※斜字は造語です。
正多面体
標準正多胞体
辺接球
線や辺の名称
気になる名称
造語
半正多面体系同士の関係まとめ
各図形の別の側面まとめ
サイコロに向く多面体
正多面体について、学校では通常「そういうものが有る」程度しか習わないと思いますが、５つの多面体の間には興味深い関係が幾つか有ります。
理系の方や、古典元素に興味のある方にとっては、軽く触れるだけでも面白い所なのではないかと思います。
まず、立方体（正六面体）の、各面の中心を頂点とした立体を考えてみます。すると、正八面体になります。正八面体に対して同じ操作をすると、今度は立方体に戻ります。
正十二面体と正二十面体も、この操作で入れ替わります。
この関係はそのまんま双対関係と言うようです（※正多面体以外の場合でも双対多面体は有りますが、この方法ではまず作れません。もう幾分難しい話になります）。
正四面体は正四面体のままとなりますが、このような性質を自己双対と言うようです。似たような双対関係は、電気回路やグラフ理論にもあります。
まとめると以下のような感じです。
正四面体 ⇔ 正四面体
立方体 ⇔ 正八面体
正十二面体 ⇔ 正二十面体
各正多面体には以下のような性質がありますが、双対関係にあるものは、辺の数が等しく、面の数⇔頂点の数などが入れ替わっています。
| 図形 | 面の数 | 頂点の数 | 辺の数 | 面の形 （構成面の角数） | 頂点の形 （頂点に集まる辺の数） |
|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | ４ | ６ | ３ | ||
| 立方体 | ６ | ８ | １２ | ４ | ３ |
| 正八面体 | ８ | ６ | ３ | ４ | |
| 正十二面体 | １２ | ２０ | ３０ | ５ | ３ |
| 正二十面体 | ２０ | １２ | ３ | ５ | |
| 領域基準 | 頂点基準 | 辺基準 | その他 |
|---|---|---|---|
| 正ｎ辺形 | 正ｎ角形 | ||
| 正四面体 | 正四角体 | 正六辺体 | |
| 正六面体 | 正八角体 | 正十二辺体 | 立方体 |
| 正八面体 | 正六角体 | ||
| 正十二面体 | 正二十角体 | 正三十辺体 | |
| 正二十面体 | 正十二角体 |
| 角→ 面↓ | ３ | ４ | ５ | ６ |
|---|---|---|---|---|
| ３ | 正四面体 | 正八面体 | 正二十面体 | 平面by正三角形 |
| ４ | 立方体 | 平面by正方形 | ||
| ５ | 正十二面体 | |||
| ６ | 平面by正六角形 |
| Ｙ | Δ | |
|---|---|---|
| ３ | 正四面体 | |
| ４ | 立方体 | 正八面体 |
| ５ | 正十二面体 | 正二十面体 |
| ６ | 球 | |
| Ｙ正多面体 | 正四面体、立方体、正十二面体 |
| Δ正多面体 | 正四面体、正八面体、正二十面体 |
| 標準正多面体 | 正四面体、立方体、正八面体 |
| 正十二辺体 | 立方体、正八面体 |
| 正三十辺体 | 正十二面体、正二十面体 |
正四面体、立方体、正八面体の三つは、五次元以上でも考える事ができますが、
各々のｎ次元版をひっくるめたものには、以下のような名前が付いているようです（参考：根上研究室ホームページ）。
| 二次元 | 三次元 | ｎ次元 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正三角形 | 正四面体（regular tetrahedoron） | 正単体 | α体 | 正n+1胞体 | regular simplex | |||
| 正四角形 | 正方形 | 正八面体（regular octahedron） | 正軸体 | β体 | 正n^2胞体 | cross-polytope orthoplex | ||
| 正六面体（regular hexahedron） | 立方体（cube） | 正測体 | γ体 | 正2n胞体 | 超立方体 | hypercube | ||
| 円 | 球 | 超球 | hypersphere | |||||
| 定義 | 二次元 | 三次元 | 四次元 | 四次元：双対 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 半正測体 | 正測体を、各頂点の座標が（±ａ，±ａ，…）という形になるよう配置した時に、全要素の掛算が負になる頂点を全て除いた場合に出来る立体。英語ではDemihypercubeと呼ばれている様子。 | 線分 | 正四面体 （三次元正単体） | 正十六胞体 （四次元正軸体） | 正八胞体 （四次元正測体） |
| 倍正単体 | 正単体を、中心が原点になるように配置した時に、各々の点の原点対称な点を追加して出来上がる立体。 | 正六角形 | 立方体 （三次元正測体） | （とある四面体×３０で構成される立体） | （切頂四面体×１０で構成される立体） |
| 正単体辺中点体 | 正単体の辺の中点によって構成された立体。 | 正三角形 （二次元正単体） | 正八面体 （三次元正軸体） | （正四面体×５＋正八面体×５で構成される立体） | （とある双三角錐×１０で構成される立体） |
正多角形等には内接円と外接円がありますが、正多面体等の場合、
内接球と外接球に加えて更に、その中間と言える球が存在しています。
それは、多面体の各辺に接する球です。
それに対し、内接球は、多面体の面に接する球であり、外接球は、
多面体の頂点に接する球であると言えます。
これを勝手に「辺接球」「中接球」と呼んでましたが、
どうやら実際に使われている用語のようで、他にも「稜接球」という呼び名があるようです。
ただ、中接球という表現だと、四次元以上では応用が利かないので、
辺接球か稜接球が妥当なのではないかと思います。
これにより、面接球や、胞接球といったものも考えられます。
内接円や内接球の中心を内心、外接円や外接球の中心を内心と呼ぶのに対し、
辺接球の中心の呼び名がわかりませんでしたが、「辺心」では「辺の中心」という
意味合いでも用いられますし、「中心」ではあまりに意味が広すぎるので、
やや小難しいですが「辺接心」「中接心」、あるいはいっそ文字通りに「辺接球心」「中接球心」
と呼んではどうかと思います。
外接球と内接球の内、半正多面体は外接球のみを、その双対であるカタランの立体は内接球のみを持ちますが、
辺接球についてはどちらも持っている点は、少し重要な所かもしれません。
2023.1.19
| 無限 | 有限 | 部品 | 部品＋周辺 | 余次元部品 | |
|---|---|---|---|---|---|
| −１次元 | 体 | ||||
| ０次元 | 点（Point） | 頂点（Vertex） | 角？ | 刻面？（Facet） | |
| １次元 | 直線（Line） | 線分（Line segment） | 辺（Edge） | 稜？ | 稜？（Ridge） |
| ２次元 | 平面（Plane） | 面分 | 面（Face） | 峰？（Peak） | |
| ３次元 | 空間 | 胞（Cell） | |||
| 二次元 | |
|---|---|
| 三角形 | 四角形を方形、長方形を矩形、菱形（ひしがた）を菱形（リョウケイ）って言うから、三角形も、○形って言い方ができないものかと。一文字なら、円は円、四角は方だから、三角にもそういう表現が欲しい。 ｎ次元版の正四面体を、正単体と言うので、そこから単が一見使えそうですが、ｎ次元版の立方体は、正方体ではなく正測体なので、こちらも単とは別の字が良いと思います。 以下のようなものが理想だと思うのですが。 ・円と方、共に四画なので、その位の少ない画数。 ・方を方角、方位角と解釈し、それに対し、仰角的な、上方のニュアンスを持つ。 ・「えん」「ほう」と音が被らない（「○ん」「○う」でない）。 ・熟語化した際、口には出し辛い言葉と同じ音にならない。 なかなか思いつかない＆見つかりませんが、一応考え中のものとして、素形、出形、行形、臨形、昇形（升形）、仰形、高形、幺形（ようけい）、立形、工形、発形、丁形（ていけい）、凡形（はんけい）があります。山形、角形、突形、頭形、尖形、元形（げんけい）、というのも考えましたが、他の意味や、具体的な他の形になりそうなので、使えそうにないです。 2008.3.5 |
| 直角二等辺三角形 | 解り易い名前だけど、特殊で良く出る図形だから、もっとちょびっと簡潔に言えるようにした方が良いように思う。正三角形だって三等辺三角形とは言わないし、菱形だって四等辺四角形とは言わないし。正方三角形、極三角形とか（センス無ぇ）。 (2008.3.5) |
| 方形 | 正方形を指すのか四角形全般を指すのかよく気になりますが、どうも四角形全般を指すようです。Googleだとなぜか矩形と同義になってますが、他の市販辞書などでは単なる四角形となっています。前方後円墳の場合は矩形ですらない台形ですし、直方体という言葉を見た場合もその方が意味が通ります。 一方で、円と楕円、方形と長方形という感じで比べた場合は、正方形の事と解釈した方が合ってそうです。日常的には、四角形自体が正方形を意味している事も多い事も混乱の原因かもしれません。 四角形→方、長方形→矩となると、正方形を意味する語も欲しくなって来てしまいます。天円地方など、円と正方形とを対比させる場合はしばしばありますので、正方形を一字で表せる語があれば便利そうです。 (2008.3.5-2016.11.4) |
| 長方形（矩形） | 斜方形という呼び方は、長方形という呼び方と対応させる時に便利だと思います。 これらは解り易い名前ですが、方形が四角形全般を指すため、文字通りでは長い四角形、斜めの四角形となり、結局は四角形全般のままとなってしまいます。正確には、長正方形、斜正方形て所でしょうか。 また、長方形、斜方形は、共に正方形を含むとされますが、長い正方形、斜めの正方形という意味合いからは、正方形は含まれない事になってしまいます。 ここで、長方形を（直方体から借用して）直方形と呼べば、直角により構成された四角形という意味になり、正方形も無理なく含む事ができ、これらの点は解決されます。それに対して斜方形をどう呼ぶかが問題ですが。等辺四角形、等辺方形くらいかな。 或いは単に、矩形・菱形と言った方が良いかもしれません。それに対し、長方形を「正方形以外の矩形」、斜方形を「正方形以外の菱形」と定義し直すのも有りかもしれません。矩形に対しては菱形は「りょうけい」と読んだ方が合うと思いますが、「ひしがた」に対する矩形の訓読みも欲しい所です。矩は一応「さしがね」と読み、人名では「かど」「のり」なども使われるようですが。さしがた？ (2008.3.5-2016.5.31) |
| 斜方形（菱形） | |
| 外接四角形 | これでは何に外接しているのか不明瞭です。「円外接四角形」と呼ばれる事もあるようですが、その方が適切だと思います。また、双心四角形に対しては「内心四角形」が妥当だと思いますし、これが一番本質を汲んでるのではと思いますが、名称の中の内と外が入れ替わる点は要注意ですね。 (2009.10.27-2016.5.31) |
| 内接四角形 | 上記同様、「円内接四角形」か「外心四角形」の方が妥当だと思います。 (2009.10.27-2016.5.31) |
| 内接・外接四角形 | これなら「両接四角形」（上記の理由では「円両接四角形」）で良いんじゃないかと思ったのですが、「双心四角形」という呼び名が既にあるようです。ただ、外心と傍心を持つ場合と少し紛らわしいですかね。 (2008.3.5-2016.5.31) |
| 傍心四角形 | 「円傍接四角形」とも呼べそうですが、どちらも殆どヒットしませんので、正式名称では無いのかもしれません。英語版ではex-tangential quadrilateralと言うようで、しっかりした記事まで立ってるんですけどね…。 台形の双対ではないかと予想しています（交差するタイプ以外？）。英語版ウィキペによれば、平行四辺形も、無限遠点を考慮する事でこれに含められる様子？ (2016.6.1) |
| 長円 | 正方形に対しては長方形と言うから、楕円も普通にこう呼んだらどうだろうかと思いましたが、既に使われているようです。但し、楕円の事を示す場合もあれば、両端が円の長方形を指す場合もあるようです。それならば、楕円は楕円のままで、長円は他方の意味に完全移行すれば良さそうにも思いますが、長方形という名前との対応を考えると微妙な気もします…。四隅が円な長方形は角丸長方形と言うようなので、これに対してあちらは角丸二角形とも呼べそうです。 (2008.3.5-2016.6.28) |
| 三次元 | |
| 正四面体 | 正六面体には立方体という個性的な名前があるので、同じように正四面体や正八面体にも個性的な名前が付けられないものかと思います（正十二面体と正二十面体にも欲しい所ですが、ちょっと特殊ですし、ひとまず放置でもいいと思います）。 正四面体については、三角形の別名が決まったら、これを利用する形が良いと思います。 これらが決まれば、正測体の超立方体に対する、正単体、正軸体の別名も、これらに超を加える事で作れそうです。 立方体の一般版が方体なのに対する、正四面体や正八面体の一般版についても、（新名から）正を省く事で表せそうです。 (2008.3.5) |
| 正八面体 | |
| 直方体 | これはなかなかうまいと思います。長方形は正方形も含めますが、「長い」はずなのに長く無いとはこれいかにって気がしますので（楕円もそうですが）、立方体に対して長いのでなく、角が直角である性質に因んでつけたのは、なかなか面白いと思います。 長方形の三次元版なのになぜ長方体ではないのか、と最初は思う所でしょうが、そう考えると、逆に長方形の方が、なぜ直方形では無いのかと思えて来ます。長方体には、超立方体の別名として使われてるっぽい超方体と読みが被る問題もあります。 矩形に対して矩体って言い方もできそうです。 (2008.3.5) |
| 立方体 | これはちょっと謎です。普通に正方体にすれば良いものを。立・方体ではなく、立方・体って事でしょうか。すると正方形は平方形になるのでしょうか。 (2008.3.5) |
| 楕円体 | 三つの径がばらばらの球をこう呼ぶそうです。 楕円体に対して、球は円体という事になるのでしょうか。 でも、立方体、またはその一般形を方体と呼ぶならば、確かに、円体は球を指す事になります。正円に対して正円体とも呼べるでしょうか。 楕円体を普通に示す語としては、楕球が良いと思ったのですが、楕円回転体（２径は等しい）の事で使われる場合があるようなので厄介です。更に、「楕」というの漢字の意味もよくわかりません（ウィキペによると「木の切り株」で、「潰した」という意味では無いみたい）。中国では楕球という言葉があるようですが、楕円回転体の気配もありますが、よくわかりません。 英語のellipsoidは、どうも楕円体というよりはその表面（楕円面）の事を意味している様子です。でも思えば球も、定義からすると球面・球殻の事になりそうでややこしいですね。そうなると楕円体と楕円面も同義になって来そうです。英語ではsphereは球面を意味し、sphereに囲まれた領域はballと言うようです。 2008.3.5-2011.5.15 |
| 楕円面 | 楕円体を囲う面をこう呼ぶそうです。楕円型の面の事にも思えて紛らわしいので、楕円体面とでも呼んだ方が良さそうに思うのですが、双曲面・放物面に対応するネーミングなのでしょうか。そうなると、楕円体面の一部という解釈もできるでしょうか。 英語ではellipsoidと言うようで、楕円回転体はspheroidと言うようです。立方体のcubeに対して、直方体がcuboidである事を考えると、球のsphereから、spheroidが楕円面・楕円体を示すのが妥当そうに思いますが、双曲面はhyperboloid 、放物面はparaboloidらしいので、その関連で行くと確かにellipsoidです。 (2008.3.5-2011.5.15) |
| 半正多面体 | 「半球」という表現がありますので、「半正多面体」では「正多面体を半分に切ったもの」のイメージになり易いと思います。 個人的には亜正多面体くらいの方がしっくり来そうですが、これだと「準正多面体以外の半正多面体」という意味で使った方が合ってるかもしれません。ただ、正多面体とグラフ構造が同じ多面体（正四面体に対する三角錐など）のイメージにならないかが少し気になる所です。 半正多面体という名前の由来は、JAPAN ZOME CLUBによれば、「数学では、Semiは半、Quasiは準と訳す事になっている」かららしいです。英語のsemi-regular polyhedronが元になってるというわけです。一般的にもsemiには半分の意味があるようで、半円や半球は、semicircle、semisphereなんて言うみたいです。 ただ、半球の場合はhemisphereの方が一般的もしくは正しい様子ですし、英語では半に相当する語としてhalfもあります。halfも半、semiも半という法則を愚直に貫いたら、同じ語にhalfとsemiをそれぞれ接頭した別々の意味の語があった場合に混乱が起こりますし、少なくとも具体的な図形に関する場合は、semiを半に訳すのは少々見直した方が良いのではないかと思います。 (2008.11.30-2016.11.4) |
| カタランの立体 （アルキメデス双対） | アルキメデスの立体に対する半正多面体みたいな、多面体の性質に因んだ無機質な名前も欲しい所です。 アルキメデス双対という呼び名の由来を「アルキメデスの立体の双対」と解釈すると、半正双対（或いは半正多面双対、半正双対体）という表現も容易に考えられます。とりあえずはこれが一番無難そうです。 半正多面体とカタランの立体は、正多面体の性質を半分づつ受け継いでる感じなので、半正多面体の「半」をそう言う意味で解釈した場合に、「残りの半分」を受け継いでいるという意味で余半正多面体というのも有りかもしれません。 半正多面体が正多角形で構成されている事に対し、こちらは角形状が正な感じになっている性質から、半正多角体という呼び名はどうかと思ったのですが、「正多面体」という言葉の「正」が「面」でなく「多面体」全体に掛かってそうで、これでは半正多面体の単なる別名となってしまいそうです。もし「面」に掛かっているとしても、面周りの形状が等しい点ではカタランの立体の方が半正多面体っぽくて少々ややこしいです。ただ、二十・十二面体に対して菱形三十面体を二十・十二角体のように見る事はできなくもなさそうですし、多面体と多角体の関係を抵抗とコンダクタンスの関係のようなものと解釈すれば、問題ないかもしれません。正四面体と正三角錐も別物のようですし。 (2008.11.30-2016.11.17) |
| 斜方立方八面体 | 「斜方」って何が斜め方向なのか謎ですが、これは恐らく「菱形」を意味しています。別名に小菱形立方八面体、小菱形二十・十二面体がありますが、英語の段階での「斜方〜」と「小菱形〜」の違いは、smallが付いてるか否かだけです。つまり、なぜかsmallが付いただけで和訳が別々になっています。もしかしたら「小斜方立方八面体」「菱形立方八面体」とも呼ばれるのかもしれません。そしてここでの「菱形」というのは恐らく、菱形十二面体や菱形三十面体を指しています。立方体＋正八面体⇒立方八面体という要領で、立方八面体＋菱形十二面体⇒斜方立方八面体となるからです。ただ、菱形とまで略されてしまうと、平面図形の「菱形」のイメージの方が先行して、「どこが菱形なんだ」となってしまうように思います。斜方ならば、その問題は起こり難いとは思いますが、もっと適切な呼び方が有りそうな気もします。十二立方八面体（十二・八・六面体）とか三十・二十・十二面体てのも考えられますが、数字ばかりで味気ないかもしれません…。 小菱形の「小」というのは、切頂立方八面体等の別名である大菱形〜に対するものですが、これは立方八面体を小立方八面体と呼び、切頂八面体を大立方八面体と呼んでいるようなものです（切頂立方体は大八面立方体？）。これらを大小で呼び分けるのは、恐らく多面体同士の関係が未だ十分知られて無かった時代の応急策みたいなもので、もう不要と思います。 切頂菱形十二面体、切頂菱形三十面体とも呼ばれてますが、ここでの切頂は、切頂立方体や切頂立方八面体よりも深い切頂になってる所に要注意です。これと同じ意味では、切頂立方体は立方八面体に、切頂立方八面体は斜方立方八面体になってしまいます。切頂立方体の場合は半切頂、切頂菱形十二面体の場合は全切頂という感じです。これらはごっちゃにすべきでは無いように思いますので、どうせならそれぞれ全切頂菱形十二面体、全切頂菱形三十面体とでも呼んだ方が適切と思います。菱形十二面体＆三十面体の場合は、半切頂に相当する図形が決定できるかよくわからないので無駄に思えるかもしれませんが。 2008.9.5-2017.3.30 |
| 斜方二十・十二面体 | |
| 斜方切頂立方八面体 | これらは単に切頂立方八面体、切頂二十・十二面体とも言うのですが、日本語では斜方が付けられる例を多く見かけます。 しかしこの「斜方」は不要だと思います。英語版ウィキペでは単なる切頂〜に相当する語がメインになっていますし、拡張シュレーフリ記号的にも単に切頂となっているので、斜方を付ける事に重要な意味は無さそうです。単に切頂〜と言った方が一番解り易く簡潔だと思います。 立方八面体や二十・十二面体の頂点を文字通りに切っただけでは作れないので、不適切に思えるかもしれませんが、その問題は斜方を付けても解決しなさそうです。この斜方は単に、斜方立方八面体などと同様に菱形十二面体などの要素を含んでるというだけの意味だと思います。切頂立方体を八面切頂立方体と呼んだり、切頂八面体を立方切頂八面体と呼んだりするようなものです。名前をいたずらに小難しくするだけで、付けるだけ無駄と思います。 大菱形立方八面体、大菱形二十・十二面体とも呼ばれますが、これについては斜方立方八面体の所で述べた通りです。 (2008.9.5-2016.11.2) |
| 斜方切頂二十・十二面体 | |
| ねじれ立方体 | ねじれ立方体は、ねじれ立方八面体、変形立方体、変形立方八面体とも言うそうですが、どれが一番妥当か、いまいち結論を出せないでいます。判り易さの上ではねじれ立方体が一番かもしれませんが。 まず、後ろを立方体にするか立方八面体にするかの問題です。ねじれ立方体（変形立方体）と呼ぶ場合、ねじれ八面体（変形八面体）とも呼べますので、間を取って〜立方八面体とした方が中立的で良さそうに思える所です。拡張シュレーフリ記号でも「s立方八面体」という形になっており、変形四角反柱（ジョンソンの立体の85番目）もこれに準じた名称となっています（〜立方体という呼び名に対しては変形四角錐となります）。ただ、この場合のねじれや変形という操作は、全ての多面体に対して行える一般的なものではないため、汚い感じがします。ねじれや変形というのをただの接頭語と見ず、特殊な解釈をすれば行けない事も無いかもしれませんが。特に記号としては「s立方体」という形にした方が色々綺麗に収まりそうです。これを〜立方体と呼ぶ場合、〜立方八面体としてはまた別の図形が考えられなくもないので、両呼び名が混在した現状ままでは混乱の元になりそうです。例えば変形八面体と言った場合は、正二十面体の事とも取れるわけです。〜八面体と呼ばず〜立方体と呼ぶ事に対しては、立方体由来の面のみが正方形で、他は正三角形となっている事を理由にできそうですが、この方法は多面体一般には通用しない事があります。ねじれ立方体の前段階的なものとして、斜方立方八面体と立方八面体が存在している点にも注意が要るかもしれません。 もう一つは、ねじれ（或いはねじり？）と呼ぶか変形と呼ぶかです。変形という表現はあまりに漠然とし過ぎてる感がありますが、実際に変形双五角錐という例もあり、必ずしもこのねじる操作を意味していないようです（英語では双五角錐ではありませんが、いずれにしてもちょっと特殊です）。対してねじれという表現はそのまんまで判り易いですし、ねじれ双角錐やねじれ角柱という呼称に対しては、立方体もねじれと呼んだ方が良さそうですが、ねじれ角柱の場合の「ねじれ」をそのまま適用するならば、ねじれ斜方立方八面体となりそうです（ねじれ角柱の別名は反角柱なので、逆にこれを利用して反斜方立方八面体とも表現できそうです）。これらはどちらも面をねじるわけですが、ねじれ双角錐の場合の「ねじれ」はまた意味が異なり、頂点をねじる事を意味しています。ねじれ立方体のねじれをこの意味で捉えると、五角二十四面体（通常のねじれ立方体の双対）となります。どちらもねじれた立方体に変わりないわけです。五角二十四面体は、ねじれ立方八面体に対してはねじれ菱形十二面体と呼ぶ事もできそうです。面をねじるか頂点をねじるか曖昧というのは混乱を招きそうなので、旋面立方八面体（旋面立方体）、旋頂菱形十二面体（旋頂八面体）などと言った方が良いのかもしれません。加えて、ねじれ正多面体と紛らわしくなってしまいそうなのも注意点です（英語では、こちらのねじれはsnub、あちらのねじれはskewとなっています）。 他、鏡像の呼び分けも欲しい所です。右変形立方八面体、左変形立方八面体ってな風に呼び分けたい所ですが、立方体部は右ねじれでも、正八面体部は左ねじれになってる所が厄介です。ただ、ねじれ立方体と呼ぶ場合には、右ねじれ立方体等と呼べそうです。 ねじれ十二面体（ねじれ二十・十二面体／変形十二面体／変形二十・十二面体）の場合も同様です。 2008.9.5-2016.11.12 |
| ねじれ十二面体 | |
| 六方八面体 | これらは、切頂立方八面体、切頂二十・十二面体の双対である点などからして、四方菱形十二面体、四方菱形三十面体と呼ぶのが現状では普通に最も的確なはずですが、正式な用語としては未だ確認できません。 対して六方という呼び名は、字数が短くなる点と、日頃慣れ親しんでる正多面体をベースとした名前である点、俗的な取っ付き易さの上では優れているかもしれませんが（むしろそれが広まった要因かも）、色々と問題を抱えています。 四方菱形という呼び名は、２つの点で他の三方〜五方に対してイレギュラーです。一つは、ベースとなる多面体に普通に角錐を張り付けるだけでは作れないという点（これは立方八面体を単に切頂するだけでは切頂立方八面体が作れない事に対応してます）、もう一つは、構成面が二等辺三角形にならない事に関する対称性の問題です。しかし六方という呼び名もその点は同じであるため、六方の方が優れている理由には全くなりません。 六方はその上で更に、ベースとなる面に余分に頂点を追加しており、これが決定的にイレギュラーです（トポロジー的にもイレギュラーである点が大きい？）。これを認めると、凧形二十四面体と凧形六十面体もまた一種の三方八面体、三方二十面体と見なせそうです（角錐を半角ずらして付けるという感じで、反三方八面体、反三方二十面体という感じの呼び方も出来るかもしれません。反四方立方体、反五方十二面体でもあります）。また、正八面体には三方八面体と六方八面体という二種類の○方がある事になりますが、「六方八面体（＝四方菱形十二面体）は菱形十二面体の○方であり、正八面体の○方は三方八面体だけ」とした方が色々綺麗に収まります。 他、六方に対しては八方立方体（八方六面体）や十方十二面体とも呼べそうなので、偏ったネーミングでもあります。双対を「〜立方体」のようには呼ばない辺り、あえて正八面体や正二十面体を基準とする事に重要な意味は無さそうです。接頭語が「六方〜」で揃う点がポイントなのでしょうか。 一方で、更に二方凧形二十四面体、二方凧形六十面体という見方もできますが（発案：あそびをせんとや様）、こちらは逆にベース面の頂点を消化しきってないため、四方菱形がやはり一番自然かと思います。六方のやり方と組み合わせると、二方四方立方体、二方三方八面体、二方五方十二面体、二方三方二十面体とも呼べそうです。 正式名称としては他に、二重二方十二面体、二重二方三十面体があるようです。こちらは六方のような偏りはありませんので、どうせならこれらを使うべきと思います。日本ではマイナーな呼び方のようですが、英語版ウィキペではこれに当たる語がメインになっています。ただ、二重二方十二面体と言うと、五方十二面体と紛らわしい感もあるので、どうせなら二重二方菱形十二面体、二重二方菱形三十面体と呼ぶべきではないのか気になります。もしかしたら、二重二方という言葉に菱形という意味合いが含まれてるのかもしれませんが。 二重二方という表現が解り辛いですが、四方立方体と三方八面体は共に二方菱形十二面体と呼べそうなので、その両方を併せ持ってるという事で二重二方という感じかと思います。ちょっと表現が回りくどいですが、要は性質の異なる「二方」を同時に行っているという感じです。しかしそういう意味合いでは、六方も二重三方八面体、二重三方二十面体と呼ぶ必要が出そうですが、そうでない所を見ると、四方でも問題無さそうに思える所です。実際、中国語では四方菱形に相当する呼び方がされているようです。 2008.3.5-2017.3.28 |
| 六方二十面体 | |
| （三方八面体等の）○方 | 切頂四面体〜切頂二十面体には皆「切頂」という同じ語が接頭されてるのに対し、その双対は「三方」「四方」「五方」というマイナーチェンジをしてますが、この呼び分けは本来不要なものです。このような呼び分けは、「○方」などという変なまとめ方をしなければならなかったり、何方だったかいちいち覚えなければならなかったりという不便を生むだけで、統一した方が色々とすっきりして良いと思います。 「三方と六方の区別はどうするのか」と思われるかもしれませんが、「六方八面体」は別項で書いたように本質的には「四方菱形十二面体」であり、菱形十二面体の○方なのです。 英語でも三方はtriakis、四方はtetrakisになってる一方、これらをkis-に統一した名前が近年現れたようです。日本語でも統一名をぼちぼち考えるべきだと思います。 まず、英語のkis-に倣い、数詞の部分を取ってしまおうというのが考えられます。例えば、三方八面体を、単なる方八面体とするわけです。これでは語呂が悪いという場合、多方や割方（かっぽう）のように、適当な字を頭に付ける手が考えられます。 ただ、「方」と言うと四角形の意味合いもある点が若干気掛かりですし、そもそもなぜ「方」なのか謎です。 「切頂」は文字通り頂点を切る操作となっており、解り易い名前なので、同じように文字通りな名前の方がベターかと思います。 そこで、「面を吊り上げる」という操作である事から吊面（ちょうめん、釣面、張面）と呼ぶ手が考えられます。 ただこのままでは、二次元の場合は吊辺、四次元の場合は吊胞という風に、次元によって呼び分ける手間が出て来ますので、これらを更に統一する事を考えます。「領域」や「世界」なら、次元を問わず使えそうですので、吊領（ちょうりょう）、吊域（ちょういき）、吊界（ちょうかい）が考えられます。意味としては「ファセット（多角形では辺、多面体では面、多胞体では胞）を吊り上げる操作」となります。「ちょう」というと、超立方体などの「超」と音が被る点が少し気になりますので、割領（かつりょう）や掲領（けいりょう）、錐領（すいりょう）、起領（きりょう）の方が良いかもしれません。 ただ、同じ語の中で同じ物を領と呼んだり面と呼んだりするのも妙な気がしなくもないので、領域的な意味合いを含まないものの方が妥当なのかもしれません。 次に、「角錐を張り付ける」という意味合いで、「○錐」のような形が考えられます。これが最も適当かもしれません。例としては、設錐（せっすい）、建錐（けんすい）、付錐（ふすい）、加錐（かすい）、発錐（はっすい、ほっすい）、掲錐（けいすい）、引錐（いんすい）、突錐（とっすい）とか、英語のkis-に掛けて起錐（きすい、寄錐、岐錐）とか、色々考えられると思います。 他、中国語では「○角化」と訳されてるようなので、ここから角化を拝借するか、もう少しもじって錐化（すいか）等とするのも良いかもしれません。 頂点を切る切頂に対し、頂点を相補的な箇所に補うという意味合いで、補頂（ほちょう）なども有りかもしれません。 ○方の英語に当たる語は、五方なら「五角形の面だけを吊り上げる」という特殊な意味合いでも使われてますので、注意点かもしれません（例：Pentakis icosidodecahedron、Pentakis snub dodecahedron）。ただ、これらは別の呼び方をしたほうが良さそうな気もします。 余談ながら、切頂は「頂点を開く操作」（開頂と呼べそう）と見ることもでき、対して○方は「各面に角錐を浮き彫りにする操作」（残錐？）と見ることもできます。 2008.3.5-2018.3.1 |
| ねじれ双角錐 | 反角柱はねじれ角柱とも言うようだから、ねじれ双角錐も、反双角錐と言っても良さそうですが、なぜか見当たらない所を見ると、そうは言われないのでしょうか。英名では、反角柱のantiprismに対し、ねじれ双角錐は、trapezohedron、deltohedronの他に、antibipyramidやantidipyramidとも言うようだから、間違いでは無いと思うのですが。 (2008.9.5) |
| 正角錐 | 辞書では「底面が正多角形の直錐」となってるようですが、普通に「底面が正多角形の錐」で良いのではないかと思います。従来の正角錐は「直正角錐」と呼べば良いのですし。 (2016.11.4) |
| 正双角錐 | これは「双正角錐」と呼んだ方が正しいのではないかと思います。「正な双角錐」と呼ぶには自由度が高く、「双な正角錐」と言った方が自然そうだからです。ここの正角は正多角形の略と見ることができますので、この正と角を離してしまうと意味不明になってしまいます。また、角錐の双錐が双角錐という流れでは、正角錐の双錐は双正角錐となります。正角錐の意味に前述の問題があるのが難点ですが。 正双五角錐なら双正五角錐となります。正ねじれ五角錐と言われると「正ねじれ？」って思ってしまうのではないかと思いますが、ねじれ双正五角錐（反双正五角錐）なら判り易いのではないかと思います。双角錐を「角双錐」と呼び、正双角錐を「正角双錐」、反双角錐を「反角双錐」「角反双錐」と呼ぶのも有りかもしれません。 (2016.11.4) |
| 正反角柱 | 上記と同様に、これも「反正角柱」と呼んだ方が正確なのではないかと思います。正多角反柱の方は問題ありませんが。 (2016.11.4) |
| アルキメデスの角柱 | 全ての面が正多角形の角柱・反角柱はこう呼ばれていますが、名前が無駄に長過ぎると思います。正正角柱とか完全正角柱とか特正角柱とか、もっとシンプルなものが色々考えられると思います。 これらの双対となる（カタランの立体の性質を持っている）双角錐、反双角錐にも同様の名前を付けたい所なので、そちらとの兼ね合いも大切になります。 (2016.6.28-11.4) |
| アルキメデスの反角柱 | |
| 錐柱 | 柱の上に、底面を共有するように錐を乗っけたものをこういうそうですが、錐を底面とした四次元の柱と紛らわしい気がしなくもないです。 尖柱（せんちゅう）とか使えないだろうか。 「ねじれ双錐柱」と言った場合に、「ねじれ双錐の柱」なのか「双錐のねじれ柱」なのかが曖昧となってしまうのも気になります。 (2008.9.5-2016.11.14) |
| 双錐 | 両錐、重錐とも言うようです。 双錐が最も標準的になってる様子なのでこれを使ってますが、よく思うと、双錐では二つ並んだ錐というイメージになるかもしれませんし、四次元の双柱とも紛らわしいかもしれません。そこで両錐が適当だろうかと思ったのですが、単純に「両方の錐」って意味にもなってしまいそうなので難しいです。双柱についてはあちらの名前の方が問題を抱えてますし、結局の所、双錐が一番無難かもしれません。 英語ではbipyramid＆biconeとdipyramid＆diconeか混在している感じがします。個人的にはbiの方が、単なる「二」よりも「両」の意味が強そうなので、妥当ではないかと思います。 (2008.9.5) |
| 菱面体 | 菱形六面体のより一般的な呼び名のようですが、字面的には菱形多面体の略みたいで、菱形十二面体なども含まれてしまいそうです。菱方体なら問題無いと思うのですが、正八面体を対角線方向に伸縮させた図形と混同しないように注意が要りそうです。 (2016.11.2) |
| 整凸面多面体 （整凸多面体） | 正多角形で構成された凸多面体全般の事のようですが、これって正凸面多面体ないし正凸多面体の誤植じゃないですかね？ 英語ではregular-faced convex polyhedronと言うそうなので正のはずですし、なぜ整なのかの説明が見当たらないし、別の意味であるintegral convex polyhedronの訳とされてる事もあります。ただ、正にしたら正多面体と意味的に同じになってしまいそうなので、個人的には正面凸多面体辺りが妥当かなと思います。 (2016.6.23-2018.3.15) |
| 複合多面体 | この三つはそれぞれの違いが解り辛いと思います。ウィキペによれば、複合多面体は同一の多面体同士の複合で、複合体は同一でなくても良い多面体同士の複合だそうですが、名前から考えると意味不明です。相貫体に関しては、単に立体同士が複合したものという意味で使われてる例の方が目立ちます。 ひとまず、複合体（或いは複合立体）を「立体同士（同異問わず）の複合」とし、複合多面体を「多面体同士（同異問わず）の複合」とし、同一の多面体同士の複合は重複多面体や重合多面体とすればすっきりするんじゃないかと思います。 双対多面体同士が全ての辺同士が接するように複合したものの呼び名も欲しい所です。双対複合、辺接体、補合体、干合体など色々考えられると思います。 (2016.5.3-6.28) |
| 複合体 | |
| 相貫体 | |
| 四次元・一般次元 | |
| 正多胞体 | 多胞体と言えば四次元の図形を指し、多角形・多面体を含めて一般次元に拡張したものはポリトープ（超多面体）と呼ばれるそうなのですが、正多胞体と言うとなぜか、四次元の図形の事も一般次元の図形の事も指してややこしい事になっています。特に標準正多胞体と言った場合は大抵一般次元となります。多胞体を四次元に限定する以上は、一般次元のものを正多胞体と呼んでいてはダメなはずです。逆に星型正多胞体はだいたい四次元版に限定されてるようです。 そこで、一般次元の場合は「正ポリトープ」「超正多面体」「正超多面体」、標準正多胞体の事は「標準正ポリトープ」「標準超正多面体」「標準正超多面体」などと呼ぶべきだと思います（一部は実際に使われてるみたいです）。ポリトープと正多胞体の区別は問題にされる一方で、どうしてそこは気にする人があまり居ないのか非常に謎です…。 (2016.5.11-2018.3.19) |
| 双角柱 （n-m角柱） | ウィキペでは詳しい所は未だ紹介されてませんが、岡田好一ホームページさんで詳しく紹介されてます。 四次元と言えば、四次元超球や、四次元超立方体などの四次元正多胞体の存在は比較的簡単に予想できますが、この双角柱は目から鱗でした（ウィキペの図形一覧に「二重角柱」というのが入ってますが、これの事を指すのかどうかは解りません）。 ネット上では、角柱同士の場合の話しか見当たりませんが、双円柱や、円-角柱というのも出来ると思います。まとめると「双柱」でしょうか。 また、4-4角柱（の正）は四次元正測体となります。 双柱という表現は、三次元の双錐と紛らわしいので、互いに別の表現にすべきだと思います。英語ではそんな事は無いようで、双角錐はbipyramidまたはdipyramid、双円錐はbiconeまたはdiconeに対し、双角柱はduoprism、双円柱はduocylinderのようです（coneとcylinderは、通常は円錐・円柱を指す様子ですが、一般的な錐体・柱体の意味でも使われる気配があります）。 双錐には他に、両錐、重錐とも言うようなので、双錐の方をそちらに変更する手も思い浮かぶ所ですが、6次元では恐らくn-m-k角柱も現れる所を踏まえると、それは得策では無さそうです。 二つの柱がもつれ合っているような形から、ねじれ角柱（反角柱の別名）みたいな乗りで「もつれ柱」とか「絡柱」ってのはどうかと思います。これならn-m-k角柱にも流用できそうですし。 双角柱の双対多胞体も気になります。n-m双角錐（双双角錐？）とでも呼ぶのでしょうか。四面体（正四面体でなくても構わない）n×m個で構成されてます。4-4双角錐（の正）は、四次元正軸体になります。 その中で、3-3角柱に対するものは、正でないにしろ四面体９つで構成される事は予想できますが、五次元正単体と同じ点と線の関係になってます。面や胞の構成は違って来ますが、本当に有り得るのか気になります。 円-円柱に対して考えられる、円−円双錐も気になります。前者は、丸まってるながらも、二つの円柱に分解できそうですが、後者はおそらく分解不能なものになるんじゃないかな。円-角柱に対する円-角双錐についても同様です。 2008.3.5-2016.11.2 |
| Duopyramid | 双角柱の双対はこう呼ばれているようです。これは双角柱という訳に従えばもろ双角錐になってしまい、いよいよこの訳を見直す必要が出て来たのではないでしょうか。しかし、角柱の双対が双角錐である事を踏まえると、これはそもそもDuobipyramidあるいはDuodipyramidと呼ぶべきなのではないかと思います。それなら日本語でも双双角錐と言った感じで、なんとか被りは防げるかもしれません。 (2017.10.31) |
| 刻面 | ポリトープのn-1次元要素（多角形における辺、多面体における面、多胞体における胞）を意味するファセットの日本語です（要出典らしいですが）。これを利用すれば、ポリトープ（超多面体）は「多刻面体」「多刻体」とも呼べそうです。ここでの「刻」は、「n次元空間を刻む境界」みたいな感じで解釈できそうです。 ただ、二文字である上に、既に使われている「面」が入っていますので、もう少し良い名前が無いか気になります。 ファセットは「境界」「仕切り」的な側面を持ってるのではないかと思います。境界面、境界線と言う表現にも見られるように、境界という語は次元を問わず使用できますので、ファセットの訳として「境」「狭」なども候補にできるのではないかと思います。この場合、ポリトープは「多境体」等となります（「境界が沢山ある」というのはイメージに合わないかもしれませんが、多面体も「１つの閉曲面」とも見なせるのにこの名前なので、「平らな境界が沢山ある」程度の解釈をすれば合う気もします）。 多面体の表面や多角形の周に視点を置くと、ファセットは「領域」「世界」的な見方もできると思いますが、それはあくまで次元を一つ落とした見方になるので、領域と言えばポリトープ自身、ファセットによって区切られた内外を指した方が合いそうです（「多領体」「多域体」「多界体」といった表現もできないかと思ったのですが…。「領」だと「稜」と音が被るのも難点かもしれません）。 他、n-2次元要素はリッジと呼ばれ「稜」と訳され、n-3次元要素はピークと呼ばれ「峰」と訳されているらしいです。これらは地形の用語として馴染み深いので、ここからもファセットの訳を考えられないかと思いますが、「山の斜面」や、そこから連なる「野原」や「盆地」か……中々難しいです。 この「稜」「峰」についても気になる所があります。 まず「峰」については「胞」と同音な点です（訓読みで読むって手もあるかもしれませんが…）。 「稜」については、頂点を切るのが「切頂」なのに対し辺を切るのが「切稜」と表現されてる辺り、n-2次元要素というより1次元要素扱いされてないかがちょっと気になります。 2016.5.11-2020.2.6 |
| 正単体 | 「単体」と言うと「一体」という意味のお馴染みの単語と被ってしまうのが少し気になります。正が付いてる場合なら特に問題は起こらなさそうですが、もっと一般的な形を意味する場合には正を外すとすると、「単体」となってしまい混乱を招きそうです。恐らく英名のsimplexから来る「単純」の意味で「単」なんだと思いますが、それなら正純体でも良さそうです。これも微妙な響きですが、単体よりはマシじゃないかなぁ…。「簡素」から正素体、正簡体もできそうですが、前者はやはり「素体」が既存の馴染み深い単語ですし、後者は読みがアレですね。 (2016.11.4) |
| スーパー楕円 | 楕円の式の(x/a)^2+(y/b)^2=1を|x/a|^n+|y/b|^n=1に拡張したものをSuperellipseと言い、その三次元版(|x/a|^n+|y/b|^n)^(m/n)+|z/c|^m=1をSuperellipsoidと言うらしいですが、日本語訳としては前者はスーパー楕円、後者は全然違って超2次楕円体がより定着しているようです。なぜ普通に超楕円、超楕円体とならなかったのかと思う所ですが、長楕円と音が被りますし、全く別の概念で超楕円曲線というものもありますし、楕円体の多次元版も超楕円体と呼べそうなのでややこしいです。スーパー楕円は日本語訳するなら、超2次楕円あるいは超2次楕円形辺りがひとまず使えると思います。単純にスーパーと言われてもどこがスーパーなのか解り辛く思いますが、超2次なら「2次では無い」という性質をズバリ表してて解り易いと思います。 (2016.7.2) |
| 超2次楕円体 | |
| 超立体 | 四次元以上、または一般次元の図形を呼ぶ場合、単に立体ではなく、この呼び方を使うのが妥当に思います。多少は既存のようです。 (2020.2.12) |
| 鏡映対称 鏡像対称 鏡面対称 反射対称 | 別名が多くてどれを使えば良いか困ることがありますが、「鏡映対称」が恐らく最も妥当で、なおかつ専門的な場ではメジャーであるように思います。 まず、同系統と言える「並進対称」や「回転対称」が「（操作名）対称」という形式になってますが、この形式と整合が取れそうなのは、上記の中で「鏡映」と「反射」になります。「鏡映する」とは言えても「鏡像する」とは言えそうにないですからね。そして「反射」では意味が広すぎて判り辛い感もありますし、反射だと戻って来ることになって、鏡映とはちょっと違う移動になってしまう感もあります。 また、若干専門的なものに「回映対称」「映進対称（すべり鏡映対称）」がありますが、これらは「鏡映対称」という呼称を前提とした名前のようになっています。 なお、「線対称」や「左右対称」とも混同されがちですが、そこも明確に区別すべきだと思います。線対称と同じになるのは二次元だけですし（三次元の線対称は回転対称）、左右対称は「上下対称」「前後対称」と同列の、特定の向きについての鏡映対称です。 (2023.1.19-22) |
| 対称移動 | 学校ではこの名で習うと思いますが、同義である「鏡映移動」または「鏡像移動」（どちらかと言えば前者）を使うべきだと思います。点対称や並進対称も「対称」の一種だからです。また、二次元なら「線対称移動」とも呼べそうですが、これだと三次元では180°の回転移動と被ってしまう点にも注意です。 (2020.2.6) |
| 平行移動 | 類似の言葉である「並進移動」に置き替えるべきではないかと思います。 「回転移動」「並進対称」という表現や、回転移動に対する対称が「回転対称」があることに対しては、そちらの方がしっくり来る気がします。 また、平行移動って表現は思えば判り辛い気もします。平行移動の何が平行なのか…。移動の前後で対応する各点を結んだ線が全て平行になるからかと思ってましたが、これだと鏡映移動（対称移動）も当て嵌まってしまうんですよね。移動の前後で対応する線同士が平行と解釈すれば良さそうですが、拡大縮小変化の場合もこれを満たしてしまうのが数学的に問題な気もします。 (2023.1.19) |
| 自己相似 | コッホ曲線などの持つ、「自分の中に相似形を持ってる」という性質ですが、思えば「自分と相似形である」という意味にも取れて、それだとどの図形でも当て嵌まってしまいます。ただ、「拡大縮小対称」とは似て違う所がある点にも注意が要ると思います。相似や合同は、回転・鏡映した図形同士でも言えるのに対し、純粋な拡大縮小は、（並進を伴う事はあっても）回転や鏡映は伴いません。拡大縮小を回転や鏡映と同時に行う操作に対する対称も、自己相似にはなりますが、純粋な拡大縮小対称とはちょっと違う話になります。 (2023.1.22) |
| 語 | 読み | 意味 | 由来・備考 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二次元 | |||||||||||||||
| 等角四角形 等角方形 | とうかくしかっけい とうかくほうけい | 長方形 | (2016.5.31) | ||||||||||||
| 等辺四角形 等辺方形 | とうへんしかっけい とうへんほうけい | 菱形 | (2016.5.31) | ||||||||||||
| 反平行四辺形 | はんへいこうしへんけい | antiparallelogram | 英語名の直訳。別名のcrossed parallelogramの(やや古めかしい)直訳「交叉平行四辺形」はそれなりに確認できる。その場合、現代の他の用語との統一のため、「交差平行四辺形」と呼んだ方が良いと思う。 (2016.5.23-24) | ||||||||||||
| 逆行四辺形 | ぎゃっこうしへんけい | antiは逆と訳される事もある点から、逆平行四辺形とも呼べそうですが、平行の辺が無いのに平行四辺形って名が付くのも日本語的に違和感有る気がする点などから、短縮してこうすると語呂的にも良さそうかななんて思いました。意味的にはよくわからなくなってしまいますが…。 (2016.6.2) | |||||||||||||
| 交差長方形 | こうさちょうほうけい | crossed rectangle | 英語名の直訳だが、原語自体がcrossed parallelogramいう名称との相性が悪そうに思う。交差長方形は頂点を結べば長方形になるが、交差平行四辺形はならない。平行四辺形を片方の対角線で折り曲げれば交差平行四辺形になるが、長方形をそうしても交差長方形にはならない。ただ、雑巾を絞るような操作なら、平行四辺形は交差平行四辺形に、長方形は交差長方形になるので、問題無いのかもしれない。 (2016.6.3) | ||||||||||||
| 反長方形 | はんちょうほうけい | crossed parallelogramがantiparallelogramなら、crossed rectangleはantirectangleと呼べそうなので、その直訳。 (2016.6.3) | |||||||||||||
| 正星型多角形 純星型多角形 | せいほしがたたかっけい じゅんほしがたたかっけい | 星型正多角形の一般多角形版 | 正五角形から作った五芒星は星型正多角形の範疇に含まれますが、六芒星は、正六角形から作ったものであってもそれには含められないそうです。ただの星型多角形となります。でもただの星型多角形には、ただの六角形から作られた六芒星も含まれてしまいます。更にはただの六角形自体も含まれてしまうそうな？ では正六角形から作った六芒星を特に指したい場合は何と呼べば良いのか。等辺六芒星という言葉もあるそうですが、8/2角形の場合は等辺てだけでは不十分です。 そこで、正多角形から作った星型多角形全般を「星型正多角形」とし、ただの多角形から作った分解不能な星型多角形を「正星型多角形」または「純星型多角形」とし、正多角形から作った分解不能な星型多角形を「正星型正多角形」「純星型正多角形」としてはどうか、なんて思いました。 (2016.5.17) | ||||||||||||
| 密度付き正多角形 | みつどつきせいたかっけい | 正多角形と星型正多角形をひっくるめた言葉 | 星型の分母は密度と呼ばれているそうなので、長ったらしくはあるが、語弊は無いと思う。 英語の場合、正多角形に相当する語であるregular polygonはどうも、星型も含んでいるようで、通常の正多角形は凸型正多角形のように呼ばれ区別されている様子。しかし通常の正多角形にいちいち凸型と付けるのは面倒な気もするし、星型正五角形に対して通常の正五角形を凸型正五角形と呼ぶとなると特に具合悪そうなので（星型正五角形はあくまで正5/2角形の別名って捉えればそうでも無いかな）、正多角形は凸型限定のままにし、星型とまとめた用語を別に作るのが好ましいのではないかと思った。 (2016.5.17) | ||||||||||||
| m複合正n角形 m相正n角形 | 正n角形m個による複合正多角形 | 六芒星に対する正6/2角形という表現は、俗語っぽい様子があります。確かに、約分して正三角形になってしまうのは結構難点です。正n/m角形でn=6、m=2の場合を本当に正三角形の意味としたい事も結構あると思います。 一方、正n/m角形という表現は、七芒星以降は複数ある星型の内の一種類のみを指すことが出来るという便利さがありますので、代替となる呼び方も欲しい所です。七芒星はどちらとも星型多角形なので良いのですが、正8/2角形相当の八芒星はどう呼べば良いのか。一応、「正八角形の最初の星型」などの表現ができますが、もう少し短くしたいです。六芒星の場合なら、二重正三角形のように呼べそうですが、正三角形の辺が二重になってたりとか、他にも別の意味で使われている様子があるので危ないです。 複合正多面体という呼び方に対して、二複合正三角形という表現が使えるかもしれません（実際に使われてる？）。他、三相交流的なイメージで、二相正三角形というのも候補になりそうに思います。 (2017.5.25) | |||||||||||||
| 第mn芒星 | 正n角形のm番目の星型 | 六芒星を正6/2角形と呼んではいけない場合、十芒星の星型は「二複合正五角形」「正10/3角形」「二複合星型正五角形」となり、十芒星として並べたい場合には不便です。それぞれ「正十角形の最初の星型」「正十角形の二番目の星型」「正十角形の三番目の星型」とも呼べるので、これなら綺麗に並びますが長いです。 そこで、これらを「第一十芒星」「第二十芒星」「第三十芒星」と呼んではどうかと思います。正7/2角形や正7/3角形についても、第一七芒星、第二七芒星と呼んだ方が解り易いと思いますし、潰れた七芒星に対しても俗称的に使えそうです。 ただ、数字同士が隣接してる点が難点ですかね。第二十芒星では二十芒星と紛らわしいかもしれません。 (2017.5.31) | |||||||||||||
| 方状楕円 方状楕円形 | ほうじょうだえん ほうじょうだえんけい | スーパー楕円 | 長方形⇔円⇔菱形という変化をするため。縦と横が等しい場合は特に方状円、超2次楕円体は方状楕円体。方円では単に「円と方形」って意味になってしまうみたい。 (2016.7.5) | ||||||||||||
| 三次元・多面体 | |||||||||||||||
| 方体 | ほうたい | 正方形の一般版が方形なのに対する、立方体の一般版 | 六つの四角形に囲まれた図形で、平行六面体や四角錐台も含む。 立方体の別名である正六面体から正を取って、ただの六面体って言うのは一見良さそうですが、そこは立体の難しい所で、双三角錐や五角錐まで入ってしまう。八角体ではもっと色々入ってしまう。八角六面体でも、五角柱を底面の一辺から上方向に斜めに切ったような図形が出てきます。 (2008.3.5) | ||||||||||||
| 四角形六面体 四角六面体 | しかっけいろくめんたい しかくろくめんたい | ストレートで解り易いと思います。既存？ ただ、似た名前である「五角二十四面体」「五角六十面体」は特殊な五角形によって構成されてるので、このネーミングとの両立は難しそうです。 (2016.6.1) | |||||||||||||
| 矩体 | くたい | 直方体 | (2008.3.5) | ||||||||||||
| 菱体 | りょうたい | 正八面体を、対角線の方向（三種）に伸ばしたり縮ませたりしたもの | 菱形の三次元版と言ったら、色々考えられそうですが、ひとまずはこれです。 菱形のような、辺における等しさは、三赤道面においてしかありませんが、面においては八面とも等しいです。二次元では点⇔辺ですが、三次元では点⇔面なので、これで良さそうです。また、矩形や矩体が、対角線の長さが等しく、円や球に外接するのに対し、菱形同様、対角線が互いに直角で交わり、球に内接します。 ただ、正ねじれ双三角錐も、見逃しはできません。こちらは、正ねじれ双角錐共通の性質である面の合同と球内接に加え、辺の長さが全て等しく、面が菱形です。また、対角線の交点の形状も、立方体に一致します。自由度に関しては、矩体や菱体が３方向なのに対し、高さと太さの２方向のみです。 一方、菱体に対しては、正反三角柱があります。先の菱形のような綺麗な性質は見当たりませんが、等対角線長、頂点形状の合同、球外接の性質があり、自由度は２方向です。 正八面体の固有名が決まるまでは、正八面体を正菱体、一般版を準菱体と呼べそうです。 (2008.3.5) | ||||||||||||
| 多角体 | たかくたい | 多面体 | 多面体と言うと、通常「多角形の三次元版」と認識されると思いますが、多角形と言う名前は頂点が基準、多面体と言う名前は面が基準となっています。本来、多角形に対しては多角体、多面体に対しては多辺形のはずです。多面体の四次元版は多胞体ですが、多角体はそのまま多角体となるのが難点かもしれません。 (2014.4.23) | ||||||||||||
| 等面正角多面体 | とうめんせいかくためんたい | 正多面体とカタランの立体の総称 | 面が全て等しく、角形状が全て正角錐状である特徴から。「等面」という接頭語は「等面菱形多面体」から。この名前だと擬凧形二十四面体も入ってしまうので、等面囲正角多面体の方が正確かも。ただ、それでもアルキメデスの角柱・反角柱の双対は入ってしまう。 (2016.5.1-10.31) | ||||||||||||
| 凸一様双対 | とついちようそうつい | (2020.2.12) | |||||||||||||
| 等角正面多面体 | とうかくせいめんためんたい | 正多面体と半正多面体の総称 | 上の面と角を入れ替える。上記と同様の理由により、等頂囲正面多面体の方が正確かも。 (2016.5.1-10.31) | ||||||||||||
| 凸一様多面体 凸型一様多面体 | とついちようためんたい とつがたいちようためんたい | わりとそのままなので造語と呼ぶには微妙？ (2018-3.15) | |||||||||||||
| パック多面体 PAC多面体 | ぱっくためんたい | 正多面体（プラトンの立体）、半正多面体（アルキメデスの立体）、カタランの立体の総称 | プラトンのP、アルキメデスのA、カタランのCでPAC。 (2016.11.2) | ||||||||||||
| 準正多面双対 準正双対 準正双対体 | じゅんせいためんそうつい じゅんせいそうつい じゅんせいそうついたい | 準正多面体の双対 | 即ち菱形十二面体と菱形三十面体。 (2016.6.28) | ||||||||||||
| 等辺囲多面体 | とうへんいためんたい | 辺周りの形状が全て等しい多面体 | すなわち準正多面体とその双対、および正多面体（他にもあったっけ？）。等辺多面体とした場合は、辺の長さが等しいだけになってしまいそうなので注意です。また、これを正多辺体と呼んでしまうと、正多面体にカタランの立体辺りが含まれてしまう事になりそうです。 (2016.10.31-11.13) | ||||||||||||
| 等辺囲二十四辺体 | とうへんいにじゅうよんへんたい | 立方八面体と菱形十二面体 | 二十四の辺から成る等辺囲多面体。半正二十四辺体としてしまうと、恐らく菱形十二面体が含まれなくなってしまう点に注意。 (2016.10.31) | ||||||||||||
| 等辺囲六十辺体 | とうへんいろくじゅっぺんたい | 二十・十二面体と菱形三十面体 | 六十の辺から成る等辺囲多面体。 (2016.10.31) | ||||||||||||
| 正二十・十二面体 | せいにじゅうじゅうにめんたい | 二十・十二面体 | ちゃんと「正」を付けないと、引き伸ばしたような図形も含まれて来てしまうのではないか気になります。他の半正多面体もそうです。 正多面体でないのに正が付いてても、正角錐の例がありますので特に問題無いと思います。或いは、正面二十・十二面体辺りはどうかと思います。 しかし、ジョンソンの立体が全般的に同様の問題を抱えてたりと、結構根深い問題のようです…。 (2016.4.19-2020.2.12) | ||||||||||||
| 八・六面体 | はちろくめんたい | 立方八面体 | 立方体は、正多面体を並べる際に、あえて正六面体と呼ばれる事があるようですので、立方八面体にもそれに対応する呼び名が必要だと思います。六・八面体でも良いかもしれませんが、一応二十・十二面体に倣ってます。立方体と正八面体を併せて言う場合に使われる事もあるようなのが難点ですが、同じ問題は二十・十二面体も抱えています。 ベクトル平衡体というかっこ良さげな名前も付いてるようですが、由来の詳細がよくわかりません…。これは後から付けられた名前のようで、命名者の世界観に基づくスピリチュアル用語っぽい感じもしますので、数学的立場ではあまり使わない方が無難かもしれません。ただ、「頂点間の距離＝頂点と体心の距離」という固有の特徴に基いているようです。 立方八面体を八・六面体と呼ぶ場合は当然、斜方立方八面体は斜方八・六面体に、切頂立方八面体は切頂八・六面体に、変形立方八面体は変形八・六面体となります。 (2016.4.19-2017.3.27) | ||||||||||||
| 立八体 | りっぱちたい | (2016.4.20) | |||||||||||||
| 八・六角体 | はちろっかくたい | 菱形十二面体 | 半正多角体の場合のようなややこしさは無いと思いますが、正八角体＋正六角体とも解釈できそうで、そうなると立方八面体と同義となってしまうかもしれません。これを先の吊領と組み合わせると、二重二方十二面体は吊領八・六角体となります。 (2016.4.19-11.1) | ||||||||||||
| 二十・十二角体 | にじゅうじゅうにかくたい | 菱形三十面体 | これを先の吊領と組み合わせると、二重二方三十面体は吊領二十・十二角体となります。 (2016.4.19-5.1) | ||||||||||||
| 十二・八・六角体 | じゅうにはちろっかくたい | 凧形二十四面体 | (2016.4.21-5.1) | ||||||||||||
| 三十・二十・十二角体 | さんじゅうにじゅうじゅうにかくたい | 凧形六十面体 | (2016.4.21) | ||||||||||||
| 変形菱形十二面体 ねじれ菱形十二面体 変形八・六角体 ねじれ八・六角体 | へんけいひしがたじゅうにめんたい ねじれひしがたじゅうにめんたい へんけいはちろっかくたい ねじれはちろっかくたい | 五角二十四面体 | この場合の菱形は「りょうけい」と読むとしている例もありますが、凧形は普通に「たこがた」と読む事からしても、「ひしがた」の方が自然で良いのではないかなと思います。 (2016.4.21-10.31) | ||||||||||||
| 変形菱形三十面体 ねじれ菱形三十面体 変形二十・十二角体 ねじれ二十・十二角体 | へんけいひしがたさんじゅうめんたい ねじれひしがたさんじゅうめんたい へんけいにじゅうじゅうにかくたい ねじれにじゅうじゅうにかくたい | 五角六十面体 | (2016.4.21-10.31) | ||||||||||||
| 提灯正多面体 行灯正多面体 | ちょうちんせいためんたい あんどんせいためんたい | 斜方立方八面体と斜方二十・十二面体 | 立方体→斜方立方体の変形をCantellationと言う所から。 また、Stellationの訳が星型化になってる事に対して、Cantellationの訳として提灯化または行灯化はどうかと思います。 canteraが語源なのかどうかがはっきりしませんが、形的には合って無くも無いかと思います。 (2016.10.31-11.10) | ||||||||||||
| 変形正多面体 ねじれ正多面体 | へんけいせいためんたい ねじれせいためんたい | 変形立方八面体と変形二十・十二面体 | 名前だけ見ると変形準正多面体みたいでややこしいですが…。 (2016.10.31) | ||||||||||||
| 切頂正多面体 | せっちょうせいためんたい | 切頂四面体、切頂立方体、切頂八面体、切頂十二面体、切頂二十面体の総称 | (2016.5.1) | ||||||||||||
| 切頂準正多面体 | せっちょうじゅんせいためんたい | 切頂立方八面体と切頂二十・十二面体 | (2016.5.1) | ||||||||||||
| 星型半正多面体 | ほしがたはんせいためんたい | 正多面体、半正多面体、星型正多面体以外の一様多面体（角柱やスキリングの立体などを除いた53種） | Uniform star polyhedronの一種とはされているので、星型正多面体のRegular star polyhedronに対し、Semi-regular star polyhedron→星型半正多面体と呼んで問題無さそう。（僅かながら使用例が既に存在） 「非凸半正多面体」とも呼べると思いますが、星型正多面体に対応した名前としては、星型半正多面体が適当に思います。 (2018.3.15) | ||||||||||||
| 一様双対 | いちようそうつい | 一様多面体の双対 | (2018.8.11) | ||||||||||||
| 星型半正双対 | ほしがたはんせいそうつい | 星型半正多面体の双対 | (2018.8.11) | ||||||||||||
| 星型カタランの立体 | ほしがたかたらんのりったい | ||||||||||||||
| カタランの双角錐 | かたらんのそうかくすい | アルキメデスの角柱と双対となる双角錐 | 実際にこの呼び名有っても良さそうな。 (2016.5.9) | ||||||||||||
| カタランの反双角錐 カタランのねじれ双角錐 | かたらんのはんそうかくすい かたらんのねじれそうかくすい | アルキメデスの反角柱と双対となる反双角錐 | (2016.5.9) | ||||||||||||
| ミラー双対 | みらーそうつい | ミラーの立体の双対（擬凧形二十四面体） | …と思ったけど、既に別の意味があるみたい。 (2016.6.27) | ||||||||||||
| 半正平面充填形 | はんせいへいめんじゅうてんけい | アルキメデスの平面充填形 | (2016.6.26) | ||||||||||||
| ダ・ヴィンチのn角星 | だびんちのえぬかくせい | 正n面体によるダ・ヴィンチの星 | ダ・ヴィンチの星は5種類ありますが、これを呼び分ける際にいちいち「正八面体から作ったダ･ヴィンチの星」なんて言うのは不便なので、以下のように名付けてはどうかと思います。
(2016.6.30) | ||||||||||||
| 平同多面体 | へいどうためんたい | ゾーン多面体 | ネット上の説明がだいたい間違ってて長い間よくわからなかったのですが、面も全体も点対称な多面体のようです。 それは多分、向かい合う面が平行移動で重なるような多面体、とも言えると思いますので、「平同多面体」という呼び方もできるのではないかと思います。 次に、このゾーンというのは、特定の辺に平行な辺を持つ面のみを取り出すと現れる、帯の輪の意味合いのようですので、それを用いて「帯輪多面体」「帯環多面体」とも呼べると思います。 ゾーンはキャタピラ（無限軌道、履帯）っぽくもありますので、そこから「軌道多面体」「履帯多面体」とも呼べるのではないかと思います。 (2020.2.12) | ||||||||||||
| 帯輪多面体 | たいりんためんたい | ||||||||||||||
| 帯環多面体 | たいかんためんたい | ||||||||||||||
| 軌道多面体 | きどうためんたい | ||||||||||||||
| 履帯多面体 | りたいためんたい | ||||||||||||||
| 平行充填多面体 | へいこうじゅうてんためんたい | 平行多面体 | ゾーン多面体の内、単独で空間充填できるものが平行多面体と呼ばれてるそうなのですが、名前が悪すぎるのではないかと思います。向かい合う面が平行なだけなら正八面体も当て嵌まってしまいます。そこで、「平行移動によって空間充填できる多面体」という事で、こう呼んではどうかと思います。 (2020.2.12) | ||||||||||||
| 平填多面体 | へいてんためんたい | ||||||||||||||
| 三次元・その他 | |||||||||||||||
| 角球 | かくきゅう | 円の代わりに多角形を赤道面として作られた球 | こちらで扱ってます。 (2006.1.15) | ||||||||||||
| Hozuki Hoozuki | 角球の英名候補 | 他の立体が、形の似た具体的な物体の名を借りてるので、それに倣ったもの。ただ、ほおずきはハート型に近い感じもするから難しいか…？ (2016.5.12-6.7) | |||||||||||||
| Hozky | Hozukiをちょっと崩したもの。こっちの方が英語圏の方々には馴染めそうな気がしたりして。でもHentai等がそのまま英語になってる所を見ると不要かも。 (2016.6.7-28) | ||||||||||||||
| 直角球 | ちょっかくきゅう | 極軸が赤道面の中心を直交している角球 | 斜柱・斜錐に対する、直柱・直錐に相当。 (2011.5.15) | ||||||||||||
| 斜角球 | しゃかくきゅう | 極軸が傾いている角球 | (2011.5.15) | ||||||||||||
| 歪角球 | わいかくきゅう | 極軸が赤道面の中心を通らない角球 | (2011.5.15) | ||||||||||||
| 歪斜角球 変角球 | わいしゃかくきゅう へんかくきゅう | 極軸が傾いており、赤道面の中心を通らない角球 | (2011.5.15) | ||||||||||||
| 一般球 | いっぱんきゅう | 一般の平面図形を赤道面として作られた球 | (2006.1.15) | ||||||||||||
| 般球 | ぱんきゅう | 「はんきゅう」では半球と紛らわしいので注意。 (2012.1.13-2016.5.3) | |||||||||||||
| 歪球 | わいきゅう | 球の極軸をずらす事によって作られる立体 | 斜球に相当するものは普通に楕円体になる。円に対して歪円を考える事もできますが、これは二種の楕円が半々で繋がったものとなってます。 (2011.5.15) | ||||||||||||
| 円球 | えんきゅう | 回転楕円体 | 多角形を赤道面としたものを角球としたのに対し、円を赤道面にしてできるため。広義には歪球等も含まれる。ただ、通常の球という意味で既に結構使われてる様子。 (2006.1.15) | ||||||||||||
| 楕円球 | だえんきゅう | 楕円体 | 広義には歪球等の赤道面が楕円版も。 (2006.1.15) | ||||||||||||
| 円柱多角環 円柱角環 | えんちゅうたかくかん えんちゅうかくかん | 円柱を多角形状に組んだもの | トーラスの半多角形版の一つ。n角形状に組めば円柱n角環。多角環て言葉が既にあるっぽいが、角柱を多角形状に組んだものと言う感じ？ (2016.5.12) | ||||||||||||
| 角柱円環 | かくちゅうえんかん | 角柱による環（多角形による環状体？） | トーラスの半多角形版の一つ。n角柱によるものならn角柱円環 (2016.5.12) | ||||||||||||
| 一般次元 | |||||||||||||||
| 境 | きょう | ファセット（刻面？） | 「境界線」「境界面」など、「境界」という表現は次元を問わず使用できる点から。 (2018.3.19) | ||||||||||||
| 多境体 | たきょうたい | ポリトープ（超多面体） | (2018.3.19) | ||||||||||||
| 回進対称 | かいしんたいしょう | らせん対称（螺旋対称） | 回映対称が回転×鏡映、映進対称が鏡映×並進に対する対称なのに対し、これは回転×並進に対する対称なのですが、この「らせん」だけ操作名っぽくないので、それっぽい名前もあった方がよいのではと思います。「らせん運動」というと、物体の向きについては問わないものになりますし。らせんの方が初見向けには解り易いかもしれませんが。この語はJELLYGIMMICK Chronicleさんで既に提唱されてました。 (2023.1.21) | ||||||||||||
| 拡縮対称 | かくしゅくたいしょう | 拡大操作／縮小操作によって、元の図形に一致する対称性。自己相似図形の一種になる。たぶん「スケール対称」「スケール不変」「縮尺対称」「拡大対称」「拡大縮小対称」がこの意味。 | 並進対称や回転対称、鏡映対称に合わせて、日本語かつ動詞的な操作名を○○対称の○○に入れるのが妥当ではないかという点と、縮小操作に対しても対称である点、なるべく二文字にまとめた方が良いのではないかという点から。 (2023.1.19) | ||||||||||||
| 図形 | 操作（造語） | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 全切頂 （面全ねじれ） | 半切頂 | 全吊面 （頂点全ねじれ） | 半吊面 | 面半ねじれ | 頂点半ねじれ | 二重全切頂 （提灯化） | 二重全吊面 | |
| 二重線分（{2,2}） | 四重線分 | 正方形（二重線分柱型） | 正方形 | 正方形（双二重線分錐型） | 正四面体 | 正四面体 | 正方形（二重） | 四重線分（中点付き） |
| 正三角形 | 正三角形（二重） | 三重線分（中点付き） | 双三角錐 | 正八面体 | 立方体 | 三角柱 | 双三角錐 | |
| 三重線分（{2,3}） | 三角柱 | |||||||
| 正方形 | 正方形（二重） | 四重線分（中点付き） | 正八面体 | 反四角柱 | 反双四角錐 | 立方体 | 正八面体 | |
| 四重線分（{2,4}） | 立方体 | |||||||
| n角錐 | 反n角柱 | 反双n角錐 | 異相双n角台塔 | 角反双錐柱？ | ||||
| 正四面体 | 正八面体 | 切頂四面体 | 立方体 | 三方四面体 | 正二十面体 | 正十二面体 | 立方八面体 | 菱形十二面体 |
| 立方体 | 立方八面体 | 切頂立方体 | 菱形十二面体 | 四方立方体 | ねじれ立方八面体 | 五角二十四面体 | 斜方立方八面体 | 凧形二十四面体 |
| 正八面体 | 切頂八面体 | 三方八面体 | ||||||
| 正十二面体 | 二十・十二面体 | 切頂十二面体 | 菱形三十面体 | 五方二十面体 | ねじれ二十・十二面体 | 五角六十面体 | 斜方二十・十二面体 | 凧形六十面体 |
| 正二十面体 | 切頂二十面体 | 三方二十面体 | ||||||
| 立方八面体 | 斜方立方八面体 | 切頂立方八面体 | 凧形二十四面体 | （ねじれ立方八面体） | ||||
| 菱形十二面体 | 二重二方十二面体 | （五角二十四面体） | ||||||
| 二十・十二面体 | 斜方二十・十二面体 | 切頂二十・十二面体 | 凧形六十面体 | （ねじれ二十・十二面体） | ||||
| 菱形三十面体 | 二重二方三十面体 | （五角六十面体） | ||||||
| 図形 | 他の性質（※殆ど造語） | |||
|---|---|---|---|---|
| 柱・錐系 | 半正多面体的 | その他 | ||
| 線分 | 点錐 点柱 双点錐 | 正二角線 | 半正方形 | |
| 正三角形 | 線分錐 | 正三辺形 | ||
| 正四角形 正方形 | 線分柱 双線分錐 | 正四辺形 | ||
| 正六角形 | 双線分錐柱 | 正六辺形 | 倍正三角形 | |
| 円 | 線分球 | 正∞角形 正∞辺形 | ||
| 正四面体 | 三角錐 反線分柱（反二角柱） 反双線分錐（反双二角錐） | 正四角体 | 半立方体 | |
| 正六面体 立方体 | 四角柱 反三角錐 | 正八角体 菱形六面体 | 倍正四面体 | |
| 正八面体 | 双四角錐 反三角柱 | 正六角体 四・四面体 | 正四面体辺中点体 | |
| 正十二面体 | 切頭頂反双五角錐（反双五角錐台） | 正二十角体 五角十二面体 | ||
| 正二十面体 | 吊底面反五角柱（底面五方反五角柱、双五角錐反柱） | 正十二角体 変形四・四面体（ねじれ四・四面体） | ||
| 球 | 円球 | 正∞面体 正∞角体 | ||
| 立方八面体 | 異相双三角台塔 | 八・六面体 斜方四・四面体（小菱形四・四面体） | 立方体辺中点体 正八面体辺中点体 | |
| 二十・十二面体 | 異相双五角丸塔 | 正十二面体辺中点体 正二十面体辺中点体 | ||
| 斜方立方八面体 | 同相双四角台塔柱 | |||
| 擬斜方立方八面体 ミラーの立体 | 異相双四角台塔柱 | |||
| 切頂八面体 | 切頂四・四面体（大菱形四・四面体） | |||
| 菱形十二面体 | 凧形十二面体 | |||
| 三方四面体 | 二方立方体（二方六面体） | |||
| 四方六面体 四方立方体 | 二重二方六面体 六方四面体 二方菱形十二面体（１） 二方三方四面体 | |||
| 三方八面体 | 二方菱形十二面体（２） | |||
| 五方十二面体 | 二方菱形三十面体（１） | |||
| 三方二十面体 | 二方菱形三十面体（２） | |||
| 二重二方十二面体 六方八面体 | 四方菱形十二面体 八方立方体（八方六面体） 二方凧形二十四面体 二方三方八面体 二方四方立方体（二方四方六面体） | |||
| 二重二方三十面体 六方二十面体 | 四方菱形三十面体 十方十二面体 二方凧形六十面体 二方三方二十面体 二方五方十二面体 | |||
※ここでのカタランの立体は、亜種的なもの（三方八面体の、貼り付いている三角錐の高さを変えたものとか）でもOK。
| 面の数 | 図形 |
|---|---|
| 4 | 正四面体 |
| 6 | 立方体 |
| 8 | 正八面体 |
| 12 | 正十二面体 菱形十二面体 三方四面体 |
| 20 | 正二十面体 |
| 24 | 凧形二十四面体 擬凧形二十四面体 三方八面体 四方立方体 五角二十四面体 |
| 30 | 菱形三十面体 |
| 48 | 二重二方十二面体 |
| 60 | 凧形六十面体 三方二十面体 五方十二面体 五角六十面体 |
| 120 | 二重二方三十面体 |
| 4n | 正双n角錐 |
| 4n+2 | 正反双n角錐 |