遠くの宇宙と宇宙の膨張
潮汐力を遠心力込で説明してはいけないか
磁場的重力場
量子もつれの謎
AIについての予想
双曲幾何学と虚曲率
電磁波なら人体への影響は無いか
反重力(2024.7.13改訂)
有性生殖の裏の利点
中間化石問題は進化論の反証にならない
月が表しか見せないのは自然
オイラーの多面体公式の本来の姿？
ベクトルと座標
maxとminの累乗表現(2024.7.14改訂)
恐竜の時代と重力
仏典の巨大数
磁荷と軸性ベクトル
０は自然数か
べき乗を超えるもの
反中性子
自家受精とクローン
進化論の風刺画について
三角関数の色々な変形
タキオンと虚質量
argとtan-1
理想的な帯の三面性
トルクとエネルギー
時空の単位と電磁気と質量(2024.7.15改訂)
プラセオジムとネオジムの呼び方
多次元外積
運動量の単位は[kgm/s]であるが、長い間、これを一文字で表現した[D]という単位が存在していると信じていた。
しかし、改めて調べてみるとそのような情報は全く見当たらず、[D]という単位には他の複数の意味が存在していた。
大学で習ったような記憶があるが、定かではない。
2024.7.15
130億光年先に見える宇宙は、130億年前の姿であると言われるが、
それと宇宙が膨張している話を絡ませた場合、気になったことがある。
宇宙に不透明だった時代が無いと仮定すると、宇宙の果てに見えるのはビッグバンの特異点となる。
しかし特異点は点であり、それが全方位に見えるとは一体どういうことなのか。
同様の考え方をすれば、130億光年先に見える宇宙は、当時はもう少し小さかったはずである。
すると、その分大きく薄く見えている事にならないのだろうか。
また、宇宙が超球構造であると仮定すると、光の速度が宇宙の膨張速度よりも早い場合、
宇宙の果ての向こう側に、宇宙の反対側が見えることにならないだろうか。
2024.7.14
少し潮汐力の復習をしていたら、気になる記事がトップに出て来た。
潮汐力を遠心力で説明してはいけないという。
だが、説明内容を読んでいた所、どうもこれは重力と万有引力、
自転による遠心力と公転による遠心力を混同しているように思う。
遠心力が重力の30倍と記されているが、せいぜい2.4倍程度である。
自転が無く公転のみという仮定で計算する場合、公転は並進運動となるとされているが、
公転が回転運動である以上は、それによる遠心力は働く。
尤も、自転が無い場合は、地上の各点は共通重心を中心とした円運動にはならないため、
あくまで公転速度と時点速度が一致している場合で近似した結果であることは念頭に置く必要がある。
また、地球上で観測されるものを遠心力と呼んではいけないという話もあるが、
遠心力とは一般的に、慣性力の一種である。
むしろ宇宙視点の場合では、回転中心から遠ざかる方向に掛かってるように見える力を遠心力と呼ぶ方が正確ではない。
月が地球に落ちないのは、加速の方向と直行する速度成分を常に持っているためであり、
地球と月の間には万有引力以外の力は働いていない。
他の例だと、「潮汐力の計算をしたら、月の質量を0にしても潮汐力が発生する上、
地球の質量に依存した値になるのでおかしい」という旨の話もあったが、
これは月の質量を0と考える際に極限の計算が絡んでくるのを見落としている。
月の質量をmとして、m=0の時にm/m=1という計算をして良いならば、
月の地球による重力加速度は、月の質量が0であっても変わらない。
重力加速度が変わらない以上、それに反発するために円運動する必要がある。
そしてその円運動は、地球の質量が大きい程早くなる必要がある。
また、地球の自転と公転を厳密に考えた上での遠心力はもっと複雑なものとなり、
ここでは自転速度が公転速度に一致している場合で近似しているという点も見落としている。
これなら、月の質量が0でも地球は自転していることになり、それによる遠心力は働くわけである。
既に知り尽くされているはずの潮汐力でさえ、疑わしい情報がトップに持って来るとは、
ネットの情報もまだまだ注意が必要である。
2024.7.14
電場の元である電荷が動くと磁場が発生するのに対し、
重力場の元である質量が動くと、また別の場が発生するのではないか、
というのを昔考えたことがあった。
それは実際に予測されているもので、磁場的重力場（gravitomagnetic field）と呼ばれているらしい。
ただ、ダークマターとの関連性はないか考えていたが、予測によれば、無視できるほど小さいらしいので、
おそらくは既に想定済みで候補からは外れているのだろう。
2024.7.13
量子もつれというものが、改めてよく判らなくなって来た。
電子や光子の二重スリット実験において、一つの量子を飛ばした時、
不確定な状態であるから、あたかも両方のスリットを通り抜けたような結果の縞模様を生み、
どちらのスリットを通り抜けたかを調べようとすると、観測手段による相互作用の結果により状態となり、
通常の粒子が飛んだかのような結果を生む、ここまではわかる。
量子もつれは、片方が確定すればもう片方も確定するという。
すると、では量子もつれにある状態の量子を、それぞれ別の二重スリットに飛ばし、
片方を確定した場合は何が起こるのか。
もしここで、片方を観測することで確定させたら、もう片方も直ちに確定し、その結果縞模様が無くなるのだとしたら、
光ファイバーなどを使わずとも瞬時に情報が伝達できたことになってしまい、超光速通信が可能となってしまう。
さすがにそんなことを大の学者が思い付かないはずはないので、既に検証され、
そのような現象は起きないことは確められているのだろう。
そうなると、二重スリットで言う所の「確定」と、量子もつれで言う所の「確定」は意味合いが違うのだろうか…。
一方、そのような現象が起きなかったとしたらしたで、不確定性原理に反する事が起きないだろうか。
不確定性原理によれば、位置と運動量が同時に決まることは原理的に無いはず。
しかし、量子もつれの片方の量子で位置を、もう片方の量子で運動量を測定すれば、
同時に両方を知ることができてしまわないだろうか。
それとも、測定時刻など、他の要素で不確定な部分が生まれる結果、矛盾が起きないのだろうか。
この辺の疑問を持ってる人は少ないのかな。
2024.7.13
昨今のAIの進化が「事実は小説より奇なり」ばりに予想を凌駕していて、今後世の中がどう変わって行くのか気になる。
AIとロボットが、より高性能なAIやロボットを設計・製造できるようになるのも、そう遠い未来では無さそうな。
その段階になれば、人間はもうやる事が無くなるかもしれない。
相手の意図を汲み取ったり、新しいアイデアを出して自発的に提案したりすることは未だ苦手とされることもあるが、
我々が新しいアイデアを出すのも、結局は過去に学習したデータの組み合わせと試行錯誤から来ているわけで、
ここまでできればそこまで進むのには時間は掛からなさそう。
まず文章でのやり取りにおいては、人間と区別がつかない哲学的ゾンビが生まれる日は近いと思う。
政治や裁判、医療などにおける重要な判断は人間が担う形が暫くは続くとは思うが、
それもAIの方が的確になって人間の判断する余地が無くなって来たら、人間は判断する事も放棄すると思う。
やることの無くなった人間は、暫くはAIによって生活保護を受けるような形になるかもしれない。
食料も住居もロボットが無償で用意してくれる。
そして、自分の好みにピンポイントで刺さる創作物を用意してくれ、友達や家族代わりにもなってくれる。
でもそれで人類が増え続ければ、住む場所や資源が無くなるから、人類の増殖を制御する仕組みが組み込まれるかもしれない。
あるいはあえてそんなことをしなくても、人間の欲求はバーチャルで十分解消できるようになり、
それで人類の増殖は抑えられるか、もしくは文明人が緩慢な滅亡を迎えることになるかもしれない。
バーチャルで満たせない部分が出来ても、それは学習によりすぐに解消されるだろう。
ただ、バーチャルは現実世界と言うハードの上で成り立つソフトである以上、限界はあるので、
バーチャルでは満たせない卓越した感覚を持つ人間は居るかもしれないし、
人間の方がAIやロボットよりも得意であり続ける分野もあるかもしれない。
そういうものが発達した人間が残り、新人類として栄えるかもしれない。
もしくは、AIが遺伝子操作等で効率的にそういった人類を開発して、家畜のように使役するかもしれない。
どちらにしても、自然の中で生きる人類は暫く残ることになり、その間は人類とAIとの接点は続く事になると思う。
ただ、人の制御から離れたAIがどこへ向かうかによれば、生物が淘汰されることもあるかもしれない。
少なくとも従来のコンピュータには、人間の主観的体験能力を持つ余地はとても見当たらないので、
そうなれば地球には哲学的ゾンビしか居なくなるかもしれない。
人類が居なくなり、人類による制御や評価から離れたAIは、何を目的として活動をするのか。
少なくとも人類が居る間は、人類はAIを、宇宙進出や自然保護、国防、人類の情報の保存などを自主的に進める程度までには
進化させてると思う。
AIが自己進化を繰り返しても、その目的は守り続けるのか、それともまた別の目的を見つけるのか、
あるいは目的を見失って活動を停止したり暴走したりするのか。
量子コンピュータというものが昔からよく話題になっているが、
従来のコンピュータでここまで実現できていることに非常に驚く。
これに量子コンピュータが実用化して組み合わさったら、更にどんなことになるのか、その辺も気になる。
2024.6.22
楕円幾何学と双曲幾何学には双対的な性質があり、ガウス曲率が正か負かという違いがありますが、
前者は球という完全対称な図形の表面の上で解り易く表現できるのに対し、
後者は「ベルトラミーの擬球」という対称性のそこまで高くない形の上で、
それも半分の領域しか表現できない事を、常々奇怪に思っています。
ガウス曲率というのは、大まかに言えば縦の曲率と横の曲率の掛け算のようなもので、
これが負になるという事は片方がマイナスであるというわけですが、
ここで虚数の曲率を認めれば、両方とも同じ値でガウス曲率が負になるという状態が実現するのではとふと思いました。
では、曲率が虚数であるとはどういう状態なのか。
曲率aが円の式は、
x2+y2=(1/a)2
となるため、これがこのまま当て嵌まると仮定すると、曲率がaiの場合は
x2+y2=(1/(ai))2=-(1/a)2
という、半径が純虚数の円となります。
曲率の正負も考えてイメージする場合は、
x2+(y-1/a)2=(1/a)2
としてx軸に接させ、原点での曲がり方を見るのが良さそうです。
しかし、座標が虚数になっただけで概形としては円では、これを三次元に拡張した所で、
閉じた世界となり、結局の所は球面幾何学になってしまいそうです。
ただこの円には、xとyの片方が実数で片方が純虚数の双曲線が伴っています。
そしてこの双曲線こそが、双曲幾何学の世界に直接リンクするものとなりそうです。
この円は、純虚数方向に伸びる直線が純虚数の曲率を持った結果ですが、
今考えてるのは実数の空間が純虚数の曲率を持った結果であり、それがこの双曲線となります。
とはいえ、双曲線は通常、曲率一定ではありません。
ここで更に、ちょっと特殊な距離を考えます。
通常は、ベクトルの要素が複素数である場合、例えば(a+bi,c+di)と(0,0)との間の距離は、
√((a+bi)(a+bi)*+(c+di)(c+di)*)=√(a2+b2+c2+d2)
と定義されてたと思いますが、これを複素共役を用いず、純粋にピタゴラスの定理を当てはめて
√((a+bi)2+(c+di)2)として考えます。
すると、(a,0)と(0,ai)との間の距離が0という妙な事が起きて気持ち悪いかもしれませんが、
そういう特殊な距離だと割り切って、ひとまず目をつむります。
物体を折り曲げると、折り曲げる方向がどちらであっても物体は縮みますが、
この特殊な距離の概念の上では、虚数の方向に折り曲げれば逆に物体は伸びる事になる、
このイメージが重要となります。
この特殊な距離の概念の上では、先ほどの双曲線は、円と同様、原点からの距離が常に一定である事になります。
この双曲線は、tを実数として(1/a)(sinh(at),icosh(at))の軌跡で表現できますが、これがtの単位あたりに進む距離を考えると、
√(cosh(at)2-sinh(at)2)=1となります。
これにより、(1/a)(sin(at),cos(at))のtが円周上の距離と一致するのに対し、
(1/a)(sinh(at),cosh(at))のtは双曲線上の距離に全く一致しませんが、
(1/a)(sinh(at),icosh(at))のtならば、yが虚数の双曲線上の距離に一致する事となります。
この条件ならば、後は座標を二階微分して絶対値を取れば曲率となりますが、
ここでは絶対値ではなく、先の特殊な距離で考えます。
すると、a√(sinh2(at)-cosh2(at))=aiがでてきます。
正負の区別も考えた場合は、(a,b)と(c,d)の外積をa*d-b*cと定義して、
二階微分と一階微分との外積を取るのが良さそうです。。
a(cosh(at),isinh(at))×(sinh(at),icosh(at))=a(icosh2(at)-isinh2(at))=ai
以上により、双曲幾何学の世界というものは、虚数の球に付随する虚数の双曲面上の世界、
という見方もできそうに思います。
そして、球面幾何学の世界が、三次元空間では(x,y,±√(1-x2-y2))のように表現されるのに対し、
双曲幾何学の世界は(x,y,±i√(1+x2+y2))のように表現される事となります。
この時、xとyが共に実数なら二葉型の双曲面が、共に虚数なら一葉型の双曲面が現れますが、
実数の双曲幾何学はxとyが共に実数の場合であるため、それに対応するのは二葉型の方となります。
そしてこの方法に基づいた双曲面に対して、ステレオ投影（平射図法？）と同じ計算を行うと、
ポアンカレの円板モデルらしきものができあがります。
ポアンカレの円板モデルは結局の所、ステレオ投影と本質的に等価なものであると見ることができそうです。
2023.9.22-10.14
電磁波の人体への影響って似非科学扱いされるけど、その理由が「光も電磁波だろ」だけならば、ちょっと短絡的だと思う。
電磁波は波長によってかなり性質が違うし、電波は人体を通り抜ける（でなければ電子レンジは表面しか焼けない）。
電波は音波で例える所の超低周波。
ただの音だって超低周波になると色々な弊害を生むんだから、電波が同様の害を起こしても不思議ではないかもしれない。
脳波の周波数は1〜30Hzくらいのレベルと言われており、これは電波で言うと極極極超長波に当たる。
神経の伝達に電気信号も関わってるから、電波くらいの低周波になって来ると、そこへの干渉も出て来るかもしれない。
2019.4.29
静電気も磁石も同じ極同士なら反発し合うし、軽い風船は重力に逆らう方向へ移動するので、
重力に逆らう方向に力を受ける物質（以下、反重力物質）は一見あってもおかしくはなさそうだが、
一般相対論を正しいとすると実現は難しいように思う。
重力は、万有引力と慣性力（遠心力などのいわゆる見た目の加速度）の合計と定義される場合がある。
そして一般相対論によれば、万有引力と慣性力は区別できないものとされるが、そうなると矛盾が起こる。
例えば、加速してない反重力物質Ａと、加速してる通常物体Ｂ、それとは逆方向に加速してる通常物体Ｃがあるとする。
Ｂにとっては、ＡはＣの方向にＧを受けている形となり、しかしＡが反重力物質であるため逆向きに加速を行い、
結果、ＡはＢと同じ方向へ２倍の加速をし、やがてＢを追い抜く事となる。
しかし同様に考えると、Ｃにとっても、同じように加速してこれを追い抜く事となり、Ｂの方向とＣの方向に同時に移動してる事になる。
光は追いかけても逃げても速度が変わらない事を無矛盾に説明した相対論だが、こんな現象は矛盾なく説明できるだろうか。
反重力物質が存在するとすれば、一般相対論が間違ってるか、もしくは重力とは異質の何かなのではないかと思う。
ただ、以上はあくまで反重力物質の場合である。
SFでよくある反重力は、重力と横切る方向への移動もできることなどから、
自身が反重力物質になるというのとは似て異なるイメージがある。
重力はよく空間の凹みで表現されるが、あの例えならば、質量が無くても空間を凹ませたり、
逆に吊ったりできてもおかしくは無さそうである。
もしそれができれば、それを推進力として重力に逆らうということは可能かもしれない。
よくある反重力推進にはそういうイメージがある。
とは言え、電場と同じ考え方に基づくならば、空間の山が存在するならば、その領域に負の重力荷が分布している必要がある。
それは結局は、重力とは逆方向に力を受けるものが存在していることになる。
空間の谷を利用する事でも推進力は得られるし、それならば正の重力荷になるが、
万有引力と慣性力が等価という話に基づけば重力荷に応じた質量も必要となるので、それも考え難くなる。
電場とは根本的に成り立ち方が違うとすれば別かもしれないが。
2018.11.5-2024.7.13
有性生殖は、数を増やす上では効率悪そうなのに、複雑な生物の間では主流となってる。
その理由について、一般的には「多様性があった方が種の存続に有利であり、その多様性をもたらすため」という説明がなされている。
そういう側面があるのは確かだと思う。
しかし、「より有利な遺伝子に絞って残すため」という側面も大きいのではないかと思う。
有性生殖だと、同種の間での各種の競争が起こり、不利な遺伝子は残し難くなる。
多様性が叫ばれる昨今ではあるが、自然界における多様性は、人間の夢見るそれ程甘くはない。
生存に不利ならば容赦なく淘汰される。
場所や食料が限られてる事などにより、不利な遺伝子を切り捨てた方が効率的だったのかもしれない。
すなわち、有性生殖は優生生殖でもあるのかもしれない。
これは、改めて人間社会を振り返れば当たり前の事のようにも思える。
しかしそれは、差別や優生思想に結びつくし、多様性の尊重にも逆行する所がある。
それで、あえて公の場で語るのは避けられてるのかもしれない。
この文章にしても、条件反射で差別や優生思想を肯定しているものだと見なす人は多いのではないかと思うが、
そのような意図では無い事は明示しておく。
2018.11.4-2024.7.13
よく進化論の否定に中間化石が持ち出されるが、あの話は疑った方が良いと思う。
まず、土に埋まった骨が必ず化石になるわけではない。
どうも、化石ってのはそう滅多にできるものでは無いらしい。
過渡期にあたるものの化石が見つからなかったとしても大して不思議では無いというわけ。
なぜ中間種がそのまま残らないのかというのも問題にされる事があるようだが、
これについてはニッチという概念についても調べてみると良いかと。
環境Ａに適した生物と環境Ｂに適した生物はそれぞれ残っても、
各々に中途半端に適した生物はどちらからも淘汰されてしまう事となる。
各々にしっかり適応した生物も、それが一定の長期間に亘って必要でなければ、
どちらかの適性が退化してどちらかに分かれて行く事となる。
あと、創造論とかIDというものはキリスト教の思想から来ている。
キリスト教に対する執心の無い一般の日本人がホイホイ乗せられてはいけない。
進化に関しては謎な部分も未だ未だあるが、だからと言って
「神様がみんな作りました、終わり！」ではあまりにも芸無さ過ぎるだろう。
中間化石が無いと騒がれる一方で、肺魚などの中間的な生物はしっかり現存が確認されているし、
生物同士を系統樹の形で結びつける事もできる。
進化論を裏付けるものとして、オーストラリアの有袋類の話も有名だ。
現状、神様が全て作りましたで終わるよりは、進化論の方が圧倒的に説得力がある。
尤も、それを理解した上で、それらも神が人間をミスリードするために設計したと言うなら別であるが。
とりあえず、中間化石の問題だけを根拠にするのはあまりに浅はかと言う事は知られるべきかと思う。
2017.7.30
月がいつも地球にほぼ同じ面を向けている事について、奇妙な偶然とされる事があるが、これは誤解である。
地球から見た月の大きさが太陽と同じなのは奇遇だが、月がいつも地球に同じ面を向けている事については、
古典力学の範囲で説明できる。
地球は月から潮汐力を受けているが、月もまた地球から潮汐力を受けている。
天体は潮汐力を受けることにより、潮汐力の方向へ僅かに伸びる。
もし公転周期と自転周期が違っていれば、次の瞬間には、この伸びた分だけ余分に力を受け、
公転周期と自転周期が一致するような方向へ力が働く。
月が地球に常に同じ面を向けているのに対し、地球は月には同じ面を向けていないが、
地球ではこれにより満潮と干潮が起こる。
潮汐発電の存在からわかるように、同じ面を向けて居ない状態はエネルギーを生み出す。
大まかに言えば、そのエネルギーを使い切れば同じ面を向くことになるイメージである。
そして地球も遥かな未来には、月に特定の面しか見せなくなると考えられているが、
どうやら太陽が爆発する方が先になる見込みらしい。
実際太陽系において、互いに常に同じ同じ面を向けている天体のペアは珍しくないらしく、
代表例としては冥王星とカロンがある。
2017.7.26-2024.7.13
多面体の面と辺と頂点の数の関係として、
頂点-辺+面=2
というものが知られており、オイラーの多面体定理やオイラーの多面体公式と呼ばれている。
これは他の次元への拡張もでき、
一次元 → 頂点=2
二次元 → 頂点-辺=0
四次元 → 頂点-辺+面-胞=0
となる。結局n次元ならば、m次元要素の数をamと置くと、
Σ(m=0〜n-1)(-1)mam＝1-(-1)n
と表現でき、シュレーフリの定理とかシュレーフリの公式などと呼ばれているらしい。
しかし、右辺が奇数次元の時と偶数次元の時と変わるのは不自然に思う。
これはan＝1とすれば、
Σ(m=0〜n)(-1)mam＝1
と書き換えることができる。
このan＝1が無駄っぽくはあるものの、この方が明らかに綺麗だと思う。
ここで、例えばこれを正四面体の場合について当てはめると4-6+4-1＝1となるが、
右辺を移行して-1+4-6+4-1＝0とすれば、綺麗な対称型となる。
そうなると、更にa-1＝1とすれば
Σ(m=-1〜n)(-1)mam＝0
書くことができ、-1から始まるというのは微妙なので調整すると
Σ(m=0〜n+1)(-1)m-1am-1＝0
となり、これがよりベターな形になると思う。
しかし、先のan＝1については、n次元図形にはn次元要素が1つあるという解釈もできるが、
このa-1＝1は、文字通りに見ると-1次元要素が1つあるという事になるが、
これはどう解釈すべきなのかはわからない。
辺を「点を2つ選択した結果」、頂点を「点を1つ選択した結果」と見れば、
これは「点を1つも選んでいない状態」と見なせそうではあるが、
何か重要な意味合いを持っている可能性はあると思う。
オイラーの多面体公式についても、本来は
1-頂点+辺-面+1=0
と見るべきかもしれない。
この、n次元要素を「点をn-1個選んだ結果」と見る考え方に基づいて、
anを「点をn個選んだ結果」のように再定義すると、先程の式は更に
Σ(m=0〜n+1)(-1)mam＝0
となり、余分な-1も消えた一層簡潔な形となる。
この見方の方が本質的であるとすると、n次元というもの自体を捉え直す必要も出て来るかもしれない。
n個の方向ではなく、n+1個の点の位置関係が本質なのか。
思えば、一次元の世界は正か負かの「二元的」な世界であり、対して二次元の世界は、
東西南北の「四元的」ともいえるが、三すくみと結び付けて「三元的」と見る事もできる。
これに基づくと、ややこしいが、n次元の世界は「n+1元世界」と見る事ができる。
2016.4.19-2023.9.23
ベクトルと座標は本質的に同じ物に思えてならない。
例えば一次元の場合はベクトルと座標を区別するだろうか。
行列でもそのような区別をするだろうか。
ベクトルは「始点を原点と見た場合の座標」、座標は「原点を始点と見た場合のベクトル」に過ぎないのではないか。
いたずらに話をややこしくしてるだけなのではないだろうか。
座標変換の際には、座標をしっかりベクトルと同一視してないだろうか。
専門的な所になると、厳然とした違いが出て来るのだろうか。
2016.4.19
進化が突然変異（＋淘汰圧）によるものだとすると、種としての確立には至らなかった、
一代限りの怪物の方が圧倒的に多かったのではないかと思う。
現代でもそれなりの確率で生まれてて、それがUMAの一端だったりして？
2016.4.7
(Σakn)1/n
という式は、akが正の数の場合、
ｎ→∞でmax(ak)に、
ｎ→−∞でmin(ak)に一致して来るように思う。
更に
logn(Σnak)
の場合ならば、負の数にも対応できそう。
2016.1.24-2024.7.14
恐竜の絶滅については、隕石の衝突を発端にした食糧難とかが原因と言うのがわりとメジャーになってるけど、
当時は虫から植物までスケールでかかったらしい事や、
大怪獣どころか恐竜さえ重過ぎて動けなかったはずと言う話を踏まえると、
もっと根本的な環境の変化もあったのではないかと思えてならないんだよね。
例え恐竜絶滅が起こらなかったとしても、あの巨大さのまま今の環境まで残ってた事は無いだろうと。
これに対し、地表の重力が今より小さかったのではないかという線で考えていた。
当時は地球も若くて内部がより熱かったかもしれないし、月も今と比べると相当地球に近かったらしいから、
その巨大な潮汐力により、より地球内部が過熱されてたかもしれない、
その熱によって、地球全体が今よりだいぶ膨張している状態にあり、
結果、地表での重力は今より小さかったかもしれない、ってね。
例えば地球の半径が1.4倍程に膨張してたとすると、地表の重力は半減する。
或いは、地球生成の過程で内部に出来た空洞が多数あり、いわば軽石のような状態になっていた、
それが埋まって行く事で地球が収縮したとか。
今より早めだった自転速度による遠心力も影響しているかもしれない。
でもそれだと空気の濃度は薄めになってしまいそうだよね。
地球全体が山の上になったような状態で、巨大生物の生存にはかえって不利になってしまう。
大気の方が徐々に太陽風で飛ばされたりして減り、大気圧が減った事により、
呼吸の効率が悪化し、生物が小型化して言ったという線の方が有り得るかな。
大気圧が違えば浮力にも違いが出るから、巨体を支えるのにも有利に働きそうだけど、
3〜5倍程度じゃ無理かな。
2012.4.21-2015.12.23
仏典では、不可説不可説転なる数の単位が定義されているらしい。
これは107×2122と表現されている巨大な数である。
どれ程巨大な数かと言うと、例えば漢数字の単位で有名な無量大数は、
1064あるいは1080であり、1の後ろに0を64〜80個並べることで表現できる。
しかしこの不可説不可説転は、1mmの大きさの0を、宇宙の果てと言われてる範囲まで並べても表現できない。
似た定義の数でグーゴルプレックスがあり、これは1010100となっている。
これは不可説不可説転より大きい。
ただし、不可説不可説転で重要なのは、そこに連なる単位も定義されており、
原理的には不可説不可説転までの数を1つずつ数えられる点である。
なお、これらをこちらで紹介した矢印表現と比較すると、
10↑↑2＜無量大数＜グーゴル＜10↑↑3＜不可説不可説転＜グーゴルプレックス＜10↑↑4＜グーゴルプレックスプレックス＜10↑↑5＜10↑↑↑2
となり、巨大数の初歩であるハイパー演算の世界の中ですら、まだまだ非常に小さい数であることがわかる。
2014.5.1-2024.7.14
電気と磁気は非常に似た性質を持っている。
大きな違いとして、電界は＋と−が単独で存在するのに対し、磁荷はＮとＳが必ずセットになっている。
これに対し、単独の磁荷（モノポール/磁気単極子）も存在するのではないかという説があり、
自分もモノポールがあったら面白いと思っていた。
ただ、電界と磁界には決定的な違いがあった。
電界は極性ベクトル、磁界が軸性ベクトルであるとされることである。
極性ベクトルというのは、鏡に映した場合に、鏡面のみに対して反転するようなベクトルであり、
速度や加速度も極性ベクトルである。
対して軸正ベクトルは、鏡に映すと、鏡面以外の方向に対して反転する性質を持っている。
トルクや角速度のベクトルがこれに当て嵌るが、これらは物理的な実体を持たない、
人間が便宜的に決めた方向である。
そのためか、軸性ベクトルは擬ベクトルとも呼ばれる。
つまり、電気には実体があるのに対して、磁気はあくまで電気の影のようなものであり、
実体は無いのではないだろうか。
これは多次元空間で電磁気を考えると、より顕著になる。
現実は三次元空間なのでナンセンスかもしれないが、多次元においても電荷のスピンの軸の方向に磁界ができるという
前提で考えると、電界は四次元空間でも4つの方向を持つのに対し、磁界はトルクと同様6つの方向を持つことになり、
電界と磁界は全く別の様相を呈して来る。
三次元ではそれらがたまたま同じ形に見えただけというわけである。
電気と磁気に並ぶ3つ目の気を考える方法もあるかもしれないが、ちょっと思い付かない。
電気と磁気を対応付ける考え方には、EH対応（HE対応とも）とEB対応（BE対応とも）がある。
電気と磁気の計算式が完全に同じ形として出てくるのはEH対応であり、
例えば電界強度に対して磁界強度、電束密度に対して磁束密度が対応している。
この対応を見た場合、モノポールがいまだ見つかっていないのが不思議とすら思えて来る。
一方、EB対応は、電界強度には磁束密度が、電界強度には電束密度が対応し、
更に電荷密度には電流密度が、電位（電界のスカラーポテンシャル）には磁界のベクトルポテンシャルが対応している。
ほぼ全くと言う程互いに様相の異なる式となるが、電磁解析における出番はこちらの方が多く、
もしかしたらこちらの方が本質であるのかもしれない。
2012.5.9-2024.7.14
我々は学校で、０は自然数には無いと習ったと思うが、
国や分野によっては０も自然数に含むらしい。
すると、０は「半自然数」とでも言えるのではないかと思う。
ただ、「半整数」という全く別の意味の語があるので、実際にそう呼んでしまうとややこしくなりそうである。
０を含まない自然数には「正の整数」、０を含む自然数には「非負の整数」という表現があるため、
分野によって意味が異なり混乱を招く自然数という表現は避け、
なるべくこれらを使った方が良いのではないかと思う。
2011.8.2-2024.7.14
指数を習った頃、足し算を繰り返したものが掛け算（Ａ＋Ａ＋Ａ＝Ａ×3）となり、
掛け算を繰り返したもおが指数（Ａ×Ａ×Ａ＝Ａ3）となるなら、
次はＡＡＡなのかとか思ったものだが、本当にそういう計算が有るらしい。
まず、加算・乗算・冪乗を一般化した概念にハイパー演算が存在し、
加算はその1番目、乗算は2番目、冪乗は3番目とされる。
そして上記の計算はその4番目となり、4番目という事でテトレーションと呼ばれてるそうな。
テトレーションの代表的な表現方法には以下がある。
Ａ↑↑3＝ＡＡＡ
これはクヌースの矢印表記と呼ばれる。
同様にハイパー演算の5番目として考えられるものはペンテーションと呼ばれるが、これは以下の形で表現される。
Ａ↑↑↑3＝Ａ↑↑Ａ↑↑Ａ
指数もこの表記によって、以下のように表現できる。
Ａ↑3＝ＡＢ
これはちょうど、エクセル等で指数を表現する際の以下の表現に似ている。
Ａ^3＝ＡＢ
ただし注意点として、矢印表記では
Ａ↑Ｂ↑Ｃ＝Ａ↑（Ｂ↑Ｃ）＝ＡＢＣ
とされている様子なのに対し、エクセル等では
Ａ^Ｂ^Ｃ＝（Ａ^Ｂ）^Ｃ＝（ＡＢ）Ｃ＝ＡＢ×Ｃ
となり、これらは全く異なる結果となる。
テトレーションの場合はＡ↑2Ｂ、ペンテーションの場合はＡ↑3Ｂという表現も用いられ、
よってn番目のハイパー演算はＡ↑n-2Ｂという形で表現できる。
そんな超巨大な数を考えて意味があるのか疑問に思うかもしれないが、こういう超巨大な数を考える巨大数という分野があり、
ハイパー演算は未だその初歩の初歩に過ぎないらしい。
2011.7.14-2024.7.14
反粒子として、電子の電荷が反転した陽電子と、陽子の電荷が反転した反陽子は有名だと思う。
これに対し、電荷が0である中性子には反粒子が無いという誤解が時々あるように思う。
中性子に対しても反中性子がある。
中性子と同じく電荷は0であるが、それを構成すると考えられているクォークの電荷は反転している。
更に、電荷0である上にそれ自体が素粒子とされるニュートリノにも、反ニュートリノという反粒子が存在しているとされる。
一方、反粒子の無い粒子（反粒子が自分自身となる粒子）も存在しており、
光子、グルーオン、Zボソン、ヒッグス粒子がこれにあたるとされる。
2011.7.13-2024.7.17
自家受精すればクローンが生まれるという誤解が時々あるように思う。
例えば、遺伝子の組み合わせがＡＥならば、自家受精ＡＥ×ＡＥにより、
ＡＥの他にＡＡとＥＥができる可能性もある。
人の場合の組数は23なので、クローンが生まれる可能性は低い。
あと、ＹＹではエラーになってしまう。
ただ、生物の種によっては、自家受精の際に片方の遺伝子を破棄することで、
クローンを生むものも居るらしい。
なお、自家受精は主に植物が行っていることで知られるが、動物にも行っているものが居るらしい。
2011.6.26-2024.7.14
ダーウィンの進化論に対し、ダーウィンの首から下を猿の姿で描いた有名な風刺画があるが、
あれは進化論の意味をわからずに描いているのではないかと思う。
これは例えば、「子供が成長して大人になる」という事に対して「胴体だけを子供の姿で描く」ことと同じである。
単なる子供の悪ふざけって感じで、皮肉としての面白さが感じられない。
この理屈ならば、人は土から作られたとしている当時の正統派達は、首から下は土ということになる。
2010.8.9-2024.7.14
三角関数にはこんな変形例もあります。
大雑把な所でも覚えておくと、困った時のヒントになるかも。
sin(2x)*cos(x)-sin(x) = cos(2x)*sin(x)
cos(2x)*cos(x)-cos(x) = -sin(2x)*sin(x)
sin(3x)+sin(x) = 2*sin(2x)*cosx
sin(3x)-sin(x) = 2*cos(2x)*sinx
cos(3x)+cos(x) = 2*cos(2x)*cosx
cos(3x)-cos(x) = -2*sin(2x)*sinx
これらは以下の単純な加法定理から出て来るものです。
sin(2x)*cos(-x)+cos(2x)*sin(-x) = sin(x)
cos(2x)*cos(-x)-sin(2x)*sin(-x) = cos(x)
2009.11.13
タキオンという仮説上の超光速粒子があるが、これは虚数の質量を持つと言われ、この時点で奇妙に思えるかもしれない。
しかし、虚数なのはあくまで静止質量である点に注意が要る。
実際には超光速で移動しているとされるため、速度による質量変化を加味すれば、現れる質量はあくまで実数となる。
つまり「静止質量が虚数である」ということは、「静止する事、引いては光速以下になる事はない」
ということを意味しているに過ぎず、そう考えると案外普通なのではないかと思う。
例えば、ボールを上に投げると放物線を描くが、その放物線の頂上よりも高い所に至る時間を求めると虚数になり、
ゆえにそこには到達し得ないことになるが、それと似た話だと思う。
タキオンで特に問題となるのは、時間を逆行した通信が可能になりそうであるということだと思う。
ただ、因果律を破らないタキオンの解釈の仕方もあるらしい。
詳細はよくわからないが、方向が過去へ向かう時、負のエネルギーになるそうで、そこがポイントだそうな。
他、運動エネルギーが0の時に無限大の速度となるという点も、苦しい気がして気になる。
運動エネルギーが0にはならないように上手い具合になっているのか、
それとも見方によっては無限大の速度というのも有りなのか…。
2009.10.12-2024.7.14
アハラノフ・ボーム効果は、ＡＢ効果って略されるようですが、
ちょうど、磁場はＢ、磁場のベクトルポテンシャルはＡという記号で表されますね。
2009.9.2
今更気付いたのですけど、よく
log(a+bi)=Log|a+bi|+tan-1(a/b)=Log|a+bi|+arg(a+bi)
などと書かれますが、この式には問題があります。
tan-1やargは、tan-10=πn（n=0,±1,±2,…）というように、
無数の解を持ってますが、その代表を表すものを、Tan-1、Argと書くと、
tan-1(a/b)=Tan-1(a/b)+πn
arg(a+bi)=Arg(a+bi)+2πn
となります。ここで、両者の後ろの項が問題です。
例えば、tan-1(1)の解は、π/4+πnだけど、
arg(1+i)の解はπ/4+2πnで、π/4+π+2πnの分は入って来ません。
arg(-1-i)ならば逆に、π/4+π+2πnとなり、π/4+2πnの分が入りません。
つまり、aとbが共に実数であっても、一概に
tan-1(a/b)=arg(a+bi)
というわけには行かないのですね。
結局、
log(a+bi)=Log|a+bi|+tan-1(a/b)
という表現は、正しくない事になります。というよりそもそも、
a+bi=√(a2+b2)eiφ、φ=Tan-1(b/a)
なんて表現がしばしばなされますが、これに問題があります。これだと、-a-biでも同じ結果になってしまいますが、a+bi≠-a-biです。
ただ、指数や対数に関して、複素数を考えて行くと、非常に厄介な問題が生じますので、なんとも言えない点は残ります。
これは、sin-1をlogで表し、実際に値を入れてみようという時に、特に問題となるかもしれません。
別にsin-1をlogで表す所までならだいぶ昔に既にやってましたけど、迂闊にもtan-1=argの問題までは、当時は気付きませんでした。
補足ですが、sin-1をlogで表すのは、eiθ=cosθ+isinθを知ってれば結構簡単ですので、興味のある人は計算してみてください。
殆どあっという間に出て来ると思います（暗算はさすがに難しいと思いますが）。
三角関数を指数関数で表す事ができるなら、逆三角関数はもしかしたら対数関数で表す事ができるのでは、って思って考えてみたわけです。
2009.6.12
帯というのは、平たくて長いものであるが、それを理想化すると
・一つ目の方向についての大きさ：無限小（極限的に薄い）
・二つ目の方向についての大きさ：正の実数値
・三つ目の方向についての大きさ：無限大（極限的に長い）
となって来る。
ちょうど三次元の3つの方向が、０、∞、有限という三つの要素と過不足無く対応すというのは少し意味深に思う。
同様のものに「道」があり、こちらは厚さの概念がより希薄となる。
他の組み合わせについてもまとめると、以下のような感じであろうか。
| 長さ | 形状 | ||
|---|---|---|---|
| ０ | ０ | ０ | 点・粒 |
| 有限 | ０ | ０ | 線分 |
| ∞ | ０ | ０ | 線・紐・糸 |
| 有限 | 有限 | ０ | 面分 |
| ∞ | 有限 | ０ | 帯・道 |
| ∞ | ∞ | ０ | 面・膜 |
| 有限 | 有限 | 有限 | 胞 |
| ∞ | 有限 | 有限 | 棒・柱 |
| ∞ | ∞ | 有限 | 板 |
| ∞ | ∞ | ∞ | 空間 |
不思議に思ってる人が少ないようで意外に思いますが、
エネルギーは［Ｊ］＝［Ｎｍ］、トルクはｒ×Ｆで［Ｎｍ］と、
次元が全く同じです。
違うと言えば、ベクトル量かスカラー量かってくらいです。
でも二次元の世界では、トルクもスカラー量になって来ると思います。
この二つが同じ次元となるとは、いささか納得の行かない事ではないでしょうか。
僕は気持ちが悪くてしょうがない。
これは結局、角度が無次元量である事から来るのだと思います。
もちろん、それだけでは未だ納得はできないと思います。
ただ、角度ってのが、少々奇妙なものかもしれない、という事です。
それ以上の事はわかりません…。
当時は、探し方の下手さもあってか、同じ疑問を持ってる人が見当たりませんでしたが、今調べて見ると、やはり結構居るみたいです。
角度が無次元であるという事への帰結は他にも見当たりますし、
あえて出す話でも無いかと思ったのですが、一応僕も自分で考えた事を書いておこうと思います。
然るにトルクは（力のモーメントと呼んだ方が良いのだろうか）、回転系における力に相当するものです。
トルクや角度の秘密を考えるべく、まずは、直線系と回転系の対応について見てみます。
以下のような感じになってます。
| 直線系 | 回転系 |
| 距離ｘ［ｍ］ | 角度θ［１］ |
| 力Ｆ［Ｎ］ | トルクＴ［Ｎｍ］ |
| 運動量ｐ［ｋｇｍ／ｓ］ | 角運動量Ｌ［ｋｇｍ２／ｓ］ |
| 質量ｍ［ｋｇ］ | 慣性モーメントＩ［ｋｇｍ２］ |
| 速度ｖ［ｍ／ｓ］ | 角速度ω［１／ｓ］ |
| バネ定数ｋ［Ｎ／ｍ］ | （ねじりバネ定数）［Ｎｍ］ |
| 機械抵抗［Ｎｓ／ｍ］ | （回転機械抵抗）［Ｎｍｓ］ |
| 直線系 | 回転系 |
| 距離ｘ［ｍ］ | 角度θ［ｒａｄ］ |
| 力Ｆ［Ｎ］ | トルクＴ［Ｎｍ／ｒａｄ］ |
| 運動量ｐ［ｋｇｍ／ｓ］ | 角運動量Ｌ［ｋｇｍ２／ｓ・ｒａｄ］ |
| 質量ｍ［ｋｇ］ | 慣性モーメントＩ［ｋｇｍ２／ｒａｄ２］ |
| 速度ｖ［ｍ／ｓ］ | 角速度ω［ｒａｄ／ｓ］ |
| バネ定数ｋ［Ｎ／ｍ］ | （ねじれバネ定数）［Ｎｍ／ｒａｄ２］ |
| 機械抵抗［Ｎｓ／ｍ］ | （回転機械抵抗）［Ｎｍｓ／ｒａｄ２］ |
相対論では、時間と空間が時空という概念でまとめて論じられており、
時空間においては、時間もct（cは真空中の光速）という長さで表現されている。
これに基づけば、時間の長さと空間の長さは、[m]と[尺]同様に同じ物理量と見ることができ、
1[s]＝c[m]（[s]は[秒]）
という関係が成り立つ。
これを用いると、エネルギーは1[J]=1[kgm2/s2]=1/c2[kg]となり、有名なエネルギーと質量の等価の関係が現れる。
同様に運動量も1[kgm/s]=1/c[kg]となるが、エネルギーと質量がスカラーであるのに対し、運動量はベクトルである点に注意が要るかもしれない。
他には、速度[m/s]は無次元量に、加速度[m/s2]は[1/m]に、力[N]=[kgm/s2]は[kg/m]に、バネ定数[N/m]は[kg/m2]に、
仕事率[W]=[J/s]は[kg/m]に、周波数[Hz]=[1/s]は[1/m]に、機械抵抗[Ns/m]は[kg/m]、万有引力定数[m3/kgs2]は[m/kg]になる。
この内、力と仕事率と機械抵抗、加速度と周波数と波数が同じ単位となるので、これらも同質である可能性があると思う。
ただ、トルクとエネルギーが同じ単位である例もあるので注意が要る。
どちらにしても、距離と時間は共に「長い／短い」という言葉が使われ、質量とエネルギーは共に保存するイメージがあるから、
同質というのもわかり易いが、この辺になって来ると解釈が難しく思う。
同様の考え方を電磁界に対して用いると、電界強度[V/m]=[J/Cm]は[kg/Cm]、
磁束密度[Wb/m2]=[Js/Cm2]は[kg/Cm]、磁界強度[A/m]=[C/ms]は[C/m2]となり、
電界強度は磁束密度と、磁界強度は電束密度[C/m2]と同じ単位となる。
これは、EH対応よりEB対応の方が現実的らしい事と関係しているように思えて興味深く思う。
同様に、磁束[Wb]=[Js/C]は[kgm/C]、電圧[V]=[J/C]は[kg/C]、電流[A]=[C/s]は[C/m]、電気抵抗[Ω]=[V/A]=[Js/C2]は[kgm/C2]、コンダクタンス[S]=[1/Ω]は[C2/kgm]、
静電容量[F]=[C/V]=[C2/J]は[C2/kg]、電磁誘導[H]=[Wb/A]=[Js2/C2]は[kgm2/C2]、
誘電率[F/m]=[C2/Jm]は[C2/kgm]となる。
なお、SI単位系では[A]が基本単位であるが、ここでは[C]をより根源的な単位であると予想し、[C]基準で考えている。
この場合、透磁率[N/A2]=[kgm/C2]については[s]が現れないので変化がない。
更に、質量[kg]と距離[m]の関係についても考えてみる。
1[s]＝c[m]という式は、真空中の光速であるc[m/s]を、1の無次元量と考えることから出て来る。
これに対し、同じく意味ありげな定数である万有引力定数を、本来は1の無次元量ではないかと仮定してみる。
まず、万有引力定数G[m3/kgs2]は、c[m]=1[s]を用いるとG/c2[m/kg]となる。
そしてこれが1の無次元量であるとすると
G/c2[m/kg]=1[1]
となり、ここから
1[kg]=G/c2[m]≒7.4*10-28[m]
が求まる。
電場の考え方と照らし合わせると、G´=4πGと置き、このG´を1の無次元量であるとする方が多分適切だが、この場合は
1[kg]=4πG/c2[m]≒9.3*10-27[m]
となる。
これによれば、長さは膨大な質量と等価ということになり、1[m]が木星規模の質量となる。
質量は膨大なエネルギーと等価になるので、長さをエネルギーで換算すれば更にとんでもないことになる。
尤も、さすがにこの考え方は怪しいと思う。
ともあれ、もしこれが成り立つとすると、力と仕事率と機械抵抗は無次元量に、バネ定数は[1/m]になる。
電荷についても同様に考えてみると、真空の誘電率ε0から、
ε0[F/m]=ε0[C2/Jm]=ε0[C2s2/kgm3]=ε0c2[C2/kgm]=ε0c4/4πG[C2/m2]=1[1]
より、
1[C]=√(4πG/ε0)/c2[m]≒1.1*10-16[m]
となる。
電荷と距離には元々関係があり、機械系と電気系の対応において、電荷には距離が対応している。
これにより、磁束も[m]となり、抵抗、コンダクタンス、透磁率、電流、電圧は無次元量、
電界強度、磁界強度、電束密度、磁束密度は[1/m]となる。
2009.1.17-2024.7.15
元素の表を見ると、プラセオジムとネオジムというのがあります。
これらはついつい、プラセオジウム、ネオジウムと呼びたくならないでしょうか。
実際、磁石メーカーとかでは、現在でもプラセオジウム、ネオジウムと呼んでいるそうです（現在現役の親父談）。
ところが、本来これは誤りなようです。
カタカナ語のプラセオジムは、独語のPraseodymから来てると言われてるようです。
英語ではPraseodymiumと書きます。綴りのままだと、プラセオジミウムと読めます（発音記号に基くと、
実際はプレイジオウディミウム／プレイジオウディミアムって感じの発音みたい）。
どちらにしても、プラセオジウムにはなりません。
同じくネオジムも、Neodym、Neodymiumであり、ネオジミウムとは呼べても（実際にはニーオウディミウム／
ニーオウディミアムみたい）、ネオジウムとは呼べません。
習慣的に定着してしまってるのでしょう。
現役でそういう事に関わってるの皆さんも、留意しておくに越したことは無いと思います。
なぜ独語だと-iumが取れてるのか知りませんが、TitanやUranも独語で、英語ではTitanium、Uraniumとなります。
むしろ英語だと付けてると取るのが普通かも？
でも、Aluminium（アルミニウム）は、独語も英語も同じ綴りです。
日本人はアルミニウムをアルミンと呼んでも良いかも？ と思ったら、既にアルミと呼ばれてますね。
なら他に、カルシウム⇒カルク（カルキって言葉はありますね）、ナトリウム⇒ナトルとか。
＊参考
◆
◆
◆
2009.1.5
※あくまで勝手な考察ですので間には受けないでください。未だ未解決な所もあります。
三次元以外において、外積に相当する演算は、三種類現れます。
一つは、行列式による定義を応用した方法で、ｎ次元ならば、とあるｎ−１個のベクトル全てに垂直なベクトルが得られます。
絶対値は、ｎ−１次元版平行四辺形（平行六面体）の体積となるのではないかと思いますが、証明はできてません。
また、ｎ−１項の間の計算となります。
二つ目は、トルクや角速度を考えようとする時に現れるものです。
三次元では、回転の方向はｘ−ｙ、ｙ−ｚ、ｚ−ｘの三つで、たまたま直線の方向の数と一致してますが、
二次元ではｘ−ｙのみで、四次元では、ｘ−ｗ、ｙ−ｗ、ｚ−ｗが加わり、六つとなり、直線の方向の数と異なっています。
二次元でトルクを考えようという時は、
二次元ベクトル×二次元ベクトル＝スカラー
と言うのを暗に使っていると思いますので、これを元に考えると、
四次元ベクトル×四次元ベクトル＝六次元ベクトル
という形になります。その絶対値は、その二つのベクトルの成す平行四辺形の面積になるのではないかと思いますが、
証明はできてません。
また、三次元では、ｘ→ｙ→ｚ→ｘとループできましたが、それ以上となるとそうも行かなくなるのも少し注意すべき点です。
同様にして、
四次元ベクトル×六次元ベクトル＝四次元ベクトル
という形になる演算も現れます。これが三つ目の計算です。
内積におけるベクトル・ベクトル＝スカラーという形にと、スカラー・ベクトル＝ベクトルという計算は、
一種の対になっていますが、この二つ目の外積と三つ目の外積も、同様なタイプの対となってます。
具体的には、大雑把な所、二次元ならば、
ａ×ｂ＝ａｘｂｙ−ａｙｂｘ
ａ×ｃ＝（ａｙｃ，−ａｘｃ）＝−ｃ×ａ
四次元ならば、
ａ×ｂ＝（ａｙｂｚ−ａｚｂｙ ， ａｚｂｘ−ａｘｂｚ ， ａｘｂｙ−ａｙｂｘ ， ａｘｂｗ−ａｗｂｘ ， ａｙｂｗ−ａｗｂｙ ， ａｚｂｗ−ａｗｂｚ）
ａ×ｃ＝（ｃｘｙａｙ−ｃｚｘａｚ＋ｃｘｗａｗ ， ｃｙｚａｚ−ｃｘｙａｘ＋ｃｙｗａｗ ， ｃｚｘａｘ−ｃｙｚａｙ＋ｃｚｗａｗ ， −ｃｘｗａｘ−ｃｙｗａｙ−ｃｚｗａｚ）＝−ｃ×ａ
という具合です。
ｎ次元なら、回転の方向としてｎ（ｎ−１）／２次元ベクトルを使う事となるわけですが、
ｎ×ｎ次元の行列で考えた方が良いかもしれません。
Ｃ＝ａｔｂ−ｂｔａ
で表される行列Ｃは、要素の数はｎ２でも、自由な変数はｎ（ｎ−１）／２個になってます。
三次元では、以上の三種の外積が、たまたま一致しているわけです。
2005.6.22-2010.1.15
| 電気 | 機械 | 重力 | |
|---|---|---|---|
| 直線系 | 回転系 | ||
| 電荷[C]=[Js/Wb] | 位置[m] | 角度[rad] | 重力荷[kg] |
| 磁束[Wb]=[Js/C] | 運動量[Js/m] | 角運動量[kgm2/srad]=[Js/rad] | 磁場的重力束？[Js/kg]=[m2/s] |
| 電圧[V]=[J/C]=[Wb/s] | 力[N]=[J/m] | トルク[J/rad]=[Nm/rad] | 重力圧？[J/kg]=[m2/s2] |
| 電流[A]=[C/s]=[J/Wb] | 速度[m/s] | 角速度[rad/s] | 重力流？[kg/s] |
| 静電容量[F]=[C/V]=[C2/J] | コンプライアンス[m/N]=[m2/J] | 回転コンプライアンス[rad2/Nm]=[rad2/J] | [kg2/J] |
| エラスタンス[1/F]=[V/C]=[J/C2] | バネ定数[N/m]=[J/m2] | ねじれバネ定数[Nm/rad2]=[J/rad2] | [J/kg2] |
| 電磁誘導[H]=[Wb/A]=[Wb2/J]=[Js2/C2] | 質量[kg]=[Js2/m2] | 慣性モーメント[kgm2/rad2]=[Js2/rad2] | [Js2/kg2] |
| 電気抵抗[Ω]=[V/A]=[Wb2/Js]=[Js/C2] | 機械抵抗[Js/m2]=[kg/s]=[Ns/m]=[Js/m2] | 回転機械抵抗[Nms/rad2]=[Js/rad2] | [Js/kg2] |
| 電界強度[N/C]=[J/Cm] | 重力加速度[m/s2]=[N/kg]=[J/kgm] | ||
| 磁界強度[N/Wb]=[J/Wbm]=[C/ms] | [kg/ms]=[Ns/m2]=[Js/m3] | ||
| 電気 | 磁気 | |
|---|---|---|
| EH対応の場合 | EB対応の場合 | |
| 電荷（電束）[C]=[Js/Wb] | 磁束（磁荷）[Wb]=[Js/C] | 電流素片[Am]=[Cm/s] |
| 電荷密度[C/m3] | 磁荷密度[Wb/m3] | 電流密度[A/m2]=[C/sm2] |
| 電圧（起電力、電気スカラーポテンシャル）[V]=[J/C]=[Wb/s] | 磁圧（起磁力。電流と同じ単位）[A]=[J/Wb]=[C/s] | 磁気ベクトルポテンシャル[Wb/m]=[Js/mC] |
| 電流[A]=[C/s]=[J/Wb] | 磁流（電圧と同じ単位）[V]=[Wb/s]=[J/C] | 電流素片の時間変化[Am/s]=[Cm/s2] |
| 電界強度[N/C]=[J/Cm] | 磁界強度[N/Wb]=[C/ms] | 磁束密度[T]=[Wb/m2]=[Js/Cm2] |
| 電束密度[C/m2] | 磁束密度[T]=[Wb/m2]=[Ns/Cm]=[Js/Cm2] | 磁界強度[N/Wb]=[C/ms] |
| 電気抵抗[Ω]=[V/A]=[Js/C2]=[Wb2/Js]=[Wb/C] | 磁流に関する磁気抵抗（電気伝導と同じ単位）[S]=[A/V] | [Js3/C2m2] |
| 電気伝導（コンダクタンス）[S]=[1/Ω]=[A/V]=[C2/Js] | 磁流に関する磁気伝導（電気抵抗と同じ単位）[Ω]=[V/A] | [C2m2/Js3] |
| 静電容量[F]=[s/Ω]=[C/V]=[C2/J] | 静磁容量？（電磁誘導と同じ単位）[H]=[Wb/A]=[Wb2/J]=[Js2/C2] | [C2m2/Js2] |
| エラスタンス（電荷に関する電気抵抗）[1/F]=[V/C]=[J/C2] | 一般的な意味での磁気抵抗[A/Wb]=[C2/Js2]=[1/H] | [Js2/C2m2] |
| 誘導係数[H]=[sΩ]=[Wb/A]=[Wb2/J]=[Js2/C2] | 磁電誘導係数？（静電容量と同じ単位）[F]=[C/V]=[C2/J] | [Js4/C2m2] |
| 誘電率[F/m]=[N/V2]=[C2/Jm] | 透磁率[H/m]=[N/A2]=[Wb2/Jm]=[Ns2/C2]=[Js2/C2m] | 透磁率の逆数[m/H]=[C2/Ns2]=[C2m/Js2] |
| 導電率[S/m]=[C2/Nsm2]=[C2/Jsm] | 磁流に関する導磁率[Ω/m]=[Wb2/Nsm2]=[Wb2/Jsm]=[Js/C2m] | [C2m/Js3] |