる自然数。σ₁(N)=2N−1 ⇔ N=2^k

  乗法的完全数 (multiplicative perfect number)

  正の約数の積が自分自身の2乗 (N²) に等しい自然数

  三角数 (triangular number)

  1からnまでの自然数の総和に等しく、一辺n個の正三角形の形に点を並べたときの点の総数N

  矩形数 (pronic number)

  n番目の三角数の2倍に等しく、連続する2つの自然数nとn+1の積で表される自然数N。N=n(n+1)

  平方数 (square number)

  1から2n−1までの奇数 (odd number) の総和に等しく、自然数nの2乗で表される自然数N。N=n²

  立方数 (cubic number)

  自然数nの3乗で表される自然数N。N=n³

  フィボナッチ数 (Fibonacci number) F_n

  漸化式 (recursion formula) F₀=0, F₁=1, F_n+2=F_n+1+F_n (n≥0) で定義される数列を構成する自然数

  リュカ数 (Lucas number) L_n

  漸化式L₀=2, L₁=1, L_n+2=L_n+1+L_n (n≥0) で定義される数列を構成する自然数

  ペル数 (Pell number) P_n

  漸化式P₀=0, P₁=1, P_n+2=2P_n+1+P_n (n≥0) で定義される数列を構成する自然数

  ヤコブスタール数 (Jacobsthal number) J_n

  漸化式J₀=0, J₁=1, J_n+2=J_n+1+2J_n (n≥0) で定義される数列を構成する自然数

  メルセンヌ数 (Mersenne number) M_n

  2の累乗数 (power of two) より1小さい (2ⁿ−1) の形の自然数N。N=11⋯11₂ (n桁)

  フェルマー数 (Fermat number) Fe_n

  2²ⁿ+1で表される自然数N

  カレン数 (Cullen number) C_n

  n×(2ⁿ+1) の形の自然数N

  ウッダル数 (Woodall number) W_n

  n×(2ⁿ−1) の形の自然数N［別名: 第2種カレン数 (Cullen numbers of the second kind)］

  中心二項係数 (central binomial coefficient) _2nC_n

  パスカルの三角形 (Pascal's triangle) の奇数行の真ん中の値N

  カタラン数 (Catalan number) c_n

  中心二項係数を n+1 で除した値N。N=c_n=_2nC_n÷(n+1)

  モツキン数 (Motzkin number) Mz_n

  円周上の相異なるn個の点を互いに交わらない線分で結ぶ方法の数N

  モンモール数 (Montmort number) D_n

  完全順列 (complete permutation)・攪乱順列 (derangement) の総数N

  怠け仕出し屋数 (lazy caterer number)

  三角数に1を加えた数に等しく、n回の直線カットで作ることのできる円板の破片の最大数N［別名: 中心多角形数 (central polygonal number)］

  ケーキ数 (cake number)

  3次元の立方体を正確にn枚の平面で分割できる領域の最大数N

  多冪数 (powerful number)

  素数pとその平方数p²の両方を約数に持ち、a²b³（a: 自然数、b: 無平方数）の形で表される自然数N

  累乗数 (perfect power)

  多冪数のうち、他の自然数nの累乗になっている自然数N。N=n^k

  アキレス数 (Achilles number)

  多冪数のうち、累乗数ではない自然数

  無平方数 (square-free integer)

  平方因子を持たない整数 (integer without square factors)、即ち1以外の平方数で割り切れない自然数N。μ(N)≠0 や rad(N)=N と同値

  カーマイケル数 (Carmichael number)

  自身と互いに素である任意の底でフェルマーテスト (Fermat primality test) を通過する合成数N

  リュカ・カーマイケル数 (Lucas-Carmichael number: L-C number)

  自身の素因数p_iより1大きい数p_i+1が自身より1大きい数N+1を割り切ることができる奇数の無平方数N

  ハミング数 (Hamming number)

  60の累乗を割り切ることができる自然数、即ち5以下の素因数しか持たない数［別名: 正則数 (regular number)、5-平滑数 (5-smooth number)］

  ハンブル数 (humble number)

  7以下の素因数しか持たない数［別名: 7-平滑数 (7-smooth number)］

  オイラー素数 (Euler prime) E_n

  オイラーの素数生成多項式 E_n=n²−n+41 (n≥1) で求められる素数

  階乗数 (factorial number) n!

  1からnまでの自然数の積

  階乗素数 (factorial prime)

  階乗数との差が1である素数。n!±1

  素数階乗数 (primorial number) n#=p_i#

  n以下の全ての素数の総積

  ユークリッド数 (Euclid number)

  素数階乗数より1大きい数。p_i#+1

  クンマー数 (Kummer number)

  素数階乗数より1小さい数。p_i#−1［別名: 第2ユークリッド数 (Euclid number of the second kind)］

  スミス数 (Smith number)

  数字和が素因数の数字和の合計に等しい合成数

  ハーシャッド数 (harshad number) h_n

  数字和が元の数の約数に含まれている自然数

  ズッカーマン数 (Zuckerman number) Z_n

  数字積が元の数の約数に含まれている自然数

  タウ数 (tau number / refactorable number)

  約数の個数が元の数に含まれている自然数

  算術数 (arithmetic number)

  約数の平均 σ₁(N)÷σ₀(N) が整数である数

  ナルシシスト数 (narcissistic number)

  n桁の自然数とその各位のn乗和が等しい数 [別名: 完全デジタル不変量 (pluperfect digital invariants: PPDI)、アームストロング数 (Armstrong number)]

  回文数 (palindromic number)

  逆順数が同じ数になる自然数

  逆除数 (reverse divisors)

  逆順数を割り切ることができる回文数以外の自然数で、その商は4または9

• 素因数分解、二平方和分解、数論的関数値の計算、類判定の実行時間をms単位で表示します。

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利用上の注意

• Microsoft Edge、Internet Exploler 11、FireFox 45.0以降での動作を確認しています。
• その他のブラウザでの動作は保証いたしません。
• 計算結果が9007199254740992 (=2⁵³) より大きいときは指数表現 (exponential notation) となり、下位桁が丸められた近似値になります。このため類を誤判定することもあります。
• 計算結果が1.7976931348623157×10³⁰⁸ (≈2¹⁰²⁴) 以上のときは"Infinity"と表示します。
• 1は素数の約数を持たないので素因数分解はできません。
• 2平方和分解で複数の結果があるときはそのうちの1つを表示します。また分解できないときやa=0となるときは表示されません。
• 「ページは応答していません」の警告ダイアログが出ることがありますが、計算は実行しています。
• Woodall数はCullen数、累乗数とアキレス数は多冪数、Carmichael数とLucas-Carmichael数は無平方数、階乗素数は階乗数、Euclid数とKummer数は素数階乗数、逆除数は回文数の中で判定結果を表示します。
• サポートは一切行いません。
• 気が向いたときに改良や修正をします。

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最大値

このページで扱うことができる素因数分解と二平方和分解の上限は以下の通りです。

素因数分解から求められる各数論的関数の最大値は以下の通りです。素因数の個数中のp_n#は1番目からn番目までの素数p_iの総乗である素数階乗 (primorial) を意味しています。

各々の自然数の類において、取り得る最大の自然数Nは以下の通りです。

各類に属する素数で取り得る最大値を示します。ユークリッド素数とクンマー素数をまとめて素数階乗素数 (primorial prime) とも言います。

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アルゴリズム

• 素因数分解
• 数論的関数
• 自然数の類

素因数分解

まずは計算終了値として自然数Nの平方根を求めます。Nを2で割り切れたときは、Nを2で割った商をNに代入し、更に2で割ります。2で割り切れなくなったら、割った回数を次数として素因数リストに保存します。それから計算終了値をそのときのNの平方根√Nに更新し、3以上の自然数についても同じ処理を行います。これを計算終了値に達するまで繰り返していきます。

var prime_factor_0 = function(n) {
/* 素因数分解(除数制限なし) */
	var prime = {};		// 素因数リスト
	var e = 0;			// 指数部
	for (var divisor = 2; divisor * divisor <= n; divisor++) {
		while (n % divisor == 0) {
			n /= divisor;
			e++;
		}
		if (e !== 0) {    
			prime[divisor] = e;	// keyをdivisorとする連想配列にeを保存
			e = 0;
		}
	}
	if (n > 1) prime[n] = 1;	// 残った素数を追加
	return prime;
};

2以外の素数は奇数であることが自明なため、除数を2と3以上の奇数に限定することで計算速度がprime_factor_0() 関数の約2倍になります。

var prime_factor_1 = function(n) {
/* 素因数分解(2の倍数を除外) */
	var prime = {};		// 素因数リスト
	var e = 0;			// 指数部
	for (var i = 0, divisor = 2; divisor * divisor <= n; i++, divisor = i * 2 + 1) {
		while (n % divisor == 0) {
			n /= divisor;
			e++;
		}
		if (e !== 0) {    
			prime[divisor] = e;	// keyをdivisorとする連想配列にeを保存
			e = 0;
		}
	}
	if (n > 1) prime[n] = 1;	// 残った素数を追加
	return prime;
};

2と3以外の素数は6の倍数 (multiple) の前後 (6k±1) に存在します。このため、5以降は交互に2、4ずつ離れた数で処理していくことで、除数から2と3の倍数を除外することができ、prime_factor_1() 関数と比較して計算速度が約1.5倍に向上します。

var prime_factor_2 = function(n) {
/* 素因数分解(2と3の倍数を除外) */
	var prime = {};		// 素因数リスト
	var e = 0;			// 指数部
	for (var divisor = 2, step = 1; divisor * divisor <= n; divisor += step) {
		while (n % divisor == 0) {
			n /= divisor;
			e++;
		}
		if (e !== 0) {    
			prime[divisor] = e;	// keyをdivisorとする連想配列にeを保存
			e = 0;
		}
		if (divisor > 5) {
			step = 6 - step;	// stepは交互に2と4
			continue;
		}
		if (divisor == 3) {
			step = 2;			// divisor=3,5のときはstep=2
		}
	}
	if (n > 1) prime[n] = 1;	// 残った素数を追加
	return prime;
};

6k±1の中には5の倍数も含まれています。このため、除数を7〜31までの素数p_iに30の倍数を加えた数p_i+30jに限定することで、5の倍数も除外することができ、prime_factor_2() 関数に対して計算速度が約1.2倍向上します。このように除数を最初の数個の素数の倍数を除いた数に絞り込む手法をWheel factorizationと言います。

このページでは素数階乗数p_i#の判定用として43までの素数リストprime_listを保持していますので、これを流用しました。prime_list[0]はダミー要素、内側のfor文の条件式divisor < nは計算中に除数divisorがn以上になった時点で計算を打ち切るためのものです。

var prime_list = [1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43];	// 素数リスト
var prime_factor_3 = function(n) {
/* 素因数分解(2と3と5の倍数を除外) */
	var prime = {};		// 素因数リスト
	var e = 0;			// 指数部
	for (var i = 2, j = 0, divisor = 2; divisor * divisor <= n; i = 4, j += 30){
		for (; i < 12 && divisor < n; divisor = j + prime_list[i], i++) {
			while (n % divisor == 0) {
				n /= divisor;
				e++;
			}
			if (e !== 0) {    
				prime[divisor] = e;	// keyをdivisorとする連想配列にeを保存
				e = 0;
			}
		}
	}
	if (n > 1) prime[n] = 1;		// 残った素数を追加
	return prime;
};

関数の戻り値は素因数リストprimeで、大きさが素因数の個数ω、キーが各素因数p_i、値が素因数の指数部 (exponent) e_iである連想配列になっています。これを利用してNの素因数分解の結果は以下の式の形で表すことができます。

e_i=2f_i+r_i (r_i = 0,1) とおくと、Nの無平方分解 lsf²×core は次式で表されます。これは √N=lsf√core と等価です。

素因数p_iが以下の2つの条件を同時に満たすときに、2個のゼロではない平方数の和 a²+b² に分解できます。

1. p_i≡ 3 (mod 4) の指数部e_iが偶数
2. p_i≡ 1 (mod 4) が含まれているか、p_i=2の指数部e_iが奇数（もしくはその両方）

この2条件を満たさない平方数、即ちcore=1となる数は 0²+lsf² の形で表すことができますが、下記のコードでは対応していません。

var fermat_sum = function(n, lsf, core) {
/* 二平方和分解 */
	var is_core = core > 1;		// 無平方因子が1ではない
	var m = is_core ? core : n;
	var b = is_core ? int_root(m, 2) : lsf - 1;
	for (var bmin = b * Math.SQRT1_2, a = r = 0; b > bmin; b--) {
		r = m - b * b;
		a = Math.sqrt(r);	// int_root(r, 2)より高速
		if (a % 1 == 0) {
			if (is_core) {
				a *= lsf;
				b *= lsf;
			}
			return a + '<sup>2</sup>+' + b + '<sup>2</sup>';	// HTML文字列
		}
	}
};

引数nに平方数の和の2条件を満たす自然数N、lsfとcoreに無平方分解で得られた最大平方因子と無平方因子を与えます。bを√n未満の最大の整数からその√1/2 (≡Math.SQRT1_2) 倍まで1ずつ減少させ、aが自然数になった時点で計算を終了します。

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数論的関数

素因数の個数ω(N)はω、素因数の総数Ω(N)はe_iの総和、素因数の和はp_iの総和、素因数の総和はp_i×e_iの総和、根基rad(N)はp_iの総積になります。

約数d|Nの個数、総和、総積とオイラーのφ関数は次式で求められます。総積が乗法的完全数になるときはその旨を表示します。

個数 σ₀(N)

総和 σ₁(N)

総積

φ関数 φ(N)

メビウス関数μ(N)は前述の定義に則り求めています。

数値の桁数はlengthプロパティでは取得できませんので、数値nを文字列に変換してから長さを取得することで桁数としています。

var digit_number = n.toString().length;	// 桁数

数字和は10で除したときの剰余 (remainder) を順次加算して求め、商 (quotient) が0になるまで続けます。

var digit_sum = function(n) {
/* 数字和 */
	var s = 0;
	while (n) {
		s += n % 10;
		n = Math.floor(n / 10);
	}
	return s;
};

数字根は上記の digit_sum() 関数を利用し、再帰呼出し (recursive call) をすることで求めることができます。引数nが1〜9になった時点で再帰を終了します。

var digital_root = function(n) {
/* 数字根（再帰version） */
	if (n < 10) return n;
	return digital_root(digit_sum(n));
};

9で除したときの剰余を求め、0のとき9に置き換える手順でも数字根を求めることができます。しかし、引数nが0のときの結果は0ではなく9になってしまいます。

var digital_root = function(n) {
/* 数字根（剰余version） */
	var r = n % 9;
	return r ? r : 9;
};

このページでは再帰や三項演算子を使わない方法で求めています。JavaScriptでは剰余演算の符号が被除数 (dividend) と同一であるため、n=0のときは (0−1)%9=−1となります。これより数字根は0と求まります。

var digital_root = (n - 1) % 9 + 1;		// 数字根（単純式version）

数字積は10で除したときの剰余を順に乗じることで求めています。商が0または途中でp=0になったときはwhileループから脱出します。

var digit_product = function(n) {
/* 数字積 */
	var p = 1;
	while (p && n) {
		p *= n % 10;
		n = Math.floor(n / 10);
	}
	return p;
};

逆順数は10で除したときの剰余を加算して求め、商が0になるまで続けます。剰余の加算時にそれまでに得られた値を10倍することで上位桁にシフトさせています。逆順数がNumber.MAX_SAFE_INTEGERより大きくなる時は下位桁に丸め誤差 (round-off error) を生じさせないように文字列に変換しています。

var digit_reverse = function(n) {
/* 逆順数 */
	var r = 0;
	while (n) {
		r *= 10;
		if (r > Number.MAX_SAFE_INTEGER) r = r.toString().slice(0, -1);	// 末尾の1文字を削除した文字列に変換
		r += n % 10;
		n = Math.floor(n / 10);
	}
	return r;
};

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自然数の類

属する自然数の類の判定には下記の方法を採用しました。

素数

約数の個数が2個

ピタゴラス素数

素数のうち、4で除したときの剰余が1 ⇒ フェルマーの二平方の定理 (Fermat's 4n+1 Theorem)

ガウス素数

素数のうち、4で除したときの剰余が3

偶素数

N=2

半素数

立方数以外で約数の個数が3〜4個

楔数

約数の個数が8個で、かつ素因数の個数が3個

合成数

素数、半素数、楔数以外

調和数

約数の調和平均H̅が整数

完全数

σ₁(N)=2N

不足数

σ₁(N)<2N−1

過剰数

σ₁(N)>2N

k倍完全数

σ₁(N)÷Nが3以上の整数

概完全数

σ₁(N)=2N−1

乗法的完全数

約数の個数が4個

三角数

2Nが矩形数

矩形数

⌊√N⌋(⌊√N⌋+1)=N

平方数

約数の個数が奇数個

立方数

各素因数p_iの指数部e_iが全て3の倍数

フィボナッチ数

漸化式を用いた動的計画法 (dynamic programing) で求めたF_n (n=1, 3≤n≤78) と一致

リュカ数

漸化式を用いた動的計画法で求めたL_n (0≤n≤76) と一致

ペル数

漸化式を用いた動的計画法で求めたP_n (1≤n≤42) と一致

ヤコブスタール数

漸化式を用いた動的計画法で求めたJ_n (n=1, 3≤n≤54) と一致

メルセンヌ数

漸化式を用いた動的計画法で求めたM_n (1≤n≤53) と一致

フェルマー数

2²ⁿ+1と一致

カレン数

N−n×2ⁿが+1

ウッダル数

N−n×2ⁿが−1

中心二項係数

漸化式を用いた動的計画法で求めた_2nC_n (0≤n≤28) と一致

カタラン数

漸化式を用いた動的計画法で求めたc_n (n=0, 2≤n≤30) と一致

モツキン数

漸化式を用いた動的計画法で求めたMz_n (n=0, 2≤n≤38) と一致

モンモール数

漸化式を用いた動的計画法で求めたD_n (n=0, 3≤n≤18) と一致

怠け仕出し屋数

2(N−1)が矩形数

ケーキ数

n=⌊∛6(N−1)⌋のとき、(n³+5n)÷6がN−1と一致

多冪数

各素因数p_iの指数部e_iが2以上

累乗数

多冪数のうち、各素因数p_iの指数部e_iの最大公約数 (greatest common divisor) が2以上

アキレス数

多冪数で累乗数以外

無平方数

μ(N)≠0

カーマイケル数

奇数の無平方数のうち、全ての素因数p_iでN−1がp_i−1で割り切れる ⇒ コルセルトの判定法 (Korselt's criterion)

リュカ・カーマイケル数

奇数の無平方数のうち、全ての素因数p_iでN+1がp_i+1で割り切れる

ハミング数

素因数p_iが2、3、5のみ

ハンブル数

素因数p_iが2、3、5、7のみ

オイラー素数

N−41が矩形数

階乗数

1から順次乗じた値と一致

素数階乗数

2から素数を順次乗じた値と一致

ユークリッド数

素数階乗数より1大きい

クンマー数

素数階乗数より1小さい

スミス数

合成数で数字和が素因数の数字和の合計と一致

ハーシャッド数

Nが数字和で割り切れる

ズッカーマン数

Nが数字積で割り切れる

タウ数

Nが約数の個数 σ₀(N) で割り切れる

算術数

約数の総和 σ₁(N) が約数の個数 σ₀(N) で割り切れる

ナルシシスト数

Nと各位のn乗和（nはNの桁数）が一致

回文数

Nが逆順数と一致

逆除数

Nを4倍ないしは9倍した数が逆順数に一致

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【参考】オンライン整数列大辞典 (OEIS)

オンライン整数列大辞典 (OEIS) に掲載されている整数列 (integer sequence) の一覧です。

OEIS以外に各種の整数列を掲載しているサイトです。

• Numberpedia
• NextNumber
• Number Gossip

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参考文献

• 奥村晴彦 『C言語による最新アルゴリズム事典』 技術評論社、平成6年9月25日初版第12刷（平成3年2月25日初版第1刷）
• Richard G.E. Pinch: "The Carmicheal Numbers Up to 10¹⁵", Mathematics of Computation, vol.61, no.203, pp.381-391, 1993
• Frank R. Bernhart: "Catalan, Motzkin, and Riordan numbers", Discrete Mathematics, 204, pp.73-112, 1999
• Richard G.E. Pinch: "The Carmichael numbers up to 10²¹", Proceedings of Conference on Algorithmic Number Theory, Vol.46, pp.129-131, 2007 (Turku, Finland: Turku Centre for Computer Science)
• Gordon L. Miller and Mary T. Whalen: "Armstrong Numbers: 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3", Fibonacci Quarterly, 30-3, pp.221-224,  1992
• 岡本茂: "ナルシシスト数について", 千葉敬愛短期大学紀要, 21, pp.53-58, 1999-02
• Benjamin V. Holt: "Some General Results and Open Questions on Palintiple Numbers", Integers, 14, pp.1-13, 2014
• Roger Webster and Gareth Williams: "On the trail of reverse divisors: 1089 and all that follow", Mathematical Spectrum, 45 (3), pp.96-102, 2013
• Roger Webster and Gareth Williams: "Reverse divisors with quotient 4"
• N. J. A. Sloane: "2178 and all that", Fibonacci Quarterly, 52, pp.99-120, 2014
• 坂井博通: "循環節142857にかかわる新しい特徴", 埼玉県立大学紀要, 9, pp.91-95, 2007
• 坂井博通: "循環節142857の新しい特徴(6)", 埼玉県立大学紀要, 17, pp.85-88, 2015

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