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 正多胞体

 三次元の正多面体、すなわちプラトンの立体に相当する四次元図形は6種あり、正多胞体と呼ばれている。同じ正多面体が辺の周りに同じ数だけ集まり、中身を包んだ超立体である。
 各図形にシュレーフリ記号{m, n, l}を添えた。シュレーフリ記号の数字は、面の正多角形の角数、体の頂点に集まる正多角形の数、辺に集まる正多面体の数を表す。なお、多胞体を覆う三次元多面体を「体」と呼ぶことにする。

▼ 正5胞体 {3,3,3}

 正四面体がすべての辺の周りに3つずつ集まった図形である。もちろん三次元超平面内では閉じない(全然角度が足りない)ので、四次元方向にすぼんでしまう。
 三次元の正四面体と同様、かなりとがった感じの図形ではないかと思う。おそらく四次元人から見ても、机の上に置いたとき、唯一の山形に見える正多胞体であろう。
 5個の正四面体で覆われた超立体なので正5胞体と呼ばれる。頂点は5つ、辺は10、面は10ある。
 n次元空間において、n-1次元超平面上に乗らない、つまり独立したn点を頂点とするn次元図形を「単体」と呼び、頂点の距離がすべて等しい場合を正単体と呼ぶ。正5胞体は四次元正単体である。

▼ 正8胞体 (超立方体) {4, 3, 3}

 立方体の四次元版で、表面は8つの立方体が覆っている。やはり四次元人が見ても、思いっきり四角く見えると思う。
 頂点は16、辺は32、面(正方形)は24、各辺に3つの立方体が集まっている。
 五次元以上のいかなる次元にも、同等の立体が存在することは自明であろう。そのどれもが四角く見えると思う。
 ブロック積みするとn次元空間を埋め尽くしてゆく、空間充填図形である。

▼ 正16胞体 {3, 3, 4}

 正八面体の四次元版である。表面は16の正四面体が覆っている。
 正八面体と同じくピラミッドの複合体のようにも見えるので、数学的に考えないと見過ごしてしまう正多胞体と思う。
 頂点は8、辺は24、面(正三角形)は32。各辺の周りには4つの正四面体が配置されている。
 正16胞体についても、五次元以上のいかなるユークリッド空間にも同等の立体が存在する。立体の中心を座標軸の原点に持って行き、頂点を各座標軸に乗せたところを想像してみると良い。このことから、置き方によるが、きわめて安定した感じの立体に思えることと思う。
 何と、正16胞体は四次元空間充填図形である。これは我々三次元空間に住む者には想像しがたい。超立方体のブロック積みの頂点と、それぞれの超立方体の中心を結ぶ(つまり体心立方格子)とOKなのだが、そもそも超立方体を積み上げる作業が三次元人には容易ではない。

▼ 正24胞体 {3, 4, 3}

 四次元独特の均整の取れた立体。24の正八面体が覆う超立体である。
 三次元の菱形12面体に相当するという。四次元人からは、三次元に住むみなさんに超立体でお見せできないのが残念です、と言われそうな絶妙の対称性を持った図形であろう。
 頂点も24、辺は96、面(正三角形)も96ある。各辺に3つの正八面体が配置されている。
 この図形も四次元空間充填図形である。三次元の菱形12面体は面心立方格子に対応し、要するに蜂の巣であるから、四次元でもさぞや稠密な感じがするであろう。直感どおり、四次元球の最密充填と関係するそうである。

▼ 正120胞体 {5, 3, 3}

 表面を120の正十二面体が覆う超立体。三次元の正十二面体に相当する図形である。
 頂点は600、辺は1200、面(正五角形)は720ある。各辺に3つの正十二面体が集合している。
 四次元人が見ても正五角形の目立つ、奇跡の立体のように見えると思う。体が120もあると多いように思うのは多分考えすぎで、射影された図を見てみると、正十二面体は一方向には4〜5個しか見えない。つまり、正十二面体よりは少し丸っぽいとはいえ、相変わらずもこもこした感じの正多胞体であろう。

▼ 正600胞体 {3, 3, 5}

 表面を600の正四面体が覆う超立体。三次元の正二十面体に相当する。
 頂点は120、辺は720、面(正三角形)は1200。各辺に5つの正四面体が集まっている。 
 さすがに表面の体が600もあると、何となくフラードームみたいに見えるのではなかろうか。三次元の正二十面体でさえ、包み紙のように見える。

● 高次元の正多面体

 二次元の正三角形、三次元の正四面体、四次元の正五胞体…の系列は五次元以上にも存在する。同様に、二次元の正方形(菱形に見える位置に傾けると分かりやすい)、三次元の正八面体、四次元の正16胞体…にも系列があり、二次元の正方形、三次元の立方体、四次元の正8胞体…も高次元に向かって系列をなす。
 最初の系列は正単体と呼ばれ、多面体研究者の間ではα体ともいう。n次元空間内で(n+1)個の(n-1)次元単体で覆われた図形で、頂点が(n+1)個ある。
 二番目の系列は正軸体と呼ばれ、β体とも呼ばれる。三番目の系列は超立方体と呼ばれ、γ体とも呼ばれる。
 五次元以上の各ユークリッド空間には、αβγの三種の正多面体しか無いことが確認されている。つまり、三次元の十二面体、二十面体、四次元の24胞体、120胞体、600胞体はその次元にしか存在しない特別の正多面体である。

 このことから、五次元以上の空間はつまらない、という人もいるようだが、たとえば、半正多面体は次元が一つ上がるにつれ、爆発的に数が増えてゆく。五次元以上の空間は感覚的にもとらえにくいし、図にも書き下ろしにくい。おそらくは「つまらない」という前に、低次元の世界に住む我々の感覚からすると、という枕詞が必要であろう。
 五次元には球の体積が最大になる、という特徴があり、また他の次元にも特有の事情が存在するようである。
 四次元の面白さは、切り口が三次元になるために図示しやすく、感覚的にも三次元人の我々が想像でき得るぎりぎりの点にあることが大きいと思う。

2002年8月18日 岡田好一