持っているカメラがあれば、まずそれを使う。 不満なら何が不満か考えればいいと言うのが大前提です。
使ってないので詳しくは分かりませんが、多分ほとんど撮影出来ます。 というか、下手な一眼レフより良く撮れそうな感じです。特に望遠側が換算1,000mm以上のレンズのものは下手な一眼レフよりずっと良いと思います。 もし持っているならこれだけで問題なく撮れそうです。
ただ、新規に買う場合、こっち買うくらいならエントリーレベルの一眼レフ（もしくはミラーレス）を買った方が良いと思います。 レンズ交換したり他の自由度が一眼レフ等の方が高いですし、様々なアクセサリーを使うとかの場合は一眼レフ等の方が使えるのが多いです。 また、撮影対象が増えてレンズ一体型が対応出来ない場合は、結局一眼レフを買わなければならないことになります。
これは一眼レフ、ミラーレス一眼どちらでも構いません。 もしすでに手元にこれらのカメラがある場合、新たに買う必要はないかもしれません。 ただし、それがフルサイズ（35mmフィルムサイズのセンサーを使っているカメラ）の場合は注意してください。 望遠レンズが必要でも手に入らない可能性（主に金銭的）があります。
高いレンズを買える人はそれでも良いですし、x1.4のテレコンバーターで画角を望遠側に振っても良いでしょう。 ただ、400mmとなるとそれも厳しいです。 そのような場合はセンサーサイズの小さいカメラとレンズを購入することを考えても良いかもしれません。
ただし、フルサイズのセンサーサイズのカメラはだいたいが画素数が高いです。 その高い画素数を生かしてトリミングして使うという手は残っています。
例えばマイクロフォーサーズのカメラならそこそこ安い値段で手に入ります。 本体とダブルズームの望遠側で換算300mmの画角が手に入ります。 それにテレ端300mm（換算600mm）の望遠レンズを追加で買えば動物園ではまず足りないことはないでしょう。
またこれの良い所はそれにx1.4テレコンバーターを付けられるという点です。 ただでさえ焦点距離が長いのに、それをx1.4に出来れば表情等も問題なく撮れます。
ということで、新規に購入する場合APS-Cもしくは（マイクロ含む）フォーサーズ位のセンサーサイズのカメラをお勧めします。
余り気にしてないと思いますが、携帯のカメラの多くは広角気味です。 近くの人をバストアップで撮るか、ちょっと離れた人の全身を撮る、建物を撮る、料理を取るとかの場合は役立ちますが、動物園で撮れるとしたら象かキリン位じゃないでしょうか。 もしくは触れるくらい近くで小動物を撮影するか位になります。 ただし、何もない場合はそれで撮影するしかありません。 回りの雰囲気と大きな動物、近くの小動物、人と動物などを撮影するには良いかもしれません。
携帯のカメラが生きるとしたら、一眼レフに望遠レンズを付けてレンズ交換したくない場合、そのまま携帯取り出して撮影することが出来るって事でしょう。 フォーサーズの場合、素子にゴミが付くことはまず考えられないので、外でもばんばんレンズ交換しますが、他のカメラはなかなかそういうわけに行かないようです。 そういう場合に広角で撮りたいという時には良いと思います。
最近のコンパクトカメラはズーム比率が大きくなってきているので、そこそこ撮影出来ます。 ただし、望遠側が結構暗いので、撮影は厳しい所がありそうです。 もしすでに持っているのだったらしばらくそれで撮影してみて、新しいカメラが欲しいとなったら新しいカメラを探してみるのが良いと思います。
出せるお金があるならハイエンドで良いです。 ただ、フルサイズのカメラは上記レンズ的な観点からお勧め出来ません。 私のお薦めはエントリー機です。
基本機能はエントリー機で十分ありますし、ハイエンド機買うお金があるならレンズや周辺機器等買うのはいっぱいあります。 ハイエンド買ったせいでレンズが買えないというのは本末転倒どころではありません。 あと、ハイエンド機は大きくて重いです。 動物園に行っても持ち歩けないようでは撮影どころではありません。
もしカメラを使ったことある人ならエントリーもしくはその少し上を機能を見ながら選択すればいいと思います。 必要な機能も分かっているでしょうし、欲しい機能もそこそこ知っているでしょう。
あと、望遠レンズ（もしくは明るいレンズ）は重いです。ハイエンドの重いカメラに重いレンズを付けると持ち歩き自体が大変になります。 軽いカメラならその負担が少しは減ります。