【随伴】

定義 （随伴）
\[ \xymatrix{ \mathscr{A} \ar@<0.5ex>[r]^-F & \mathscr{B} \ar@<0.5ex>[l]^-G } \] を圏と関手とする．$F$が$G$の左随伴（left adjoint）である。または$G$が$F$の右随伴(right adjoint)（$F\dashv G$と表す）
$\overset{def.}{\iff}$.任意の$A\in \mathscr{A}，B\in \mathscr{B}$に対して
\[ \mathscr{B}(F(A), B)\cong \mathscr{A}(A, G(B))\ \cdots\ (1) \] が自然に成り立つ．
$\overset{def.}{\iff}$.任意の$A \in \mathscr{A}，B\in \mathscr{B}$に対して同型射（どちらの向きもバーで表すことにする） \[ \xymatrix@C=25pt@R=2.8pt{ \mathscr{B}(F(A), B) \ar[r]^{\sim} & \mathscr{A}(A, G(B)) \\ g \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & \bar{g} \ar@{(-}[u]\\ \bar{f} & f \ar@{|->}[l] } \]
が存在し, 次の自然性の公理をみたす :
\[ \overline{\left(F(A)\overset{g}{\longrightarrow}B\overset{q}{\longrightarrow}B'\right)}=A\overset{\bar{g}}{\longrightarrow}G(B)\overset{G(q)}{\longrightarrow}G(B'), \] \[ \overline{\Big(A'\overset{p}{\longrightarrow}A\overset{f}{\longrightarrow}G(B)\Big)}=F(A')\overset{F(p)}{\longrightarrow}F(A)\overset{\overline{f}}{\longrightarrow}B. \]
また, $\bar{g}$ を $g$ の転置（transpose）といい, $F$ と $G$ の間の随伴（adjunction）とは自然性の公理をみたす$(1)$ の同型の選択のことをいう.
（「コロちゃんぬ」さんのブログより。（随伴はあらゆるところに現れる）とある。
「圏論の道案内」は定義8.1、「ベーシック圏論」は定義2.1.1。）
随伴を
\[ \xymatrix{ \mathscr{A} \ar@<1.1ex>[r]^F_\bot & \mathscr{B} \ar@<1.1ex>[l]^G } \] のようにも表す.


$F$が$G$の左随伴であるとは、射$F(A)\to B$を与えることと射 $A\to G(B)$ を与えることが本質的に同じである。
「ベーシック圏論」の解説では
「(1)における射 $F(A) \to B$ と $A \to G(B)$の間の対応を、どちらの向きも水平な上線で 表すことにする: \[ \xymatrix{ \big( F(A) \ar[r]^{g} & B \big) \ar@{|->}[r]^{} & \big( A \ar[r]^{\bar{g}} & G(B) \big), \\ \big( F(A) \ar[r]^{\bar{f}} & B \big) \ar@{<-|}[r]^{} & \big( A \ar[r]^{f} & G(B) \big). } \] したがって $\bar{\bar{f}} = f$ かつ $\bar{\bar{g}} = g$. となる。
$\bar{f}$ は$f$の転置（transpose）とよばれる（$g$についても同様）。
自然性の公理は、任意の$g$と$q$について、

\[ \overline{\Bigl(F(A) \overset{g}\to B \overset{q}\to B'\Bigr)} \quad = \quad \Bigl(A \overset{\bar{g}}\to G(B) \overset{G(q)}\to G(B')\Bigr) \]
（すなわち$\overline{q \circ g} = G(q) \circ \bar{g}$）と任意の$p$と$f$について
\[ \overline{\Bigl(A' \overset{p}\to A \overset{f}\to G(B)\Bigr)} \quad = \quad \Bigl(F(A') \overset{F(p)}\to F(A) \overset{\bar{f}}\to B\Bigr) \]
という二つからなる。」とかいている

随伴の続き

単位と余単位からみた随伴

（「ベーシック圏論」６０頁）

随伴 \[ \xymatrix{ \mathscr{A} \ar@<1.1ex>[r]^F_\bot & \mathscr{B} \ar@<1.1ex>[l]^G } \]

を考える。各$A\in \mathscr{A}$について、射 \[ \Big(A\overset{\eta_{A}}{\longrightarrow}GF(A)\Big)=\overline{\Big(F(A)\overset{1}{\longrightarrow}F(A)\Big)}. \] があり、双対的に、各$B\mathscr{B}$について、射 \[ \Big(FG(B)\overset{\varepsilon_{B}}{\longrightarrow}B\Big)=\overline{\Big(G(B)\overset{1}{\longrightarrow}G(B)\Big)}. \] がある。これらはそれぞれ随伴の単位(unit)余単位(counit)とよばれる自然変換
\[ \eta:1_{\mathscr{A}}\to G\circ F\ ,\ \varepsilon:F\circ G \to 1_{\mathscr{B}} \] を定める。随伴を$< F,G, \eta,\mu >$と表すこともある。

（６０頁、訳註に）$\eta , \varepsilon$が自然変換であることを、確認すべきとあったので・・・

各$A,A^{\prime} \in \mathscr{A}$について
\[ h:A {\longrightarrow}A^{\prime} \] とすると
\[ \xymatrix{ A \ar[r]^{h} \ar[d]_{\eta_{A}} & A^{\prime} \ar[d]^{\eta_{A^{\prime}}}\\ GF(A) \ar[r]_{GH(h)} & GF(A^{\prime}) } \] を可換である（$\eta_{A'}\circ F(h)）=GF(h)\circ\eta_A$より)
これは \[ \xymatrix{ 1_{A}(A) \ar[r]^{1_{A}(h)} \ar[d]_{\eta_{A}} & 1_{A^{\prime}}(A^{\prime}) \ar[d]^{\eta_{A^{\prime}}}\\ GF(A) \ar[r]_{GH(h)} & GF(A^{\prime}) } \] とかけて可換である。自然変換の定義から$\eta:1_{\mathscr{A}}\longrightarrow GF$
は自然変換であることがわかる。$\varepsilon:F\circ G \to 1_{\mathscr{B}}$も双対性からわかる。

戻る>