アインシュタイン方程式 

１. ニュートン力学での重力場�T

(1) ポテンシャルの定義

ベクトル場Ｆに対してＦ＝▽φ（＝勾配ベクトル）となるスカラー場φが存在する時、φをＦに対するポテンシャル関数又は単にポテンシャルという。二つの質点ｍ、Ｍ間に働くニュートンの 万有引力の方程式は 　　　　　　G：万有引力定数　　ｒ：二つの質点間の距離 重力αは 　　　　　（ 地球では９．８ ｍ/ｓｅｃ² ） 万有引力のポテンシャルφは 　　　◆　　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（１） 　　　◆　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（２）　　　　　　　　　　 となる。

(2) 重力場の方程式

ニュートン力学に於ける重力場の方程式（＝ラプラス・ポアソンの方程式）は次の様なものである。 　　　◆　△φ＝▽²φ＝ φ ＝４πＧρ　　ρ：質量密度　　　・・・・・　（３）
上の式は相対論では、アインシュタイン方程式（９）に相当する。 【上の式の導出】
逆に式（３）が与えられた時も、ガウスの発散の定理を適用して式（２）、式（１）を導く事が出来る。
即ち式（３）の▽²φ＝４πＧρを上のガウスの発散の式に代入すると
　　　∫▽²φｄｖ＝４πＧ∫ρｄｖ＝４πＧＭ
　　　∫▽φ・n ds＝▽φ∫ds＝４πｒ²▽φ
上の二つの式より▽φが求まる。（＝式（２））それを積分すると式（１）が求まる。

(3) 運動方程式

式（２）より 　　　◆　Ｆ＝ーｍ▽φ ・・・・・・・・・・・・・・・　（４） 式（２）は加速度を表しているから、加速度のＸ方向の成分は ー∂φ／∂Ｘ （符号が負なのは、向きが逆（上向き）だからである）、一方加速度のＸ方向の成分は、Ｘを時間ｔで２回微分した量 ∂²Ｘ／∂ｔ² であるから、従って 　　　　　同様に　　,　 Ｘ→Ｘ¹　,　Ｙ→Ｘ²　,　Ｚ→Ｘ³　にそれぞれ書き換え、一つの式にまとめると 　　　◆　　　（Ｘ ⁱ_,t）_,t＋φ_,i＝０　　（ｉ＝１〜３） 　・・・・・・・・・・・　（５）
上の式は相対論では、測地線の方程式に相当する。

２. 一般相対論での重力場

ニュートン力学での重力場の方程式は１．（２）に於ける式（３）であった。一般相対論での重力場も、それと類似したもので、より一般的なものでなければならない。

(1) アインシュタイン方程式

ニュートン理論では重力場の源は質量密度ρだけで、左辺はφに対するＸ,Ｙ,Ｚの２階の微分であった。相対論的理論では（２,０）テンソルのストレスーエネルギーテンソルＴが重力場の源となり、左辺はφに相当するメトリックを２階微分した、（２,０）テンソルが左辺となる。左辺で、この条件に合致するのはリッチテンソルＲ^αβである事は明らかである。実際
　　　Ｑ^αβ＝μＲ^αβ＋νｇ^αβＲ＋Λｇ^αβ の形をした任意のテンソルは、μ,ν,Λが定数ならば、これらの条件を満足する。未知数μ,νを決めるにはＴの発散が０（＝エネルギー・運動量の保存）という性質を利用する。Ｔ^αβ_,β＝０であるが、Ｔ^αβ_;β＝０でもある。（∵　局所慣性系ではクリストッフェル記号が消え、Ｔ^αβ_;β＝０が成り立ち、それはテンソル方程式なので一般の系でも成り立つから）従って
　　　Ｑ^αβ_;β＝０ でなければならない。しかもそれは任意のメトリックテンソルについて成り立たなければならない。ｇ^αβ_;γ＝０だから
　　　（μＲ^αβ＋νｇ^αβＲ）_;β＝０ である事がわかる。（２,０）テンソルで発散が０のテンソルと言えば「曲った時空」で求めた、「アインシュタイン・テンソル」がある。その式と比べて、上の式が任意のｇ_αβに対して恒等的に成り立つためには、μ＝１,ν＝-１/２でなければならない。こうして方程式
　　　◆　Ｒ^αβ−ｇ^αβＲ＋Λｇ^αβ＝κＴ^αβ ・・・・・・・・・・・・・・・　（６） に到達した。これを「アインシュタインの場の方程式」あるいは「一般相対論の場の方程式」という。定数κとΛは未定である。左辺は時空の歪みを表し、右辺は物質の分布や運動を表す。物質が時空の歪みの原因になる又は時空の歪みが物質を生み出すと解釈できる。物質の分布と境界条件を与えたとき、時空のメトリック ｇ_αβ１０個を定める方程式である。しかしこれは求めようとする ｇ_αβについて非線形の偏微分方程式であるから厳密に解くことは難しい。
上の式に於いて、両辺にｇ_αβを掛けて、Ｒを消し、式を少し簡略化出来る。
ｇ_αβＲ^αβ＝Ｒ　，ｇ_αβｇ^αβ＝４で 、 ｇ_αβＴ^αβ＝Ｔと置くと
　　　Ｒー２Ｒ＋４Λ＝κＴ　　⇒　　Ｒ＝ーκＴ＋４Λ Ｒをアインシュタイン方程式に代入して整理すると（定数κは(3)で求める）
　　　◆　Ｒ^αβ＝κ（Ｔ^αβーｇ ^αβＴ）＋Λｇ^αβ ・・・・・・・・・・・・・・・　（７） となる。

(2) ニュートン近似

ニュートン近似とは、下記の三つの条件の下ではニュートン力学は相対論の一部として近似的に成り立つという事である。 �@重力場は弱い
　　式で表すと
　　　ｇ_αβ＝η_αβ＋h_αβ　　，　　h_αβ 《 １ �A重力場は時間的に変化しない
　　　ｇ_it,t＝ｇ_i0,0＝０　　，　　i＝１〜３ �B質点の速度は光の速さに比べて十分小さい
　　　τ ｔ　　，　　　，　 　　　τ：固有時間 上の三つの条件を、τをアフィンパラメーターとして測地線の式に適用すると、測地線の式は
　　　＋Γⁱ₀₀＝０ ｇⁱⁱ１の条件で、Γⁱ₀₀を計算 すると
　　　Γⁱ₀₀＝ーｇ_00,i＝ー ｈ_00,i となる。従って測地線の方程式は
　　　ーｈ_00,i＝０ 他方、ニュートン力学での運動方程式は ＋φ_,i＝０であった。両方の式を比べると
　　　ｈ₀₀＝ー２φ である事は、明らかである。η₀₀＝ー１だから、故に
　　　◆　ｇ₀₀＝ー（１＋２φ） ・・・・・・・・・・・・・・・　（８） となる。これがニュートン近似でのｇ₀₀の値である。

(3) 定数κの決定

κはアインシュタイン方程式が太陽系に於いて、惑星の運動を正しく記述しなければならない事から求まる。（具体的には弱い重力の場合には（＝ニュートン近似）、式（６）がラプラス・ポアソンの式（３）と一致するということから定数κを決定する）。κを(2)の ニ ュートン近似と同じ条件で（(2)の�@〜�B）、又その結果ｇ₀₀＝ ー（１＋２φ） と Γⁱ₀₀＝ーｇ_00,i＝ー φ_,i より、下記の式 でリッチテンソルＲ_αβを求める。クリストッフェル記号はΓⁱ₀₀だけ を計算すればよい。φに関して二次以上の項は無視する。（下記の式で、第二等号の第三と第四 の項は無視する。）
ｇ₁₁＝ｇ₂₂＝ｇ₃₃＝１でその他は０とする。
　　　Ｒ_αβ＝Ｒ^μ_αμβ＝Γ^μ_αβ,μー Γ^μ_αμ,β＋Γ^μ_σμΓ^σ_αβ ー Γ^μ_σβΓ^σ_αμ　　　　　
上記の条件で Ｒ_αβ を計算すると、Ｒ₀₀ だけが有効な値とな る。その値は
　　　Ｒ₀₀＝▽²φ （＝４πＧρ　式（３）よ り） 　　 となる 。 ・・・・・（a） アインシュタイン方程式よりリッチテンソルＲ₀₀を求める。ニュートン近似の条件�Bで
　　　τｔ　，　， 　　τ：固有時間 であったので、四元速度  の成分は
　　　Ｕ⁰＝１　,　Ｕ¹＝Ｕ²＝Ｕ³＝０
従って、ストレスーエネルギーテンソルＴの成分は
　　　Ｔ⁰⁰＝ρ　他は　０ 式（７）で、α＝β＝０　,　ｇ⁰⁰ｇ₀₀  １としてＲ₀₀を計算すると
　　　Ｒ₀₀＝κＴ⁰⁰＋Λｇ⁰⁰＝κρ＋Λｇ⁰⁰　　　　　　 先に、メトリックから求めたＲ₀₀（＝式（a））と比べると
　　　κ＝８πＧ　,　Λ＝０ である事が分かる。故にアインシュタイン方程式は
　　　◆　Ｒ^αβ−ｇ^αβＲ＝８πＧＴ^αβ　　又は　　Ｒ^αβ＝８πＧ（Ｔ^αβーｇ^αβＴ） 　・・・・・・・・・・　（９） となる。上の式はニュートン力学では、式（３）に相当する。

３. 距　離　化　単　位

特殊相対論に於いて、基本定数Cを１とする単位系を選んだが、同じ様に万有引力定数Ｇも普遍な定数であるから １＝Ｇ／C² と置く事が出来る。従って Ｇ＝１ となる。この単位系を距離化単位という。SI単位では　G=６.６７３x１０^-11ｍ³Kg^-1S^-2 ， 
C²＝８.９８８x１０¹⁶ｍ²S^-2 であるから
　　　１＝Ｇ／C²＝７.４２５x１０^-28ｍKg^-1　　　　Kg＝７.４２５x１０^-28ｍ
　　　１＝C⁵／Ｇ＝３.６２９x１０⁵²JS^-1　　　　　　JS^-1＝２.７５６x１０^-53　　（J=ジュール　SI単位：ｍ²KgS^-2） と単位としてのKgを消去して質量をメートルで測る事が出来る。つまり、１Kgは ７.４２５x１０^-28ｍ となる。

【ＳＩ単位のＳ（＝秒）又はＫｇを距離化単位に変換】

【距離化単位のｍをＳＩ単位のＳ又はＫｇに変換】

　SI単位と距離化単位による値の比較 　

定数 又は 変数　 　SI単位での値　　 　距離化単位での値　 説　　　　　明　　　 Ｃ　 Ｇ　 　 　ｍｅ 　ｍp 　M　・ 　M+ 　Ｌ　・ 　２．９９８ｘ１０ 8　ｍS-1 　６．６７３ｘ１０-11　ｍ3Kｇ- 1S-2 　１．０５５ｘ１０-34　ｍ2KｇS-1 　９．１１０ｘ１０-31　Kｇ 　１．６７３ｘ１０-27　Kｇ 　１．９８９ ｘ１０30　Kｇ 　５．９７３ｘ１０24　Kｇ 　３．９０ｘ１０26　ｍ2KｇS-3 　１　 　１　 　２．６１２ｘ１０-70　ｍ2 　６．７６４ｘ１０-58 　ｍ 　１．２４２ｘ１０-54　ｍ 　１．４７７ｘ１０3　ｍ 　４．４ ３５ｘ１０-3　ｍ 　１．０７ｘ１０-26 　光の速さ　 　万有引力定数　　 　プランク定数／２π　　 　電子の質量 　　 　陽子の質量　　 　太陽の質量　 　地球の質量　 　太陽の光度　　 ρ　 P　 ｇ　 L　 　１０17　ｍ-3Kｇ 　１０33　ｍ-1KｇS-2 　９．８０　ｍS-2 　１０41　　JS-1 　７．４２５ｘ１０-11　ｍ-2 　８．２６ｘ１０-12　ｍ-2 　１．０９ｘ１０-16　ｍ-1 　２．７５６ｘ１０-12 　中性子星の密度　 　中性子星の圧力　 　地球表面での重力加速度　 　超新星の光度　 太p 太pe 地p 　−１．９１ｘ１０11　ｍ2S-2 　−８．８７ｘ１０8　ｍ2S-2 　−６．７６ｘ１０7　ｍ2S-2 　−２．１２２ｘ１０-6 　−９．８７３ｘ１０-9 　−６．９６１ｘ１０-10 　太陽ポテンシャルの太陽表面での値  　太陽ポテンシャルの地球軌道での値 　地球ポテンシャルの地球表面での値

４. プランク長、時間、質量

自然界において、次元をもった三つの定数 Ｃ，Ｇ， は基本的なものと考えられている。従ってそれらの定数の組み合わせでｍだけの次元をつくると、長さの基本的な単位を与えることになり、それをプランク長さという。 G／C³ で、ｍ²の次元が得られる。従って、その平方根がプランク長になる。
　　　プランク長＝（１．０５５ｘ１０^-34ｘ６．６７３ｘ１０^-11／（２．９９８ｘ１０⁸）³）^1/2＝１．６１６ｘ１０^-35　ｍ 長さと時間の換算式は １ｍ=１０^-8／２．９９８S であるからプランク時間は
　　　プランク時間＝１０^-8／２．９９８ｘ１．６１６ｘ１０^-35＝５．３９０ｘ１０^-44S 長さと重さの換算式は １ｍ=１０²⁸／７.４２５Kg であるからプランク質量は
　　　プランク質量＝１０²⁸／７.４２５ｘ１．６１６ｘ１０^-35＝２．１７６ｘ１０^-8Kg プランクエネルギーは Ｅ＝プランク質量xＣ² より
　　　プランクエネルギー＝２．１７６ｘ１０^-8x９x１０¹⁶＝１．９６x１０⁹Kgm²S^-2＝１．２２x１０¹⁹Gev 　　　　　　　　　　　　（　１ev＝１．６x１０^-19Kgm²S^-2より　）
プランク温度は、１ev＝１．１６x１０⁴K（＝１／ボルツマン定数：１．３８x１０¹⁴エルグ／度）より
　　　プランク温度＝１．２２x１０²⁸x１．１６x１０⁴＝１．４２x１０³²K 上の方法とは別に、次元方程式を作ってその式から求める方法もある。（単位は全てＳＩ単位）
【プランク時期の質量等の物理量の計算式】

５. 弱い重力場でのアインシュタイン方程式

弱い重力場でのアインシュタイン方程式を導出する手順は次の様になる。　 (1)近似的ローレンツ変換
(2)ゲージ変換
(3)トレース反転テンソル
(4)アインシュタインテンソルの線形近似化
(5)ゲージ条件で方程式を簡単化する。
(6)弱い重力場でのアインシュタイン方程式

６. ニュートンの重力場�U

(1) ニュートンの極限

ニュートンの重力理論が成り立つのは、重力場が十分に弱くて光速度に近い速度にまで加速しない時、つまり |φ|≪１、|V|≪１ の時である。そうした状況では、一般相対論はニュートンの重力理論と同じ結果を与えなければならない。速度が遅いという事は、成分 T^αβが、|T⁰⁰|≫|T⁰ⁱ|≫|T^ij| の関係を満たす事を意味している。従って T⁰⁰＝ρ＋０（ρｖ²）で、T^αβ の他の成分はゼロとなる。式（２０）より、|ｈ⁰⁰|≫|ｈ⁰ⁱ|≫|ｈ^ij| にもなり、ｈ⁰⁰ だけが意味をもち、他の成分はゼロとなる（ α≠０、β≠０ の時　ｈ^αβ＝０ ）。こうして、主要な“ニュートン”重力場は
　　　□ｈ⁰⁰＝ー１６πρ から求まることになる。重力源が速度Vで運動することによってのみ変化する重力場では
　　　□＝▽²＋０（V²▽²） と書ける。従って、方程式は
　　　▽²ｈ⁰⁰＝ー１６πρ となる。この式をニュートンの方程式 ▽²φ＝４πρ （ １．の式（３） Ｇは距離化単位だから１ ） と比べると
　　　ｈ⁰⁰＝ー４φ である事が分かる。
　　　ｈ^α_β＝η_βμｈ ^αμ　　　　 ｈ＝ｈ^α_α＝η_αμｈ ^αμ＝４φ
　　　ｈ^αβ＝ｈ^αβー η^αβｈ であるから
　　　ｈ⁰⁰＝ｈ¹¹＝ｈ²²＝ｈ³³＝ー２φ で、他の成分はゼロとなる。よって弱い重力場での線素の式は
　　　ｄｓ²=−（１＋２φ）ｄｔ²＋（１ー２φ）（ｄｘ²＋ｄｙ²＋ｄｚ²） ・・・・・・・・・・・・・・・　（２１） になる。このメトリックによって、正しいニュートンの運動の法則が得られる事を「７. 少し曲った時空での物理」で示す。そのメトリックがアインシュタイン方程式から求められることをここで示したのだから、ニュートン重力が一般相対論の極限である事が分かる。

７. 少し曲った時空での物理

弱い重力場の下では（６. ニュートンの重力場�Uに於ける式（２１））、測地線の方程式からニュートンの運動方程式が導き出せる事を示す。 測地線の方程式でλの代わりにアフィンパラメーターとして  を使うと、質量ｘ四元速度＝四元運動量となり、質点の運動方程式は
　　　P^αP^β_,α+Γ^β_μαP^μP^α＝０　　　（Pは四元運動量） 質点は非相対論的な速度をもつから、 P⁰≫Pⁱ　， Pⁱ ０　従って
　　　P⁰P^β_,0＋Γ^β₀₀P⁰P⁰＝０ P^β_,0＝P^β なので、上の式は
　　　P⁰P^β＋Γ^β₀₀（P⁰）²＝０　---> P^β＋Γ^β₀₀P⁰＝０ 上の式の第二項の P⁰ はｍに置き換える事が出来るから
　　　P^β＋ｍΓ^β₀₀＝０ クリストッフェル記号 Γ^β₀₀ は Γ^β₀₀＝ｇ^βγ（ｇ_γ0,0＋ｇ_γ0,0ーｇ_00,γ）
β≠γ なら ｇ^βγ＝０ なので
　　　Γ^β₀₀＝ｇ^ββ（2ｇ_β0,0ーｇ_00,β） β＝０の時、運動方程式の時間成分を計算する。
β≠０の時、運動方程式の空間成分を計算する。
なお、ｄτ＝ ｄｔ  ｄｔ である。

付録１：要素が微小な行列の逆行列

Ａはｎｘｎ行列で、全ての要素が小さく |Ａ_ij| ≪ １／ｎ であるとし、Ｉ を単位行列とする。この時
　　　（Ｉ＋Ａ）^-1＝Ｉ−Ａ＋Ａ²ーＡ³＋Ａ⁴ー…　　　 ・・・・・　（a） である事を次の手順で証明する。

�@　ｎ²個の要素について、右辺の級数が絶対収束する。
 【証明】

�A　式（a）の右辺に （Ｉ＋Ａ） を掛けたものは I に なる。
 【証明】 式（a）に於いて、Ｉ→δ^α_β ，Ａ→ξ^α_,βに置き換えると
　　　Λ^α_β'＝（Λ^α'_β）^-1＝δ^α_βーξ^α_,β＋０（|ξ^α_,β|²） が成り立つ。

付録２：電磁場と重力場の比較

マックスウェル方程式を特殊相対論的に書くと、スカラーポテンシャルφと三次元ベクトルポテンシャル Ａ_iを
一形式の成分 Ｐ₀＝−φ，Ｐ_i＝Ａ_i　（ ＝（−φ，Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃） ）として考える。
電磁場に於けるゲージ変換、ローレンツ・ゲージ条件及び導かれる方程式は付録４、付録５で導かれている、即ち
　　　Ａ'＝Ａ＋▽ｆ　，　φ'＝φー ｆ　　　　　　・・・・・　ゲージ変換
　　　ｄｉｖ Ａ＋φ＝０　　　　　　　　　　　 　　　・・・・・　ローレンツ・ゲージ条件
　　　□φ＝ー４πρ　，　□Ａ＝ー４πＪ　 　　・・・・・　導かれる方程式　 ゲージ変換の式をテンソル記法で書くと
　　　φ　→　φーｆ_,t　， Ａ_i　→　Ａ_i＋ｆ_,i ローレンツ・ゲージ条件の式をテンソル記法で書くと
　　　ｄｉｖ Ａ＋φ＝０　→　▽_iＡⁱ＋φ＝∂Ｐ^μ／∂Ｘ^μ＝Ｐ^μ_,μ＝０ 以上、線形化した重力理論と電磁気学との類似点を表にまとめると
　電磁場と重力場の比較 　

ゲージ変換       ローレンツ・ゲージ条件       導かれる方程式    電磁場 　φ　→　φーｆ, t  　Ａi　→　Ａi＋ｆ, i　 Ｐμ,μ＝０ 　□φ＝ー４πρ　  □Ａ ＝ー４πＪ 重力場 　ｈαβ → ｈαβーξα,βーξβ,α　　　　　 ｈ μν,ν＝０ 　□ｈαβ＝ー１６πTαβ

　

付録３：線形近似のアインシュタインテンソル

線形近似化されたアインシュタインテンソルを求めるには、線形近似のリッチテンソルとリッチスカラー が必要であるが、それは本文で計算したように
　　　Ｒ_αβ＝（ｈ^μ_β,αμ＋ｈ^,μ_αμ,βーｈ^μ_μ,αβーｈ^,μ_αβ,μ ）＋０（ｈ²_αβ）　　（線形近似のリッチテンソル）
　　　Ｒ＝ｈ^μν_,μνーｈ^,μ_,μ　　（線形近似のリッチスカラー） となる。以上により線形近似のアインシュタインテンソル G_αβ は
　　　G_αβ＝R_αβ−η_αβR
　　　　　　 ＝［ ｈ^μ_β,αμ＋ｈ^,μ_αμ,βーｈ_,αβーｈ^,μ_αβ,μーη_αβ（ｈ^μν_,μνーｈ^,μ_,μ）］ ｈ^α_β＝ｈ^α_βーη^α_βｈ　，　ｈ_αβ＝ｈ_αβーη_αβｈ　だから
　　　 　　　 上記の式に於いて、�A、�C、�Dは打ち消しあってゼロになる。 　　　  だから、�E、�F、�H、�Iは  になる。 　　　 �@の  は下記の二つの式より  に等しい。 　　　　，　 以上により、線形近似のアインシュタインテンソルは 　　　

付録４：電磁ポテンシャル、ゲージ変換

ポテンシャルというのは、潜在的な可能性があるという意味で、そこに物体が置かれた時初めてエネルギーとして顕在化する物理量の事である。重力場で重力ポテンシャルが存在した様に、電磁場に於いても電磁ポテンシャルという、より基本的な物理量が存在する。

(1) 電磁ポテンシャル

真空中の電場 Ｅ と磁場 Ｂ に対するマックスウェル方程式は三次元のベクトル記号で書くと
　　　ｄｉｖ Ｂ＝０　 　　・・・・・　（a）　　ｒｏｔ Ｅ＋Ｂ＝０　　　　・・・・・　（b） 　　　ｄｉｖ Ｅ＝４πρ　・・・・・　（c）　　ｒｏｔ ＢーＥ＝４πＪ　 ・・・・・　（d） 単位系はμ⁰＝ε⁰＝Ｃ＝１，ρは電荷密度で、Ｊは電流密度。
磁場 Ｂ に対応するベクトルポテンシャルを Ａ とする。ベクトル場の回転の発散は０であるので
ｄｉｖ ｒｏｔ Ａ＝０。これと（a）より
　　　Ｂ＝ｒｏｔ Ａ　とおける。　・・・・・　（e） Ｂ＝ｒｏｔ Ａ を（b）に代入すると
　　　ｒｏｔ Ｅ＋ｒｏｔ（Ａ）＝０　　ｒｏｔ（Ｅ＋Ａ）＝０ 積分定理により、ｒｏｔ（Ｅ＋Ａ）＝０ となるベクトル場 （Ｅ＋Ａ） は勾配ベクトル場、即ちスカラー場 φ （＝スカラーポテンシャル）があって
　　　Ｅ＋Ａ＝−▽φ　　Ｅ=−▽φ−Ａ　　・・・・・　（f） となる。φ と Ａ をまとめて、電磁ポテンシャルという。

(2) ゲージ変換、ゲージ不変性

微分可能なスカラーな関数を ｆ とし
　　　Ａ'＝Ａ＋▽ｆ　，　φ'＝φーｆ を、（e）及び（f）の式に代入すると
　　　Ｂ＝ｒｏｔ（Ａ＋▽ｆ）＝ｒｏｔ Ａ＋ｒｏｔ ▽ｆ＝ｒｏｔ Ａ 　　　Ｅ=−▽（φーｆ）−（Ａ＋▽ｆ）＝−▽φ＋▽ｆ−Ａ−▽ｆ＝−▽φーＡ この（φ，Ａ）から（φ'，Ａ'）への変換をゲージ変換といい、無数の（φ，Ａ）を作り出す事が出きる。上の計算で分かる様にゲージ変換に対して元の方程式が形を変えない時（＝電場、磁場が変わらない）、ゲージ不変性あるいはゲージ対称性が成り立っているという。 ゲージ不変性が成り立つのは、ベクトル場の発散、回転の演算式 ｄｉｖ ｒｏｔ Ａ＝０， ｒｏｔ ▽ｆ＝０ という性質に基づく。

付録５：マックスウェル方程式の電磁ポテンシャルでの表現

付録４：電磁ポテンシャル、ゲージ変換で計算した様に
　　　ｄｉｖ Ｂ＝０　――＞　Ｂ＝ｒｏｔ Ａ　，　ｒｏｔ Ｅ ＋Ｂ＝０　――＞　Ｅ=−▽φ−Ａ　である。 ｄｉｖ Ｅ＝４πρ の式 Ｅ に Ｅ=−▽φ−Ａ を代入すると
ｄｉｖ（−▽φ−Ａ）＝４πρ　――＞　−▽²φ−ｄｉｖ Ａ＝４πρ 　　　△φ＋ｄｉｖ Ａ＝ー４πρ　 　となる。　　・・・・・（１） △はラプラシアンといい、△＝▽²である。▽はナブラ又はデルといい、▽ｆ＝ｇｒａｄ  ｆ である。
ｒｏｔ ＢーＥ＝４πＪ の式に Ｂ＝ｒｏｔ Ａ　，　Ｅ=−▽φ−Ａ を代入すると
　　　ｒｏｔ（ｒｏｔ Ａ）ー（−▽φ−Ａ）＝４πＪ ｒｏｔ（ｒｏｔ Ａ）＝ｄｉｖ Ａー▽²Ａ であるから、上の式は
　　　ｄｉｖ Ａー▽²Ａ＋▽φ＋Ａ＝４πＪ　――＞　（△ー）Ａー▽（ｄｉｖ Ａ＋φ）＝ー４πＪ 上の式は第二項を０にすると、もっと簡単になる。ｄｉｖ Ａ＋φ＝０をローレンツ・ゲージ条件という。ゲージ変換に対して、新しい式が０となるよう、ゲージ関数を決めればローレンツ・ゲージ条件が成り立つ。ローレンツ・ゲージ条件の式に、Ａ＝Ａ＋▽ｆ，φ＝φーｆを代入すると（＝ゲージ変換）
　　　ｄｉｖ（Ａ＋▽ｆ）＋（φーｆ）＝０　――＞　ｄｉｖ Ａ＋ｄｉｖ ▽ｆ＋φー ｆ ＝０ ｄｉｖ ▽ｆ＝△ｆであるから
　　　（△ー）ｆ＝−（ｄｉｖ Ａ＋ φ ） 上の微分方程式を満足する ｆ のもとではローレンツ・ゲージ条件が成り立つ。ローレンツ・ゲージ条件 ｄｉｖ Ａ＝ーφ を（１）の式に代入すると、（１）は
　　　（△ー）φ＝ー４πρ 以上をまとめると、マックスウェル方程式を電磁ポテンシャルで表現すると
　　　◆　ｄｉｖ Ｂ＝０　　　　　　　――＞　Ｂ＝ｒｏｔ Ａ
　　　◆　ｒｏｔ Ｅ ＋Ｂ＝０　　　――＞　Ｅ=−▽φ−Ａ
　　　◆　ｄｉｖ Ｅ＝４πρ　　　　――＞　（△ー）φ＝□φ＝ー４πρ
　　　◆　ｒｏｔ ＢーＥ＝４πＪ　――＞　（△ー）Ａ＝□Ａ＝ー４πＪ
記号□は四次元のラプラシアンで、ダランベルシャンという。（□＝ー＋△）