正八面体正八面体
正多面体は5つしかありません。正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体です。プラトンの立体と呼ばれ、Platonicが「理想的な」の意味であることはよく知られていると思います。いずれの立体も自然界に広く分布しています。
変形十二面体
表面に二種以上の正多角形を認め、各頂点の構成を同一に限ったものが「半正多面体」と呼ばれるものです。半正多面体には正n角柱(側面が正方形の帯)と正n反角柱(側面が正三角形の帯)の無限列が含まれるので、それらを除くために対称性を制限します。
正多面体の対称性と同一のものを選ぶと、13のアルキメデスの立体が得られます。側面には正三角形、正方形、正五角形のほかに、新たに正六角形、正八角形、正十角形が表れます。サッカーボールの切頭二十面体が有名で、他にも実用品、装飾品に広く使われています。
アルキメデスの立体の中でも、変形立方体と変形十二面体は、左右非対称の魅惑的な立体です。
小星形十二面体
表面に星形正多面体を認め、立体的にも折り返しを認めると、正多面体が4つ増えます。小星形十二面体、大十二面体、大星形十二面体、大二十面体です。これらはケプラー・ポアンソの立体と呼ばれ、非常に魅力的な形をしています。
いずれも中身が多重になっているので、通常の三次元立体とは言いがたくなります。小星形十二面体と大十二面体は中心を三重に、大星形十二面体と大二十面体は七重に覆っています。小星形十二面体と大十二面体は、トポロジ的には4つの穴が開いている立体です(見えませんけど)。大星形十二面体と大二十面体には穴が開いていません。
アルキメデスの立体の星形化には2つの考え方があります。ウェニンガーが「多面体の模型」でやった方法は、実際にアルキメデスの多面体の面を延長し、空間の分割を調べるものです。見ると不思議な立体も含まれているので、何か発見的なものがあるのかもしれません。ウェニンガーが選んだのは、立方8面体と十二・二十面体です。これは偶然ではなく、これらが「準正多面体」だからです。つまり、辺の様子が均一な半正多面体です。なお、semi-を半、quasi-を準と訳す立場をここでは採っています。
● 一様多面体 uniform polyhedra
もう一つの考え方は、もはや立体の中身を考えないことです。正多角形(星型を含む)が辺同士でつながり、空間内を重なりながら絡んでいる様子を想像します。ただし、頂点周りの様子は一定にし、対称性は正多面体に合わせます。それでも、53もの(中身の無い)立体が存在します。
2002年7月20日 岡田好一