曲線座標系 

１. 一般相対性理論の基本原理

一般相対性理論は二つの原理を基礎としている。一つは等価原理であり、もう一つは一般相対性原理である。

(1) 等　価　原　理

加速度系で感じられるいわゆる慣性力と万有引力とは本質的に区別出来ないというのが等価原理である。慣性力とは列車が動き始める時、体が後ろに傾いたり、自動車や電車が曲る時外側に引っ張られる様なみかけの力の事である。加速度と重力が同等なら慣性質量と重力質量は同等である事になる。

(2) 一般相対性原理

「全ての物理法則はいかなる座標系でも（慣性系、加速度系、その他任意の座標系）同じ形式で表す事ができる。」というのが一般相対性原理である。

２. 極　座　標

特殊相対性理論では基底ベクトル及び基底一形式は至る所で一定であった。しかし一般相対性理論の曲った空間、重力の場ではそれらは場所によって異なる為、必然的に曲線座標系を考える事になる。曲線座標系として最も簡単な二次元の極座標をデカルト座標より変換する事を調べる。

デカルト座標（Ｘ，Ｙ）と極座標（ｒ，θ）との間には次の関係がある。
　　ｒ＝（Ｘ²＋Ｙ²） ^1/2　，　θ＝ｔａｎ^-1（Ｙ／Ｘ）
　 Ｘ＝ｒcosθ　　　　　，　Ｙ＝ｒsinθ

　 【ベクトルの成分の変換】


【一形式の成分の変換】
Λ^α'_β と （Λ^α_β'）^T はお互いの逆である 。（Ｔは転置行列を表す）　特殊相対論におけるローレンツ変換を表す行列は対称であり、その転置行列はもとの行列に等しかったが、一般の座標変換では対称でない。二つの行列の積は
　　　

第二の等号の右辺の式は合成関数の微分の規則より成り立つ。
今、座標変換として二次元の極座標を考えたが、ｒをξに、θをηに置き換えた一般の座標変換でも Λ^α'_β と Λ^α_β' は成り立つ。（第一等号の右辺の式 まで）

３. 極座標の基底

(1) ベクトルの基底

極座標へのベクトルの基底の変換は次の式に従う。
　　　◆　_β' ＝ Λ^α_β'
 r ， _θ  は
　　　 _r ＝ Λ^x_{r  x}＋ Λ^y_{r  y} ＝   _x＋  _y ＝ ｃｏｓθ  _x＋ｓｉｎθ  _{y
　　　 θ} ＝ Λ^x_{θ  x}＋ Λ^y_{θ  y} ＝   _x＋  _y ＝ −ｒｓｉｎθ  _x＋ｒｃｏｓθ  _y
極座標基底ベクトルからデカルト座標基底ベクトルへの変換行列は
　　　
｜ _r｜＝ １　，  _r・ _θ ＝  ０　， ｜ _θ｜²＝  _θ・ _θ＝ ｒ²
各点での基底ベクトルを図に描くと

 _rの長さは一定であるが、 _θの長さは原点から離れるほど長くなる。

(2) 一形式の基底

極座標での一形式の基底の変換は次の式に従う。
　　　◆　 ^β' ＝  Λ^β'_α  ^α
 r ， ^θ  は
　　　 ^r ＝ Λ^r_x  ^x＋ Λ^r_y  ^y ＝   ^x＋  ^y ＝ ｃｏｓθ  ^x＋ｓｉｎθ  ^{y
　　　 θ} ＝ Λ^θ_x  ^x＋ Λ^θ_y  ^y ＝   ^x＋  ^y ＝ −ｓｉｎθ  ^x＋ｃｏｓθ  ^y
極座標基底一形式からデカルト座標基底一形式への変換行列は
　　　
｜ ^r｜＝ １　，  ^r・ ^θ ＝ ０　， ｜ ^θ｜＝ 
 ^θ の長さは原点から離れるほど短くなる。

４. メトリックテンソル

メトリックの極座標での成分は次の式により求まる。
　　　◆　ｇ_α'β' ＝ ｇ（ _α'， _β'）＝ _α'・  _β'
前節の結果より
　　　ｇ_rr ＝  _r・ _r ＝ １　 ，　ｇ_rθ ＝  ｇ_θr ＝   _r・ _θ  ＝ ０　，　ｇ_θθ ＝   _θ・ _θ ＝  ｒ²　　
従ってｇの成分を次の様に書く事が出来る。
　　　
【線要素】
【一形式からベクトルへの写像】

５. ベクトルの微分

３. (1)の ベクトルの基底でみたように、極座標の基底ベクトルが至る所で一定でないという事は一般のベクトルを微分する時、成分の微分だけでなく基底ベクトルも微分しなければならない事を意味する。

(1) 基底ベクトルの微分

 _xと  _yは一定のベクトル場であるから、次の式が容易に導かれる。
　　　  _r ＝  （ ｃｏｓθ  _x＋ｓｉｎθ  _y ） ＝ ０　　　　　　　（ ３. (1)より ） 　 　　　  _r ＝  （ ｃｏｓθ  _x＋ｓｉｎθ  _y ） ＝ −ｓｉｎθ  _x＋ｃｏｓθ  _y ＝    _{θ
　　　  θ} ＝  （ −ｒｓｉｎθ  _x＋ｒｃｏｓθ  _y ） ＝ −ｓｉｎθ  _x＋ｃｏｓθ  _y ＝    _{θ
　　　  θ} ＝  （ −ｒｓｉｎθ  _x＋ｒｃｏｓθ  _y ） ＝ −ｒｃｏｓθ  _x−ｒｓｉｎθ  _y ＝ −ｒ _r

(2) 一般のベクトルの微分

一般のベクトル  は  ＝ Ｖ^α _α である。座標軸による微分は
　　　◆　 ＝   _α ＋ Ｖ^α
Ｘ^β が極座標なら
　　　 ＝   _ｒ ＋    _θ ＋  Ｖ^r  ＋ Ｖ^θ 
　　　 ＝   _ｒ ＋    _θ ＋  Ｖ^r  ＋ Ｖ^θ 

６. クリストッフェル記号

　はベクトルだから基底ベクトルの線形結合として書くことが出来る。 その時の成分をクリストッフェル記号と言われる非常に便利な記号 Γ^μ_αβ で表す。 すると
　　　◆　 ＝ Γ^μ_αβ  μ
Γ^μ_αβ の解釈はベクトル  のμ番目の成分という事である。
第一番目の添字αは微分される基底ベクトルを表し、第二番目の添字βはどの座標で微分するかを表し、第三番目の添字μはその微分されてできたベクトルの成分を表す。 極座標でのそれらは５.(1)で既に計算されている。
　　　  _r  ＝ ０　　　　　　から　 Γ^r_rr ＝ ０　，　 Γ^θ_rr ＝ ０ 　 　　　  _r  ＝    _θ　　 から　  Γ^r_rθ ＝  ０　，　Γ^θ_rθ ＝ 
　　　  _θ ＝    _θ　　 から　 Γ^r_θr ＝  ０　，　Γ^θ_θr ＝ 
　　　  _θ ＝ −ｒ _ｒ 　　 から　 Γ^r_θθ ＝ −ｒ　，　Γ^θ_θθ ＝  ０

７. 共　変　微　分

一般のベクトル  の微分（５. (2)参照）に於いて、右辺の第二項の添字α は上下にあるので和をとるダミーの添字でこれを別の添字に置き換える事が出来る。αをμに置き換えると
　　　 ＝   _α ＋ Ｖ^μ 　　　　　・・・・・・・・・・　（１）
クリストッフェル記号の定義より
　　　 ＝ Γ^α_μβ  α 　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　（２）
　　　 ＝   _α ＋ Ｖ ^μ Γ^α_μβ  α  ＝ （   ＋ Ｖ^μΓ^α_μβ ）  _α　　・・・・・　（ ３）
ここで次の様な新しい記号を導入する。
　　　◆　Ｖ^α_;β ＝ Ｖ^α_，β ＋ Ｖ^μΓ^α_μβ　　　・・・・・・・・・・　（４）
すると（３）の式は非常に簡単な式で表現できる。
　　　 ＝ Ｖ^α_;β  α

Ｖ^α_,β は変化する座標系についてのベクトル  の見掛けの変化で、 Ｖ^μΓ^α_μβ は真の変化を表す為の補正項である。（４）をベクトル  の共変微分と呼び、▽_β と表す。その成分は
　　　◆　（▽_β）^α ＝ Ｖ^α_;β
デカルト基底ではこの成分は単に Ｖ^α_，β である。しかし曲線基底ではベクトルの微分も考慮に入れなければならず、式（４）のクリストッフェル記号が関与する座標系での▽_βの成分は Ｖ^α_;β である。

Ｖ^α_;β はある任意のベクトルをベクトル  に写像する （１，１） テンソル（ 付録：共変微分はテンソルを参照 ）として働く。「テンソル解析　５. テンソルの縮約」の例でいうと、Ｖ ^α_;β がＴに、ある任意のベクトルがＵに、   がＷに相当する。

【共変微分の意味】

【スカラーの共変微分】
　　 スカラーは基底ベクトルに依存しないからその共変微分は偏微分と同じであり、その勾配である。即ち
　　　　　▽_βΦ ＝ ∂Φ／∂Ｘ^β

【一形式と高階のテンソルの共変微分】

８. 発散とラプラシアン

デカルト座標ではベクトルＶ^αの発散はＶ^α_,αである。 これは、Ｖ^α_,βの二つの添字を縮約して得られるスカラーである。縮約は座標系に依存しない操作だから、 の発散は別の座標系でも同じ値を取る。即ち次式が成り立つ。
　　　◆　Ｖ^α_,α ＝ Ｖ^β'_;β'　・・・・・・・・・・　（１）
【上の式の証明】

極座標での発散 （＝Ｖ^β'_;β'） を計算してみる。下記の式では添字にプライムが付いてないが 添字は極座標を表す。
　　　Ｖ^α_;α ＝  ＋ Γ^α_μαＶ^μ
６. クリストッフェル記号から
　　　Γ^α_ｒα ＝ Γ^ｒ_ｒｒ ＋ Γ^θ_ｒθ ＝ 　，　Γ^α_θα ＝ Γ^ｒ_θｒ ＋ Γ^θ_θθ ＝ ０
従って
　　　Ｖ^α_;α ＝  ＋  ＋ Ｖ^ｒ ＝ （ｒＶ^ｒ ） ＋ Ｖ^θ　・・・・・・・・・・　（２） 次に勾配の発散を計算してみる。スカラー場Φの勾配は▽Φである。その発散は ▽・▽Φである。演算子▽・▽（＝ｄｉｖ ▽）をラプラシアンと言い、記号△で表す。
　　　◆　△ ＝ ▽・▽ ＝ ▽²
勾配は一形式である。一形式の発散を求めるには、一形式を、メトリックを使ってベクトルに直さなければならない。その ベクトル勾配の成分は （Φ_,ｒ ，Φ_,θ／ｒ²）　である。 （４. メトリックテンソル　【一形式からベクトルへの写像】を参照）
この成分　Ｖ^ｒ＝Φ_,ｒ と Ｖ^θ＝Φ_,θ／ｒ² を（２）の式に代入すると
　　　▽・▽Φ ＝ ▽²Φ ＝  （ｒ ）＋  
　　　　　　　　　　　　　　＝   ＋  ＋ 
これが平面極座標でのラプラシアンである。これは次の平面デカルト座標でのラプラシアンに等しい。
　　　▽²Φ ＝  ＋ 
【証明】

９. クリストッフェル記号とメトリック

メトリックは基底ベクトルの内積で表されるテンソルで、クリストッフェル記号は基底ベクトルを微分した時のベクトルの成分でどちらも基底ベクトルに関係しているので、メトリックとクリストッフェル記号に何らかの関連があるはずである。メトリックは二階の共変テンソルだから、メトリックの共変微分は７. 共変微分の（５）の式より次の様にになる。
　　　▽_βｇ_μν ＝ ｇ_μν;β ＝ ｇ_μν,β―ｇ_ανΓ^α_μβ―ｇ_μαΓ^α_νβ　・・・・・・・　（１）
ｇ_μν ＝  ．　だから
　　　
　　　　　　　＝ Γ^α_μβ  ． ＋  ．Γ^α_νβ 　＝  ． Γ^α_μβ ＋  ． Γ^α_νβ
　　　　　　　＝ｇ_ανΓ^α_μβ＋ｇ _μαΓ^α_νβ　・・・・・・・　（２）
（１）と（２）より
　　　◆　ｇ_μν;β ＝　０　　　である事が分かる。
ｇ_αμ;β＝０ と Ｖ_α＝ｇ_αμＶ^μ より
　　　◆　Ｖ_α;β＝ｇ_αμＶ^μ_;β 　　　が成り立つ。
　　　　　（　∵　Ｖ_α;β＝ｇ_αμ;βＶ^μ＋ｇ_αμＶ^μ_;β＝ｇ_αμＶ^μ_;β 　だから　）
同様に
　　　◆　Ｖ^α_;β＝ｇ^αμ Ｖ_μ;β  　　　が成り立つ。
Ｖ_α;β ＝ｇ_αμＶ^μ_;β は別の方法で も示す事が出来る。それはテンソル方程式がある座標系で成り立つなら、あらゆる座標系でも成り立つというテンソルの性質によるものである。それを示す。
先ず任意の座標系で成り立つ次の式から始める。
　　　Ｖ_α' ＝ ｇ_α'μ'Ｖ^μ'　・・・・・・・ 　（３）
デカルト座標では
　　　ｇ_αμ ＝ δ_αμ　，　Ｖ _α ＝ Ｖ^α　−−−＞　Ｖ_α,β ＝ Ｖ ^α_,β
またデカルト座標ではクリストッフェル記号が消えるから
　　　Ｖ_α;β ＝ Ｖ_α,β　，　Ｖ^α_;β ＝ Ｖ ^α_,β
従って
　　　Ｖ_α;β ＝ Ｖ^α_;β
が結論される。またデカルト座標ではｇ_αμ ＝ δ _αμ であるから次の式が成り立つ。
　　　Ｖ^α_;β ＝ ｇ_αμＶ ^μ_;β
よってデカルト座標では
　　　Ｖ_α;β＝ｇ_αμＶ^μ_;β
この式はテンソル方程式であり、一つの座標系で成り立てば、あらゆる座標系で成り立つので次の式が得られる。
　　　Ｖ_α';β'＝ｇ_α'μ'Ｖ^μ'_;β'　・・ ・・・・・　（４）
（３）の式を β' で共変微分すると
　　　Ｖ_α';β'＝ｇ_α'μ';β'Ｖ^μ' ＋ｇ_α'μ'Ｖ^μ'_;β'　・・・・・・・　（５）
（４）と（５）の式より ｇ_α'μ';β'＝０ である事が分かる。この式は 曲った（リーマン）空間でも成り立つ。

【メトリックからクリストッフェル記号の計算】

付録：共変微分はテンソル

ベクトルの微分は一般にテンソルではないが、基底ベクトルもいっしょに微分した共変微分はテンソルである。その事を略解で示す。
プライムの付いた座標系の値をプライムの付いてない座標系の値に変換する式は
　　　A_α＝Λ^μ'_αA_μ'　，　B^β＝Λ^β _ν'B^ν'
変換行列は
　　　Λ^μ'_α＝　，　Λ^β_ν'＝
Ｖ^α_;β ＝ Ｖ^α_，β ＋ Ｖ^γ Γ^α_γβ　　　・・・・・・・・・・　（１）
Ｖ^α_，β＝Λ^α_ν'Λ^μ'_β  ＋ Λ^μ'_βV^ν' 　　　・・・・・・・・・・　（２）
Ｖ^γ Γ^α_γβ＝Λ^α_ν'Λ^{μ '}_βＶ^γΓ^α_γβーΛ^{μ '}_βV^ν' 　　　・・・・・・・・ ・・　（３）
（２）と（３）より Λ^μ'_βV^ν'  の項は消えて
Ｖ^α_;β＝Λ^α_ν'Λ^μ'_β（  ＋ Ｖ^γ Γ^α_γβ ）＝ Λ^α_ν'Λ^μ'_βＶ^ν'_;μ'
　　　∴　Ｖ^α_;βは変換則を満足するからテンソルである。