メモ帳などの等幅フォント・固定幅で読んでください。タブが半角８桁でないと図が崩れます。半角で８０桁、全角４０桁以上無いと読み辛いと思います。 『コンピュータとマイナスの数』by baa 初出2013/12、2014/1修正、2014/2修正、2014/10加筆 　長文なので目次 ・コンピュータは、命令書を読む電卓 ・機械の言葉は二進数 ・マイナスの数を機械で表現する ・コンピュータは、その数の正負を知らない ・正負の見なし方。それは貴方が決める ・ちょっと脱線。コンピューターは人工無脳であるか？ ・まとめと、コンピュータによる悟り 　「コンピュータとか二進数とか関係ネー」、暇つぶしの読み物として読まれる方は（居るのか？）、“ちょっと脱線。コンピューターは人工無脳であるか？”から後の節が、この長文のまとめと、一応読み物らしき物になっていますので、後は全部飛ばして下さい。 　２番目の“機械の言葉は二進数”までは、コンピュータが内部では二つの値 ＝ ２値で全てのデータを扱う事の超簡単な“ややこしい説明”なので（えっ？）、先刻ご承知の方は３番目の“マイナスの数を機械で表現する”から読んで下さい。 −−−−−−で挟んだ部分は、寄り道なので、一通り全体を読んで話を掴んでから読んだ方が、分かりやすいかもしれません。 ここから本文 ●　コンピュータは、命令書を読む電卓 　コンピュータは、文字でも画像でも音声でも、内部では数に当てはめます。コンピュータは、電子回路内の特定の“状態”を数に見立てて、数を取り扱う“計算機”です。普通の「電卓（電子卓上計算機）」も一種のコンピュータですが、「パソコン」と呼んでいる様なコンピュータとの違いは、パソコンの方は、そのパソコンが理解できる書式に従った、任意の（時にはとても長い）命令書（＝プログラム）を読み込んで記憶し、それを解釈して、そのアルゴリズム（論理手順）通りに計算を実行する事が出来るという点です。 　つまりコンピュータは“命令書を読んでその通り計算する汎用の計算機械”です。 　機械に計算をさせるためには、まず機械に数というものを扱わせなければなりません。機械に数を扱わせるには、例えば、そろばんの珠の並び方でも、歯車の回転位置でも、水の水位でも、何でもいいですから、機械自身で違いを判定できる特定の“状態”を「この状態は１」、「この状態は２」という風に数に見立てれば良いのです。ですが、そろばんの珠や歯車を数に見立てて動かしていたのでは、多少とも計算に時間が掛かりますし、人のオツムより計算が遅くては、せっかく機械に計算させる意味の半分は無くなってしまいます（もう半分は正確さです）。そろばんの珠でも、歯車でも、物理的に物を動かすには力が必要ですし、機械もそれだけの大きさが必要です。 　コンピューターでは、人より高速で数を扱わせる為に、人間が扱える物の内、最も速い部類である「電気」の“状態”を使う事に決めたのです。回路に流れる「電気」の量を“状態”とみなせば、物理的に他の物を動かす必要が（殆ど）有りませんし、機械も小型化できます。 ●　機械の言葉は二進数 　どんなものでも機械を作る場合は、できるだけ簡単な仕組みにする方が動作が速くなります。計算機を作る場合は、最小で２つの違った“状態”があれば、それを組み合わせて全ての数（どころか、文字でも音でも画でも、数値で符号化できる物は全て）を“符号”として表現できるので、機械の中に最低限２つの“状態”を作って、それを“符号”を表すのに必要な量だけ同時に一定時間保存でき、それが機械自身で見分けられれば良いわけです（もちろん、それを使って計算出来なければなりませんが）。 　例えば、２つの“状態”を幾つか組み合わせて意味を持たせ、機械がこういう設定の場合に、この“状態の並び”は数の６５を意味し、文字のＡを表示する。同じ設定で、また別の“状態の並び”は数の２５５を意味し、カーソルを表示する、という様な具合です。 ２つの状態を組み合わせて並べ、意味を持たせる（つまり符号化する） 例）白と黒の２種類の箱を８個並べて、何か表す 　　□■□□■■□■　これを７７と決める。７７ならＭを書くとする 　　□■□■□□■■　これを８３と決める。８３ならＳを書くとする 　　□■□■■□□□　これを８８と決める。８８ならＸを書くとする 　　では、こんな並び方の“符号”なら、何と書くでしょうか？(^^;) 　　□■□□■■□■　□■□■□□■■　□■□■■□□□ 　前節で書いたように、コンピュータを考えられた先人達は、回路に流れる電気を使って２つの“状態”を表現することにしました。電気の“状態”を見分けるには、例えば電燈スイッチのオン／オフのように、回路の電流有り／電流無し、が一番分かり易いですが、実際にその方法で計算機を作ってみると、電流がほぼ０の状態から、流れているとハッキリ判別できる量の電流まで上げ下げして安定させるのは、思いのほか時間が掛かりました。 　その点を考慮して、もっと高速に“状態”を安定させられる「電圧が一定より低い」と「電圧が一定より高い」を、二進数の一つの桁と見立てることにしました。 例）電圧５Ｖなら流れている、０Ｖなら流れていないとする 　　　　　　　−−−−−−−−−−　┐ 　　　　５Ｖ　──────────　│この範囲なら流れている 　一定の高さ↑−−−−−−−−−−　┘ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←どちらでもない 　一定の高さ↓−−−−−−−−−−　┐ 　　　　０Ｖ　──────────　┘この範囲なら流れていない 　現在のコンピュータと周辺機器の内部では、全てのデータが「電圧が一定より低い／高い」や「磁極のＮ／Ｓ」「レーザー光線を反射する／しない」の様な何らかの２つの“状態”で保存されています。その２つの“状態”を２つの“値”とみなし、それを二進数の一つの桁と見立てるのです。 　「では、二進数とは何ですか？」というと、まず日ごろ私達人間の使う十進法の数＝十進数を考えてみると、十進数を表記するときには、０〜９の九つの文字を使って、０、１、２と数を数えていき、十になると桁が１つ上がってその桁は０となり、左隣に１を書いて１０、１１、１２・・・と文字を書いていきますよね。１０倍になると桁が一つ上がるわけです。十進数は“０から９の１０個の記号を使って表記し、１０倍になると桁が一つ上がる”という数の表現方法です。 十進数 　１０個の記号を使って表記 　　０、１、２、３、４、５、６、７、８、９ 　１０倍になると桁が上がる 　　　　　１─┐ 　　　　　　１０倍 　　　　１０←┤ 　　　　　　１０倍 　　　１００←┤ 　　　　　　１０倍 　　１０００←┤ 　　　　　　　： 　二進法の数＝二進数を人間が使う場合は、０と１の二つの文字だけを使って表現し、ある桁の値が十進数での２相当になると桁が一つ上がって、初めの桁は０になり、左隣に１を書きます。２倍になると桁が一つ上がるので二進数です。“０と１の２個の記号を使って表記し、２倍になると桁が一つ上がる”という数の表現方法です。 二進数 　２個の記号を使って表記 　　０、１ 　２倍になると桁が上がる 　　　　　１─┐ 　　　　　　　２倍 　　　　１０←┤ 　　　　　　　２倍 　　　１００←┤ 　　　　　　　２倍 　　１０００←┤ 　　　　　　　： 十進数と二進数の対応 　十進数 二進数 　　０ 0 　　１ 1 　　２ 10 　　３ 11 　　４ 100 　　５ 101 　　６ 110 　　７ 111 　　８ 1000　←４桁 　　９ 1001 　１０ 1010 　　： ： 　十進数の８の時点で、二進数では既に４桁です。どんどん桁が増えていくのに 0 と 1 ばかりで読み取りにくく、二進数は人間向きではないようです。やはり人間様には十進数、機械の言葉は仕組みが単純な二進数、というのが一番扱いやすいようです。コンピュータでは、二進数の一つの桁を１ビット（binary digitの略でbit）と呼びます。８ビットを１組にまとめて１バイト（byte）と呼びます（注１）。 　現在のコンピュータでは多くの場合、２つの違った状態を表現して保存できる最小の回路の電圧、例えばメモリの１ビットの電圧が、一定より低い状態を０、一定より高い状態を１、として二進数に当てはめるように設計されているそうです。 注１．１９９０年代には、４ビットをニブル（nibble）、１６ビットをワード(word)、 　　　３２ビットをダブルワード（double word）と呼んだように記憶していますが、 　　　現代では、ビットとバイト以外はプログラミング言語や環境によって、呼び方 　　　や区切り方が違っていると思います（？）。 ●　マイナスの数を機械で表現する 　ここからやっと本題です(^^;)。数には負（マイナス）の数もあって、実生活で計算する時に負の数がないと、とても困ります。コンピュータが計算する時にも、負の数を扱わせるには、どうすれば良いでしょうか？ 　人が負の数を扱うときには、これは負の数ですよという「印」として、数字に「負の符号」の−を付けます。コンピュータにも「負の符号」に相当する何らかの「印」を扱えるように設計すればいいのでしょうが、あまり機械が複雑になっても作るのが大変ですし、その為に動作が遅くなっても困ります。まず、考えられたのが一番上の桁をマイナスの符号に見立てる事でした。例えば、二進数の４桁 ＝ ４ビットで考えると、 十進 二進 　： : 　４ 0100 　３ 0011 　２ 0010 　１ 0001 　０ 0000 −１ 1001 ←　負の数は、一番上の桁が１であるとする −２ 1010 ←　その点以外は、正の数と同じ表現 −３ 1011 ← −４ 1100 ← 　: : 　という具合です。４ビットの１は 0001 で、その一番上の桁を 1 として 1001 とすれば−１となるわけです。ある本によると、実際にこの負の数の表現方法を使ったコンピュータが在ったそうです。 　ところがこの方法では、正の数用、負の数用の２通りの計算回路と、正の数と負の数を足し引きする計算回路の、計３回路を別に作り、上手く組み合わせて動作させなければならないので大変です。前節で書いた通り、回路は単純なほど、動作が速くて作りやすいのです。 　他にも、これとは別の負の数の表現方法を考え、実際にその方法で作られたコンピュータが在ったそうですが、どれも回路が複雑になってしまうのでした。 　そこで、数学っぽく「負の数Ａとは、正の数Ａに足して０になる数」とすれば良いのではと考えた（のか、二進数のビット列をいじって色々試している内に発見したのか？　その）人が居ました（名前失念、スイマセン）。例えば、１に−１を足せば０ですから、仮に二進数４ビットで考えると、 二進数４ビットの１→　0001 足して０になる数→　　1111　←これを−１に見立てる 足すと→　　　　　　 10000 　　　　　　　　　　↑ 　　　　　　　　繰り上がり 　となります。0001 が４ビットの１で、1111 が４ビットの−１です。問題は、二つを足して繰り上がった 1 ですが、５ビット目なので、「桁あふれ（overflow）」として“別扱い”にすれば、見事に 0000 即ち０となります。この方法だと、 : 　　： 0100　　４ 0011　　３ 0010　　２ 0001　　１ 0000　　０ 1111　−１ 1110　−２ 1101　−３ 1100　−４ : 　　： 　となって、普通に１ずつ増減させるだけで、数が負←→０←→正と連続して繋がりますし、正の数同士、負の数同士、正負の数同士、どの計算でも同じ計算回路で正しい結果となります。 　さらに都合の良いことに、マイナスからプラスになる際にビット数以上に繰り上がる「桁あふれ」と、プラスからマイナスになる際にビット数より上から借りる「桁借り（borrow）」が有ったことを示すためには、ＣＰＵのビット数で表現できる数より大きい数の計算をする為に、計算で繰り上がった桁（あるいは上から借りた桁）を別扱いとして入れる「キャリー（carry）」というビットが、元々ＣＰＵに用意されているので、何も特別の回路を作る必要がありません。 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：「桁あふれ」の出る計算 　例１）４ビット二進数（最大値は１５）で、３０＋２４の計算 数を４ビットずつ２回に分けて計算する 　　　上位 下位 二進数の３０･･･11110　→　0001 1110 二進数の２４･･･11000　→　0001 1000 これらを足す + ---- ---- 　　　0010 1 0110 ↓ 　 1 ←「桁あふれ」ビットを上位に足す 　　+ ---- 答えは５４ ･･･110110　←　0011 0110 　例２）４ビットで、−７＋１２の計算 二進数４ビットの−７　･･･ 1001 二進数４ビットの１２　･･･ 1100 足して答えは５　　　　･･･1 0101 ↑「桁あふれ」ビットは別扱い（無視する） 　例３）４ビットで、−７＋（−７）の計算 二進数４ビットの−７　･･･ 1001 二進数４ビットの−７　･･･ 1001 足して答えは−１４　　･･･1 0010 ↑「桁あふれ」ビットを−の符号と見る −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 　また、この負の数の表現方法なら「正の数を負の数にする」場合や「負の数を正の数にする」場合など、その数の「符号を反転する」場合（具体的には、４を−４にするとか、−１２を１２にするとか）も簡単で、ビットを全て反転してから１を足すのです。例えば 0001 なら、ビット毎に 0 と 1 を反転して 1110 にしてから 1 を足して 1111 です。これをコンピュータ用語で「２の補数（Two's Complement）」と言います（数学の補数とちょっと違いますよネ？）。最後に 1 を足さない場合は「１の補数」と言います（何で？(^^;)）。 　「２の補数」の例、４ビットの１の符号を反転して−１を作る場合 二進数の１　　　　→　0001 ビットを反転　　　→　1110　・・・１の補数 １を足すと−１　　→　1111　・・・２の補数 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：補数とは？ 　広辞苑によると 　１．自然数ａ、ｂについて、ａ＋ｂ＝１０のとき、一方を他方の１０に対する補数という。余数。 　２．ｎ桁の二進数について、２のｎ乗−１−ａを１に対するａの補数という。 　だそうです。１番が言わば“１０の補数”で、２番がコンピュータ関連で言うところの“１の補数”でしょうか？　コンピュータ関連で言う“２の補数”を辞書風に言うと“ＣＰＵが一度に扱うビット数以下の二進数ａに足すと１桁あふれて全ての桁が 0 になる二進数ｂ”です。ちょっと不正確に分りやすく書くと“ａに足すと丁度１桁上がる最小の数ｂ”です。 ４ビットの場合 　　　　　　　４ビット二進数のａ　　→　0001 　足すと桁あふれして０になる数ｂ　　→　1111・・・２の補数 　　　　　　　　　　足してみると　　　＋---- 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 0000 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　↑ 　　　　　　　　　　　　　　　　桁あふれ　０ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 　余談ですが、先に「この（負の数の表現）方法で作った場合、正の数同士、負の数同士、正負の数同士、どの計算も同じ計算回路で正しい結果になります」と書きました。この回路は、足し算をする回路です。引き算は、負の数を足すのと同じ事ですから、足し算をする回路だけで出来ます。掛け算／割り算は、足し算／引き算を繰り返せば出来ます。なんと、コンピュータ（ＣＰＵ）は、本質的には足し算しかしていないのです！ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：乗除算をする回路 　現代ではコンピュータの黎明期と比較して、超複雑な回路も簡単に作れるようになり、掛け算／割り算を高速な方法で行える仕組みを実装するＣＰＵが殆ど（全部？）です。でも“足し算する回路”と“桁をずらす回路”を上手く使って実現している様です（今は違うのかな？） 例１）３×５の機械的計算 二進数４ビットの３　･･･ 0011 二進数４ビットの５　･･･ 0101 ５の 1 が有る桁に３をずらして置いて、それを足す ５ 0101 ５の 1 が有る桁 * * 置いた３ 0011 置いた３ 0011 足す + ------ 答え１５ 1111 　何のことはない、人間の十進数の筆算と同じです 例２）９÷４の機械的計算 二進数４ビットの９　･･･ 1001 二進数４ビットの４　･･･ 0100 ９を４桁（ビット数）ずらし、１桁ずつずらし戻しては ４を引いて（つまり４の“２の補数”を足して）いく。 この筆算では、１段ずつ下から上の４を引く。 引けると 1 、引けないと 0 を順に並べていく （実際には、キャリーを保存して並べていく）。 除数４ 0100 ９を４桁ずらす 1001 （準備） ３桁ずらした９ 1 001 引けないので 0 ２ 〃 10 01 引けないので 0 １ 〃 100 1 引けたので　 1 元の位置 0001 引けないので 0 余り 0001 上から並べると 0010 ↑が答え 答え 0010　余り 0001　で　十進数表記なら２余り１ 　次は、同じく割り算の「突き放し法」というやつです（？） 例３）９÷４の機械的計算　その２ 例２と同じ要領で取り合えず引いて（補数を足して）、 負なら除数を足し戻す。負なら 0、正なら 1 を並べる （実際には、キャリーを保存して並べていく）。 除数４ 0100 結果 ９を４桁ずらす 1001 （準備） １桁戻し引く 1 001 1101 001　負で 0 １桁戻し足す 1010 01 1110 01 　負で 0 １桁戻し足す 1100 1 0000 1 　正で 1 元の位置引く 0001 1101 　負で 0 余り 0001 上から並べると 0010 ↑が答え 　こういった方法（他）の乗除算をする回路を、大きな数も扱えるビット数で作って乗せるようです（？） −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ●　コンピュータは、その数の正負を知らない 　上述の通り「２の補数」という表現方法なら、負の数をコンピュータ上で表す際には“何も特別の回路を作る必要が無い”のでした。ということは、この方法を用いるコンピュータは、実際には、正の数と負の数を全然区別していないということです。このことを説明する為に、８ビットＣＰＵの代表であるＺ８０を取り上げます。Ｚ８０は、１９８０年代に最も使用されたＣＰＵで、ＣＰＵが計算する時の値を記憶する内部メモリー１つに付き８ビット記憶でき、メモリーとＣＰＵが値をやり取りする線（データバス）が８本のＣＰＵです。いや、だから要するに８ビットＣＰＵです(^^;)。 ８ビットとは？ 二進数で８桁　　　　　　１　　１　　１　　１　　１　　１　　１　　１ 十進表記で桁の重み　１２８　６４　３２　１６　　８　　４　　２　　１ 最大値は重みを全て足した２５５。正の数の最小値は桁が全て０の場合の０ 　ＣＰＵは、基本的には常にそのビット数全部を使って数値を扱います。８ビットＣＰＵなら１を表す時でも 00000001 とします。８ビットで表せる数より大きい数を扱う場合は、00000000 00000000 と８ビットを２つ合わせて使います（１６ビット）。その場合は６５５３５が最大値です。通常の８ビットＣＰＵは、１度に１７ビット以上の数を扱えません。 　さて、この節は「コンピュータは、その数の正負を区別していない」事を説明するのでした。数の正負というと、Ｚ８０には、何らかの演算をした結果が正か負かを、0 か 1 かで示す「サインフラグ（Sign flag）」という機能があります。これは、扱う数を「符号付き（signed number）」という特別の数と“見立てる”ときに使います。「符号付き」の数では、「最上位ビット」が正負の符号の役割をします。正の数は一番上の桁である「最上位ビット」が 0 、負の数は「最上位ビット」が１となるので、人間にも正負の判別がしやすいです（そのため一番上の桁 ＝ 最上位ビットを「符号ビット」とも呼びます。）それ以外は普通の数と同じで、負の数の表現には前節で説明した「２の補数」を使います。 ８ビットの「符号付き」の数 普通の数 符号付きの数 | ８ビット | | | ７ビット | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 7 6 5 4 3 2 1 0 符 6 5 4 3 2 1 0 号 「符号付き」の数の場合、一番上のビットは正負の符号 　「サインフラグ」のフラグは文字通りの「旗」の意味で、人が旗を立てて合図を送るように、ＣＰＵが演算した結果について何かを示すときに値が 0 か 1 に変化するものです。そして、演算した結果を「符号付き」の数として見た場合に正か負かを、0 か 1 かで示すのが「サインフラグ」です。 　「えっ？　ＣＰＵが“演算をした結果が正か負かを、0 か 1 かのフラグで示す”のなら、コンピュータは正か負かを、ちゃんと区別してるジャン？」ですよね。まあ、もうちょっと読んで下さい。 　このＺ８０の「サインフラグ」は、実際には演算結果の８ビット数値の内の、最上位のビット値がそのままフラグに入るだけです。 例）最上位と最下位のビット（８ビットの場合） 　最上位ビット（ＭＳＢ ＝ Most significant bit） 　↓ 　００００００００ 　　　　　　　　↑ 　　　　　　　　最下位ビット（ＬＳＢ ＝ Lowest significant bit） 　「サインフラグ」は、この最上位ビットを、正負の符号に見立てて、「もし、この演算結果を“符号の付いた数”と見るのなら、一番上のビットが負の符合を表す 1 ですよ（正の符号で 0 ですよ）」と、フラグを立てたり降ろしたりして教えてくれるのです。 　仮に、演算結果が 10000001 だった場合、この値が正の数で１２９なのか、負の数で−１２７なのか、判断しているわけではないのです。繰り返しますが、「サインフラグ」は「一番上のビットが立ってます（寝てます）。もし、この演算結果を“符号の付いた数”と見るのなら、一番上のビットが負の符合を表す 1 ですよ（正の符号で 0 ですよ）」と教えてくれるだけです。で、「もし、符号の付いた数として見る」のは、もちろんプログラム（を作る人）です。よってＺ８０ＣＰＵ自身は、正負の断定はしていないのです。 　「サインフラグ」＝ Ｚ８０さんからの連絡「演算結果が正か負かは知らないけどぉ、“符号付きの数”で符号を表す時に使う最上位ビットは立ってる／寝てる、よ」というわけです(^^;)。 　他に、Ｚ８０には、演算結果がマイナスになったかどうかの判定に良く使われる「キャリーフラグ」というフラグもあって、８ビットまたは１６ビットで演算した結果が９ビット以上または１７ビット以上になった場合等の「桁あふれ」時と、８ビットまたは１６ビットで演算する際にビット数より上の桁から「桁借り」が有った場合（他）に１となります（つまりキャリーフラグは、前節で述べた「桁あふれ」ビットの値を示します）。 　例えば、何らかの減算の際にビット数より上の桁から「桁借り」があったということは、計算結果がマイナスになったということです。「桁借り」が有ったので「キャリーフラグ」が立ちます。が、「キャリーフラグ」が示すのはあくまで「桁借り」が有ったということであって、その結果の数値自体が正であるか負であるかを判断しているのではありません。 計算する → 結果マイナスになり「フラグ」も立つ →　正か負かは未定 　「えっ、計算結果がマイナスなのに、それが負じゃない数なんて、意味不明だろ？」ですよね。そこが、コンピュータの世界です。次の節でこれを説明します。 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：ＣＰＵにおける符号付きの数（Signed Binary） 　ＣＰＵ機能で演算する数を「符号付き」の数として見る（扱う）場合、ＣＰＵの一度の命令で使う数用のビット数（Ｚ８０なら８ビットか１６ビット）で表現できる二進数の一番上の桁は数値ではなく「符号」なので、そのビット数で表現できる全部の数を、正の数、負の数、の２つに分ける事になり、表現できる数値が半分の大きさになります。仮に４ビットなら、通常の見方で表現できる値は 0000〜1111、即ち十進数の０〜１５の１６種類ですが、最上位ビットを符号として符号付きの数字と見れば、表現できる正の値は 0000〜0111、即ち０〜７、負の値は 1111〜1000、即ち−１〜−８となります。言葉では分かりにくいので表にすると 　４ビットの符号なしの数と、符号付きの数 　同じ 0 と 1 のビット列を 　符号なしの数として見る 符号付きの数として見る 　正の数と見る　負の数と見る　ビット列 　15 -1 1111 -1 　14 -2 1110 -2 　13 -3 1101 -3 　12 -4 1100 -4 　11 -5 1011 -5 　10 -6 1010 -6 　 9 -7 1001 -7 　 8 -8 1000 -8 　 7 -9 0111 7 　 6 -10 0110 6 　 5 -11 0101 5 　 4 -12 0100 4 　 3 -13 0011 3 　 2 -14 0010 2 　 1 -15 0001 1 　 0 0000 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ●　正負の数の見なし方。それは貴方が決める 　私の説明の至らなさや、寄り道した所も多くて、混乱された方も居られますでしょうし、ここで一度、今までの内容をまとめてみます。 　　０．機械に数を扱わせるには二進数が最適 　　１．コンピュータ（ＣＰＵ）は全てを２値で符号化して二進数として扱う 　　２．ＣＰＵが計算する際には、正の数と負の数を特に区別しないで 　　　　全く同じ演算回路で扱っている 　　３．もしＣＰＵ自身に、扱う数に正負の符号を付けさせるなら、そのＣＰＵの 　　　　ビット数の最上位の桁を 0 ＝正の符号、1 ＝負の符号とする 　という事でした。そして、 　　４．ＣＰＵが何か計算した結果、値がマイナスになったとしても、 　　　　それが負の数か、あるいは正の数か、ＣＰＵでは区別していない 　という事を今から説明するところでした。 　コンピュータ自身が扱う数の正と負を区別しないなら、誰が区別するのでしょうか？　サインフラグの所でチラッと述べたように、その答えはプログラム（を書く人）です。Ｃ言語やＢＡＳＩＣなどの高級言語だと、ちゃんと言語側で負の数であるかないか（プログラムを書く時に）区別するように作られていますが、コンピュータ（ＣＰＵ）の言葉である機械語や、それに最も近いアセンブリ言語（Assembly language）だと、その数は正か負かプログラマーが全て頭の中で把握しておかなくてはなりません。何しろ十進数とは違って、例えば 1111 が 正の数で１５なのか、負の数で−１なのか、数字の見た目でも、コンピュータ内部でも、全く同じで区別が無いのですからネ。 　アセンブリ言語上で数を負として扱う場合の区別の仕方 ＝ 見なし方についてですが、そこには、コンピュータの仕組みが絡んできます。仮に８ビットで区切るなら、８ビットがとる値の範囲は０〜２５５ですから、８ビットの値を０から１ずつ増やしていけば２５５となり、２５５から更に１増やすと「桁あふれ」して０に戻ります。増やしていけば、０→２５５→０→２５５・・・と繰り返すわけです。 　８ビットの値を０から１ずつ増やしていくと０→２５５→０→２５５・・・と繰り返す 00000000→00000001→00000010･･･11111110→11111111→00000000 　逆に２５５から１ずつ減らしていくなら、２５５→０→２５５→０・・・と繰り返す 11111111→11111110→11111101･･･00000001→00000000→11111111 　角度の０度と３６０度が同じ位置であるように、８ビットの数値は０を起点（基点？）にグルグルと輪の様に繋がっているのです。もしアセンブリ言語プログラマーがそれを負の数として扱うなら、その０→１→２と回る方向を“正の方向”と見なして、逆の０→２５５→２５４と回る方向を“負の方向”と見なすわけです。コンピュータの“負”とは「逆方向に進む」ことです。 　　同じ値をどう見なすか・・・ 　　→　正の方向　→　起点　→　正の方向　→ 11111110　11111111　00000000　00000001　00000010 　　←　負の方向　←　起点　←　負の方向　← 　一見ややこしいように思いますが、０と２５５の様に「ビット数の取る最小値と最大値が繋がっている」点を無視して考えてみれば、負とは元の「逆方向に進む」というだけの事ですから、とても単純で実際的な正と負の概念の認識です（と思います）。 　このことを、分かり易いよう十進数で書くと、 　　　　　　　→　正の方向　→　起点　→　正の方向　→ ・・・−４　−３　−２　−１　　０　　１　　２　　３　　４・・・ 　　　　　　　←　負の方向　←　起点　←　負の方向　← 　となって、この図を見ながら簡単な計算を考えてみると、 ２−５は、正の２から、負の方向に５進む。結果は−３ −１＋２なら、−１から正の方向に２進む。結果は１ １×３なら、０から正の方向に１の３回分進む。結果は３ −２×２なら、０から負の方向へ２の２回分進む。結果は−４ −１×−３なら、０から負の方向の負の方向へ１の３回分進む。結果は３ ４÷−２なら、０から負の方向へ４から２を引ける回分進む。結果は−２ 　ね、見たまんまでしょ(^^;)？　足し算・引き算なら式の始めの数の位置から後の数の分だけ正か負の方向に移動する、掛け算・割り算なら０の位置から上の説明通りに移動する。ただし、現実世界と違うのは、先に書いた通りコンピュータにはビット数の制限 ＝ 一度に扱える数の上限が有って、その為に「ビット数で取る最小値と最大値が繋がっている」点です。この「ビット数で取る最小値と最大値が繋がっている」点が、コンピュータにはとても重要で、だからこそ、前々節の「２の補数」という方法が使えるのです。 　「最小値と最大値が繋がっている」８ビットの数を十進数で表すと、 同じ数を 正と見るか？ 　　　　　→　正の方向　→　　起点　　→　正の方向　→ ・・・２５３　２５４　２５５　０　　　　１　　　　２　　　　３　・・・ 負と見るか？ 　　　　　←　負の方向　←　　起点　　←　負の方向　← ・・・−３　　−２　　−１　　０　　−２５５　−２５４　−２５３・・・ 　です。見方次第で２５５は−１であり、−１は２５５です。マイナスの値も正の方向の矢印に沿って計算すれば、−１＋１は２５５＋１で、０です。−１＋２は、２５５＋２で１です。１−３は、１から負の方向へ３歩ですから２５４で、この２５４を負と見れば−２です。同じ１−３を正の方向で見ると−３は２５３なので、１＋２５３でグルッと回って、やっぱり２５４即ち−２です。これらの計算は、全て「ビット数で取る最小値と最大値が繋がっている」からできるのです。 　前節で、Ｚ８０の「キャリーフラグ」の動き方について、計算時に「桁あふれ」や、ビット数以上から「桁借り」が有った場合にフラグが立つと言いました。これを上図を見ながら別の言い方をすれば、計算時に値が０と２５５の間を通ると、フラグが立つわけです。 　２５５に２足せば１です。計算としては正の向きに０と２５５の間を超えた（桁あふれした）ので「キャリーフラグ」が立ちます。１から２を引くと、答えは−１です。計算としては負の向きに０と２５５の間を超えた（桁借りした）のでマイナスです、「キャリーフラグ」も立ちます。が、その結果の−１（二進数なら11111111）を負の数−１とみるか、正の数２５５と見るかは、プログラム（を書く人）しだいです。 　注意しなければならないのは、これは「符号付き」の数ではない（「符号付き」の数と考えていない場合な）ので、最上位の符号ビットが 0 でも 1 でも関係ありません。ＣＰＵ機能のサインフラグを使って判定することもできませんし、あくまでプログラム（を書く人）がその数を正と見なすか負と見なすかという事です。 　前節に書いた「えっ、計算結果がマイナスなのに、それが負じゃない数なんて、意味不明だろ？」について、もうお分かりいただけたと思います。計算結果はマイナスでも、その数を正と見るか負と見るかは、プログラム（を書く人）しだいなのです。 　今度はコンピュータっぽく二進数で簡単な計算をしてみましょう。 　例）−２＋１０を、８ビットコンピュータっぽく計算する −２は、２のビットを反転して１足したものなので ８ビットコンピュータの中ではこういう数字である 　二進数８ビットの２　→ 00000010 　反転する　　　　　　→ 11111101 　１を足す　　　　　　→ 11111110　←これが二進数８ビットの−２ 別にコンピュータが（特に命令しなければ）こんな 操作をするのではなく、−２は初めから人間がこう 入力すればよい 11111110 この−２を正の数と見れば２５４である。正か負かは コンピュータ自身には関係ない そこに１０を足す 　二進数８ビットの−２　→ 11111110　←でも２５４とも見れる 　二進数８ビットの１０　→ 00001010 　足す　　　　　　　　　　+ -------- 　答えは８　　　　　　　→1 00001000 　　　　　　　　　　　　　↑ 　　　　　　　　　　「桁あふれ」ビットは別扱い 必要なら、この答えの８を−２４８と見てもかまわない −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：８ビットＣＰＵの機能を使った符号付きの数 　前記した通り、値を「符号付き」の数として考える場合は、正負を判定させるときに、前出の「サインフラグ」といった様な“ＣＰＵが持つ判定機能”を使えます。８ビット相当の十進数で考えると、 　８ビット符号付の数の循環 　・・−４　−３　−２　−１　　０　　１　　２　　３　　４・・ ・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 　・・・・・−１２７　−１２８←→１２７　１２６・・・・・・・ 　となります。この様にＣＰＵの判定機能を利用する場合は、最小値と最大値の繋がる場所が０の位置ではなく、−１２８と１２７の間になります。数を足していって１２８、あるいは引いていって−１２９（１６ビットで考えるなら３２７６８、−３２７６９）になると正負逆転して値が飛ぶので注意が必要です。正の方向なら１２７までは正で、１２８からは負です。負の方向なら−１２８までは負で、次は１２７に飛びます。 ８ビット「符号付き」の数のグラフ 増やしていくと→　　　　←減らしていくと　 　　　127　　　　 127　　　　 127 　　／　　　　　／　　　　　／ 　／　　　　　／　　　　　／ 0／　　　　 0／　　　　 0／ 　　　　　／ 　　 　　／ 　　　　／　 　　 　／ 　　　／　　 　　 ／ 　　 -128　　　　 -128 　しかしこれも、ＣＰＵの判定ではそうなるだけで、プログラム（を書いた人）しだいで、正負どちらの値としても利用できるわけです。「符号付き」の数としてＣＰＵに正負を判定させて、次にその同じ数を「符号なし」の数として扱っても構わない訳です。 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 参考：二進数の小数 　十進数は１／１０すると桁が下がります。小数点以下でも同じです。１の１／１０が０．１で、０．１の１／１０が０．０１です。 　　１０００─┐ 　　　　　　１０分の１ 　　　１００←┤ 　　　　　　１０分の１ 　　　　１０←┤ 　　　　　　１０分の１ 　　　　　１←┤ 　　　　　　１０分の１ 　　　０．１←┤ 　　　　　　１０分の１ 　　０．０１←┤ 　　　　　　　： 　二進数は１／２すると桁が下がります。小数点以下でも同じです。二進数１の１／２が０．１で、０．１の１／２が０．０１です。 　　１０００─┐ 　　　　　　　２分の１ 　　　１００←┤ 　　　　　　　２分の１ 　　　　１０←┤ 　　　　　　　２分の１ 　　　　　１←┤ 　　　　　　　２分の１ 　　　０．１←┤ 　　　　　　　２分の１ 　　０．０１←┤ 　　　　　　　： 　それだけの事なのですが、二進数のままでは人間に理解しづらいので、十進数に変換したい場合が多々有ります。 　例）二進数の小数を十進数にする方法 　方法その１．桁の重みを足す 　二進小数　　　　　0. 1 1 1 1 1 1 1 　十進で桁の重み　　 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 　　　例）二進数１０．１１を十進数にする 　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　０　　　０．１　　　０．０１ 　　　　十進での桁の重みを足す　２　＋　０　＋　０．５　＋　０．２５ 　　　　答え　　　　　　　　　　２．７５ 　二進数の小数点以下の桁の重みを十進数で表すと半端になって、数が小さくなるほど端数が増えますので、二進数の小数点以下のどの桁が十進で幾らであるか、覚えるのが大変です。二進小数の桁の重みを足して十進小数にするのは、一見簡単にみえて、その実あまり上手くない方法かもしれません。 　方法その２．整数と見なして十進数を求め、小数以下の桁数分２で割る 　　　例）二進数１０．１１を十進数にする 　　　　整数と見なすと１０１１で、十進なら１１ 　　　　小数以下は２桁なので２×２＝４ 　　　　１１÷４＝２．７５　　答えは２．７５ 　この方法なら、人間様にも比較的簡単に計算できそうです。逆に十進小数から二進小数に変換したい場合は、下記のようにします。 　　　例）十進数の２．６２５を二進数にする 　　　　整数部と小数部に分ける　２　　　　．６２５ 　　　　小数部だけを２倍する　　　　　　１．２５ 　　　　　　　　〃　　　　　　　　　　　０．５ 　　　　　　　　〃　　　　　　　　　　　１．０ 　　　　小数部が０になったので、　この列↑を上から並べると１０１ 　　　　最初に分けた整数部を二進数にすると１０で、小数部と組み合わせると 　　　　答えは１０．１０１となる。 　なお、十進小数から二進小数へは、綺麗に変換出来ない場合が多々有ります。例えば十進小数の０．１を幾ら２倍しても小数部は０になりませんので、二進変換すれば無限小数（循環小数）になってしまいます。このような二進数と十進数との“変換誤差”について、コンピュータでは最初から誤差が出ないようにＢＣＤ（Binary Coded Decimal）＝ 二進化十進数という数の表現方法を使って二進の計算回路上で十進法計算する場合が多いようです。 　いずれにしてもコンピュータでは、計算で一度に扱える桁に限度がありますから、桁の大きな数はある程度で丸めてしまう＝“丸め誤差”は必ず出るわけです。 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ●　ちょっと脱線。コンピューターは人工無脳であるか？ 　前々節から何か計算の例を出す度に、「桁あふれ」ビットを上位に足すとか、別扱いとか、それも数えるのだとか、毎回違うことを書いていて、疑問に思われる方も多いと思います。実はこれもコンピュータ（ＣＰＵ）のおバカなところで、その計算によって「桁あふれ」ビットの扱いを変えなければならないのに、それはプログラム（を書く人）に任されているのです。あるいは、各種類の計算用に一々別の回路を持つ数値計算専用のＣＰＵを、ＣＰＵ内に組み込んであったりします（よね？）。 　そんな理由で、アセンブリ言語では、或る計算で使う値の範囲を予め全部想定して、「桁あふれ」ビットの扱い方も含めて、間違った計算をしないようにプログラミングします。高級言語だと、その言語を使う普通のプログラマーがそんなことを意識せずに数学っぽい数式を書いて計算して（できる限り）正しい結果が出るように、言語を作る偉い人が物凄く考えて作ってある訳です。 　ＣＰＵは、その計算した数値が正か負かも知らないし、一々その時に的確に指示しなければ、往々にしてちゃんと足し算することすら出来ません。コンピュータは、優秀な知能も持っていなければ、愚か者でもありません。「♪〜良いも悪いもリモコン次第、鉄人、鉄人何処へ行く、ビューンと飛んでく鉄人２８号」ならぬ、「良いも悪いもプログラマーしだい」な、単純明解な“機械”なのです。（えっ「貴方、年いくつなんですか？」って、いや確か１９９０年代後半の再放送ですよ、見たのは。） −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 脱線の脱線、そのアルゴリズムはホントに手順が少ないのか？ 　高級言語で「こうしてこうすると、手順が減って速いです。」と、アルゴリズムの入門書等に書いてあって、確かにその高級言語では、文量や手順が減っていて速そうなのですが、アセンブリ言語レベルで考えた時に、ホントに速くなるのかどうか、微妙な感じのって在るのです。その１文の条件判断を入れるのに、機械語ならこれだけの手間が要るなぁとか、メモリーを確保して読み書きするとか考えると、ホントに速くなってるのかなぁ？　下手すると遅くならないかぁ？って・・・ 　まあ、機械語の名人達人が高級言語を作るのでしょうから、私などが考えることすら及びもつかない、凄く効率的な方法で機械語を組んであるのでしょうし、それを理論通りに高級言語でプログラミングすれば、やっぱり速くなるのでしょうが、万一を考えて、アルゴリズムを考えた時はプログラム文や理論だけに寄らず、一々実際にコンパイルしてみて時間を計って比べた方が良いかもしれません。現行ＰＣなら、少々のソース変更で速くなったかどうか、体感では分からない事も多いでしょうから、ちゃんとタイマーで計って比べてみるのです。 　もしかすると、そういった意味での誤解が無いのは、アセンブリ言語だけかもしれません。 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ●　まとめと、コンピュータによる悟り 　まとめ 　　０．機械に数を扱わせるには二進数が最適 　　１．コンピュータ（ＣＰＵ）は全てを２値で符号化して二進数として扱う 　　２．ＣＰＵが計算する際には、正の数と負の数を特に区別しないで 　　　　全く同じ演算回路で扱っている 　　３．もしＣＰＵ自身に、扱う数に正負の符号を付けさせるなら、そのＣＰＵの 　　　　ビット数の最上位の桁を 0 ＝正の符号、1 ＝負の符号とする 　　４．ＣＰＵが何か計算した結果、値がマイナスになったとしても、 　　　　それが負の数か、あるいは正の数か、ＣＰＵでは区別していない 　　５．コンピュータ上の値の正負は、ＣＰＵが何と言おうが一々人間様が決める 　たったこれだけの事を説明しようとして、随分とクドクドした長文に成ってしまいました。私も未熟よのう、フッフッフ。 　「コンピュータの任意の数値は、プラスでありマイナスである。その数値がプラスであるかマイナスであるかは、プログラムを書く人が見なす」のでした。上手く考えたものです。考えたというか「あっ！　マイナスなんて、そう見なしたらイイだけジャン」と「はたと気づいた」でしょうか？　でも、同じ物が見方によって正負１８０度逆転するって、この人間世界そのものではないですか？ 　ワレワレ「奴らは悪魔の政権だから、偉大なるワレワレが爆撃して破壊する！」 　私「えーと、悪魔の政権は爆撃される方ですか？　爆撃する方ですか？」 　コンピュータ「任意です」 　しかも、コンピュータの「ビット数で取る最小値と最大値は連続」していて「始まりの０から一歩一歩、最大値まで進んだら、また０に戻る」のです。 　「驕る平家は久しからず」、ピラミッドを作ったエジプト王朝も、神聖ローマ帝国も、蒙古もナポレオンも、今は歴史の彼方です。日本に軍事独裁政権を建てた（というか、上手く政権を横取りした）徳川江戸幕府も、最後は一方的に西軍に敗れ去りました。 　栄華を極めたかに見えた後は、真っ直ぐに、急速に衰退の坂道を下り、最後に壊滅してしまうのです。これから逃れた人間の歴史は未だ有りません。今現在、繁栄していると驕り高ぶった振る舞いをしている連中は、明日の敗者でしょう。そして、また新しい世界が興こるのです。月は満ちて必ず欠け、また新たな月が満ち、太陽は昇ると必ず沈み、また新たな陽が昇るのです。 　コンピュータで扱う正と負の数を考えるだけで、こういう事が見えてくる・・・何事も一心に一筋に勤めれば、知らずに極め、おのずと道を「悟る」ように、コンピュータの言葉 ≒ アセンブリ言語を極めることは、この世の悟りを開く事なのかも知れませんネ。（そうなのか(^^;)？） 　この文章の参考にした本：『Ｚ８０マシン語秘伝の書』日高 徹 著 　　　　　　　　　　　　　『PROGRAMING THE Z80 THIRD EDITION』Rodnay Zaks 著 　＊　おことわり　＊ 　この文章では、便宜的にプログラミング言語のアセンブリ言語（Assembly language）をＣＰＵの言葉である機械語と同じものとして説明させていただきました。ＣＰＵの言葉 ＝ 機械語の命令は、例えば８ビットＣＰＵですら２進数を８桁から３２桁も並べた符号なので、人間には凄く読み辛く、普通はとても覚えきれません。それを短い英単語風にしたものがアセンブリ言語で、機械語の命令に１対１で対応しています。 　例、Ｚ８０ＣＰＵでＡレジスタ（ＣＰＵ内の記憶メモリの一つ）に１０を足す命令 　　　機械語　　　　・・・　11000110 00001010 　　　アセンブリ言語・・・　ADD A,10 　機械語そのままよりは、遥かに覚えやすいでしょ？　私が考えたんじゃないけど 余談：「アセンブリ言語」と、謎の言葉“アセンブラ言語” 　ＩＰＡ（情報処理推進機構）の基本情報処理技術者試験にＣＯＭＥＴUという架空のコンピュータ用のＣＡＳＬUという言語を使うものがあります。「試験で使用する情報技術に関する用語・プログラム言語など」というＩＰＡの試験資料の「別紙１　アセンブラ言語の仕様」によると「ＣＡＳＬUはＣＯＭＥＴUのためのアセンブラ言語である」とあります。これ、誤解と混乱を招いていると思います。 　ＣＰＵの機械語に一対一で対応した「言語」について、私の読んだ４冊のＺ８０に関する洋書、広辞苑や英語の辞書、ネットの検索でも出てくるのは「Assembly language」ばかりです。その英語の音を使って日本語に訳すなら「アセンブリ言語」でしょう。つまり、ＣＰＵの機械語に一対一で対応した「言語」をプログラミング言語の一種として一般化して呼ぶのなら「アセンブリ言語」です。当然に意図する意味も正確で、日本人に言い辛い／意味的に理解し辛いわけでもありません。 　実際のところ、ＪＩＳが“アセンブラ言語”という用語を使っていて、ＩＰＡの試験もそれに準拠しているそうで、またＣＡＳＬ以外でもＣＰＵの機械語に一対一で対応した「言語」を“アセンブラ言語”とする入門書は“少数派”ながら存在していますし、かつて海外で“Assembler language”という言い方をした人や本があったのかもしれませんが、上記の通り“Assembler language”は、現在ネット検索しても出てこない言葉です。 　コンピュータの世界で Assembler というのは「Assembly language」を機械語に翻訳するソフトの事で、「Assembly language」つまり「アセンブリ言語」は、アセンブラが無くとも人力で機械語に翻訳できますし、Ｃ言語とＣコンパイラが別物であるように、プログラミング言語とそれで書いたソースを機械語に変換するソフトは別物ですからネ。 　というわけで、政府の機関が“アセンブラ言語”という誤解を招く用語を用いているのはいかがなものでしょうか？ 　（さらに資料にある“プログラム言語”という言い方も、原語は「programming language」なので、音訳の日本語なら「プログラミング言語」ですよネ？　もしかすると１９６０〜７０年代の怪しい音訳（というか和製英語？）をそのまま使っているとか？？）