ツェラー（Zeller）の公式
について
$$西暦1年1月1日（0年13月1日） ～ Y 年 M 月 D の日数を求めるのに、$$
$$次のような、フェアフィールド（Fairfield）の公式がある。$$
$$365(Y−1)+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+31+28+\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]−122+D$$
$$ただし、M = 1, 2 の場合は、Y = Y － 1, M = M + 12とし、$$
$$1年を、3月1日 ～ 14月28日（閏年は29日）と再定義する。$$
$$M月の日数をD_Mとすると、下の表から、\sum_{M=3}^{14}D_M=\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]－122$$
$$となるなることがわかるので。計算の便宜上、Y年3月1日 ～ Y 年 ( M － 1 ) 月末日の日数を$$
$$\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]－122$$
$$としたようだ。実にうまく式を探り当てたものである。$$
$$ただし、[x]はガウス記号といい、その数を超えない最大の整数を表す記号。$$
| 当月(M) | 前月(M－1) | 日数(Σ) | [306(M+1)/10]－122 |
| 3 | | 0 | 0 |
| 4 | 3 | 31 | 31 |
| 5 | 4 | 61 | 61 |
| 6 | 5 | 92 | 92 |
| 7 | 6 | 122 | 122 |
| 8 | 7 | 153 | 153 |
| 9 | 8 | 184 | 184 |
| 10 | 9 | 214 | 214 |
| 11 | 10 | 245 | 245 |
| 12 | 11 | 275 | 275 |
| 13 | 12 | 306 | 306 |
| 14 | 13 | 337 | 337 |
$$フェアフィールドの公式から、ツェラーの公式は次のように導かれたのだろうと考える。$$
$$要は7で割り切れる場合0と見なし、式を整理したものと思う。少し、面倒な式変形が続くが、ご辛抱願いたい。$$
$$西暦 Y年 M 月 D 日は（1年1月1日から数えて）$$
$$365(Y−1)+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+31+28+\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]−122+D
日目。$$
$$（フェアフィールドの公式）$$
$$365(Y−1)+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+31+28+\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]−122+D$$
$$=365Y-365+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]+59−122+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153(M+1)}{5}\right]+59-122-365+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153(M+1)}{5}\right]-428+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153(M+1)}{5}\right]-7\times 62+6+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153(M+1)}{5}+6\right]-7\times 62+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153M+153+30}{5}\right]-7\times 62+D$$
$$=365Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{153M+183}{5}\right]-7\times 62+D$$
$$=7\times 52Y+Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[5\times 7(4M+5)+\frac{15M+8}{5}\right]-7\times 62+D$$
$$=7\times 52Y+Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[7(4M+5)+\frac{15M+8}{5}\right]-7\times 62+D$$
$$と変形できるので$$
$$365(Y−1)+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+31+28+\left[\frac{306(M+1)}{10}\right]−122+D$$
$$\equiv Y+\left[\frac{Y}{4}\right]−\left[\frac{Y}{100}\right]+\left[\frac{Y}{400}\right]+\left[\frac{15M+8}{5}\right]+D \pmod 7$$
$$（ツェラーの公式：1887年に原論文が発表されているという）$$
実際にこの公式を使って曜日を求めてみよう。
ただし、この公式は1582年10月15日（グレゴリオ暦採用日）以降の正しい曜日を与えるとされている。
★Zellorの公式
初等整数論/合同式