"合計トリック数の法則の解析について"

Matt Ginsberg, Eugene, OR

      最近の "Bridge World" 誌で,私は,コンピュータ・ブリッジの可能性を議論した。 それは,私が開発した高速ダブルダミー解析器に基づくものであった。このような道具は,ビッドの 理論にもかなりのインパクトを与えるものと思われる。 たとえば,こちら側と相手側が合計 21 枚の切り札を持っているとして,合計トリック数の法則が 成り立つかどうかを知りたくはありませんか ? これに合うようなハンドを 1,000 個発生させて, ダブルダミー解析器を使えば,答は分かるでしょう。
      この小論では,そのような解析の結果を示す。
      この法則は,双方が最長スートでプレイすると,合計の切り札枚数と同じ数のトリックを 取れることを主張する。したがって,N-S が 9 枚フィットであり,E-W が 10 枚フィット ならば,これらのスートで双方が取るトリック数は 19 である。
      これは,実際のところ,法則なのだろうか,それとも曖昧な目安 (rule of thumb) に 過ぎないのだろうか ?
      その答は,以下の通りである。ただし,ここでは,長さの等しい 2 スートが ある場合には,切り札をランダムに選んだが,コントラクトは,ディクレアラーの 最善の側 (declares's best side) からプレイされるものと仮定した。
Length samples average  error
14 46944 −0.15 0.63 
15 47281 −0.14 0.64 
16 120525  0.10 0.70 
17 102184  0.02 0.75 
18 69792 −0.01 0.83 
19 37561 −0.22 0.87 
20 15845 −0.50 0.99 
21 5041 −0.89 1.20 
22 1286 −1.31 1.48 
23 237 −1.78 1.83 
24 45 −2.22 2.27 
Total446741 −0.05 0.75 

      この表の 4 列は,それぞれ次の意味を持つ。
      1.   左から数えて 第一列は,2 スートの合計の長さを表す。
      2.   第二列は,条件を満たすディールの個数を表す。
      3.   第三列は,『合計トリック数と合計長さの差』 の平均を表す。 ただし,ここでは,双方とも,最長スートを切り札として,最善の側からプレイするものとした。 たとえば,第一行の −0.15 トリックという数字は,平均として,双方が 14 − 0.15 = 13.85 トリック取れる ことを意味する。もしも両者の合計が 16 枚ならば,双方は平均として 16.10 トリックを取れる。
      4.   第四列の数字は,この法則の誤差の平均値を表す。 たとえば,双方ともに 7 枚のフィットしか無い場合, この法則は平均として −0.15 トリックしかずれない けれども,個々のディールについて見れば,法則からのずれが 1/2 トリックよりやや大きい。 ―― つまり,過大に見積もることも 過少に見積もることも 同程度の頻度で起こる。
      この法則が示唆する固有の働き (specific actions) を評価するには,もう少し詳しく 調べる必要がある。その結果は,以下の通りである。

Error

 Length samples −4 −3 −2 −1 0 +1 +2+3 +4 

14 46,944 0.1 0.6 4.8 27.0  46.6  18.2 2.4 0.2  0.0  
15 47,281 0.1 0.6 5.0 26.6 45.7 19.2 2.6 0.2 0.0  
16 120,525 0.1 0.5 3.8 20.7 42.4 26.3 5.5 0.7 0.1  
17 102,184 0.1 0.6 5.2 23.5 39.4 24.5 5.8 0.7 0.1  
18 69,792 0.1 0.8 7.1 25.0 36.0 22.8 6.9 1.2 0.1  
19 37,561 0.1 1.3 10.7 28.9 33.8 18.8 5.4 1.0 0.1  
20 15,845 0.2 3.1 16.4 31.5 29.9 13.7 4.4 0.7 0.0  
21 5,041 0.7 7.4 24.0 31.9 23.3 10.1 2.3 0.3 0.0  
22 1,286 2.7 13.7 28.6 30.2 17.7 5.4 1.6 0.1 0.0  
23 237 4.2 25.7 29.1 26.2 12.2 2.1 0.0 0.0 0.0  
24 45 11.1  33.3  28.9  22.2 2.2 2.2  0.0  0.0  0.0  

Total 446,7410.10.9 6.2 24.5 40.0 22.4 5.1 0.7  0.1  

      上の表は,法則がどういう確率でどうずれるかを示している。 たとえば,双方の合計が 16 枚のとき,法則は 42.4% の確率で成り立ち,確率 26.3% で 合計 17 トリックを取れる 等々。
      これらの結果は,法則を肯定するのだろうか,それとも否定するのだろうか ?  その中間あたりだろう (Something in between).
      切り札枚数が増えるにつれて,明らかに,この法則は次第に不確かになり,双方が取りうる トリック数を過大に評価する。
      しかし,競り合いが起こるのは,低い代である。 たとえば,味方と相手方にどちらも 9 枚フィットがあるしよう。そして,相手方が 3H を ビッドした状況を考える。
ここで味方の切り札が S のとき 競り合うかどうか ?
      法則からの帰結によるならば,ここは競り合うべきである。 相手方が自らゲームを見逃したのでなければ,相手方のトリック数は 9 が限界である。 そうすると味方には 9 トリックがある。 合計 18 トリックが可能であるのならば, 競り合うのが正しい。
      上の表によれば,67% の場合に,合計 18 トリックがある (この法則が的中する場合と 過少評価する場合を含めて数える)。したがって,この法則に従うならば,67% の場合に 正しい判断ができる。
      良かれ悪しかれ,味方が 3S と競り合ったとしよう。このとき,相手方は,この法則に依って判断すると, バルならば,それ以上ビッドしないだろうが,ノンバルならば 更にビッドして,3S がメイクして 140 点損するよりも,自分たちのダウンによる −100 点の方を選ぶだろう。 そして,もしも 3S が ダウンするのなら,4H はメイクする。 合計トリック数が 18 なのだから。
      このような判断は正しいだろうか ?
      双方に高々 18 トリックしかない場合なら,バルで 3S を パスするのは正しい。上の表を見ると,これは確率 69% で起こる。 18 トリック以上ありうる場合なら,ビッドを続けるのが正しい。前節で述べたように, この法則は,67% の場合に正しい判断に導いてくれる。
      一般に,この法則は,正しく的中する場合には,正しい方向へ導いてくれるし, はずれる場合でも,「正しい」方向へ導いてくれる。この法則が過少評価する場合には, ビッドを続けるのが正しく,この法則が合計トリック数を過大評価する場合には, パスするのが正しい。
      いずれにせよ,合計枚数が 20 以下の場合 (これが全体の 99% を占める),確率の数字は 似たようなものである。ここから,この法則についてストレートな結論が得られる。
切り札の合計枚数が 20 以下ならば,合計トリック数の法則は,ほぼ 70% の場合に 正しい判断に導く
      それなら,この法則に従うべきだろうか ? それは,人と場合によりけりだと思う。 70% 以上の場合に,競り合いの状況で LoTT 無しにうまく判断できるかどうかに懸かっている。
 Translated by bocosan from the English original, which follows below:

"An Analysis of the Law of Total Tricks"

Matt Ginsberg, Eugene, OR

      In a recent "Bridge World" article, I discussed the possibility of creating a computer bridge player based on the development of a fast double-dummy solver.   Such a tool would have significant impact on bidding theory as well. Do you want to know if the Law of Total Tricks is valid when the two sides have 21 trumps between them?   Generate 1,000 deals fitting that description, analyze them using the double-dummy solver, and you'll know. Here is the answer, where we have selected randomly among trump suits of equal length but always assume that the contract is played from declarer's best side.
      This note gives the results of such an analysis.   The Law says that the two sides, when playing in their longest suits, can take between them as many tricks as they have trumps.   Thus if N/S have a nine-card fit and E/W have a ten-card fit, the two sides can take a total of 19 tricks in the two suits.   Is this really a law, or just a vague rule of thumb?   Here is the answer, where we have selected randomly among trump suits of equal length but always assume that the contract is played from declarer's best side.
Length samples average  error
    14    46944   −0.15   0.63 
    15    47281   −0.14   0.64 
    16  120525     0.10   0.70 
    17  102184     0.02   0.75 
    18    69792   −0.01   0.83 
    19    37561   −0.22   0.87 
    20    15845   −0.50   0.99 
    21      5041   −0.89   1.20 
    22      1286   −1.31   1.48 
    23        237   −1.78   1.83 
    24         45   −2.22   2.27 
 Total   446741   −0.05   0.75 
The columns in the table mean the following:
      1.   The left-hand column gives the combined length in the two suits.
      2.   The second figure is the number of deals in the sample that met the given conditions.
      3.   The third figure is the average difference between the number of tricks that can be taken by each side when playing in their longest suit (from the best side) and the combined lengths.   Thus the −0.15 on the first line means that, on average, the two sides can take a total of 13.85 tricks (14 − 0.15).   With a combined length of 16 cards, the two sides can take an average of 16.10 tricks.
      4.   The fourth figure is the average of the error in the Law.   So even though the Law is off by only 0.15 tricks if the best fits are of  7 cards each, on any individual deal we can expect the Law to be off by a little more than half a trick -- it just overestimates approximately as often as it underestimates.
      To evaluate the specific actions suggested by the Law, we need a bit more detail.   Here it is:

Error

 Length samples −4 −3 −2 −1 0 +1 +2+3 +4 

14 46,944 0.1 0.6 4.8 27.0  46.6  18.2 2.4 0.2  0.0  
15 47,281 0.1 0.6 5.0 26.6 45.7 19.2 2.6 0.2 0.0  
16 120,525 0.1 0.5 3.8 20.7 42.4 26.3 5.5 0.7 0.1  
17 102,184 0.1 0.6 5.2 23.5 39.4 24.5 5.8 0.7 0.1  
18 69,792 0.1 0.8 7.1 25.0 36.0 22.8 6.9 1.2 0.1  
19 37,561 0.1 1.3 10.7 28.9 33.8 18.8 5.4 1.0 0.1  
20 15,845 0.2 3.1 16.4 31.5 29.9 13.7 4.4 0.7 0.0  
21 5,041 0.7 7.4 24.0 31.9 23.3 10.1 2.3 0.3 0.0  
22 1,286 2.7 13.7 28.6 30.2 17.7 5.4 1.6 0.1 0.0  
23 237 4.2 25.7 29.1 26.2 12.2 2.1 0.0 0.0 0.0  
24 45 11.1  33.3  28.9  22.2 2.2 2.2  0.0  0.0  0.0  

Total 446,7410.10.9 6.2 24.5 40.0 22.4 5.1 0.7  0.1  

      In this table, the figures give the probability that the Law is off by the given amount. Thus with 16 cards in the two suits, there is a 42.4% chance that the Law is correct, a 26.3% chance that 17 tricks can be taken by the two sides, and so on.
      Do these results validate or invalidate the Law ?   Something in between.
      Clearly as the number of trumps grows, the Law becomes less and less reliable, consistently overestimating the number of tricks that can be taken by the two sides.
      But let's look at a lower-level, competitive situation. Suppose that both you and your opponents appear to have 9-card fits, and your opponents have bid 3H.   Holding spades, do you compete further?
      It is a consequence of the Law that you should.   Assuming that the oppo-nents have not voluntarily missed a game, 9 tricks will be their limit, leaving nine for you.   If 18 tricks are available, competing is correct.
      The table shows that 18 tricks are available 67% of the time (the Law has to be either correct or conservative in estimating the number of tricks that can be taken).   So if you follow the Law, you will make the correct decision 67% of the time.
      For better or worse, suppose you compete to 3S.   The opponents, if they make the decision suggested by the Law, will not bid on if vulnerable, and probably will bid on if not vulnerable, preferring the 100 penalty to going 140 defending spades.   And if you would have gone down in 3S, they will actually make 4H, taking 10 of the presumed 18 tricks that are available.
      Are these decisions right?
      The decision to pass 3S vulnerable is right, provided that at most 18 tricks are available to the two sides. Looking at the table, this happens 69% of the time. The decision to bid on is right if at least 18 tricks are available, just as in the previous paragraph -- so that Law leads you to the right decision 67% of the time in this case.
      In general, the Law will lead you to do the right thing when it's either exactly right or when it's wrong in the "right" direction. Bidding on is generally right if the Law is conservative; passing is right if the Law is overestimating the number of available tricks.
      Either way, the probabilities are similar whenever the suit lengths combine to 20 cards or fewer, which they will 99% of the time. So here's the straight story on the Law:
      Provided that the trump lengths combine to 20 cards or fewer, the Law of Total Tricks will lead you to correct decisions approximately 70% of the time.
      Does that mean you should follow it? That depends, I suppose, on whether you can make competitive judgments correctly more or less than 70% of the time without it.

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