《　Part３ 》

　　　　　　――　目　次　――

　　　　§　３−１　　　　　　§　３−２　　　　　　§　３−３
　　　　§　３−４　　　　　　§　３−５　　　　　　§　３−６
　　　　《　付　録　》
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以下は、本文です。

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　§　３−０
　すでに《 Part２》で、区体論は厳密な数学的表現を得た。これは「仮表示形の区体論」と呼ばれる。
　《 Part３》では、区体論は、《 Part２》とは別の形で示される。これは「正表示形の区体論」と呼ばれる。
　仮表示形の区体論と、正表示形の区体論は、本質的には同じものであるが、数学的な表現形態が異なる。仮表示形の区体論は、すでに《 Part２》で示したように、述語論理によって表現される。一方、正表示形の区体論は、述語論理の束縛記号を用いず、自由変項だけを用いて表示する。
　では、なぜ、このようなことをするのか？　本質的に同じものならば、わざわざ異なった表現形態を取らなくてもいいのではないか？　――そう思う人も多いだろう。実際、実用的な観点からいえば、両者は全く同じなので、わざわざ別の表現形態を取る必要はない。しかし、純粋な数学的な観点からいえば、自由変項だけで表現するということには、大きな意味がある。それによって、理論がいっそう確実で強固で美しくなるからである。細かな疑問もすべて氷解する。
　とはいえ、このようなことは、実用的にはあまり違いをもたらさないので、以下で示す正表示形の区体論を、一般の人は、読まなくともよい。（専門家は別として。）
　ただし、以下に示すことが難解だというわけではない。正表示形の区体論は、仮表示形の区体論よりも、むしろ、簡単なのである。もし既成概念をもたないような人が、初めて両者に触れるならば、仮表示形の区体論よりも、正表示形の区体論の方を、よりよく理解できるだろう。
　しかしながら、多くの人々の頭には、既成概念がある。たとえば ∀ や ∃ という記号を、当然視したりする。そうした既成概念に染まっている人々には、以下のことは、わかりにくいかもしれない。つまり、以下に記すことは、理論としては簡単ではあっても、素直に頭に入りやすいとは言いにくい。
　そうしたことを理解した上で、もし興味を持てば、以下に示す正表示形の区体論を読んでほしい。
　
　§　３−１
　正表示の区体論を示す前に、まず、その考え方をざっと示しておこう。
　正表示形の区体論では、全くの白紙から考えを始める。何一つ前提とはしない。集合論が前提とするような、命題論理や述語論理も前提としない。
　そのうえで、確実なものとして、「定義」を取り入れる。
　定義とは、つまり、ある記号列を、別の記号列と同等と見なすことだ。たとえば、次の式では、左辺が右辺で定義されている。（ ≡ は定義の記号。）
　　　　　λ(ｘ)≡ｘ＋１　　　
　ここで、留意せよ。定義とは、記号の置き換えにすぎないのである。上の式において、左辺と右辺が数学的に同じ価値をもつということは、あくまでも意味の世界の話である。定義とは、左辺と右辺にある二つの記号列が、記号として同じであることを示すにすぎない。つまり、別の式のなかに λ(ｘ) という記号列が現れたら、それを ｘ＋１ という記号列に置き換えてよい、ということを示すにすぎない。単なる記号上の操作法を示しているだけのことだ。
　以上は、もちろん、誰でも知っていることだ。いちいち言うまでもないことだろう。
　ところで、定義においては、一般に、新しい記号が登場する。たとえば、
　　　　　λ(ｘ)≡ｘ＋１
　という定義では、新しい記号 λ が現れている。ここでは、左辺の新しい記号を、右辺によって定義しているわけだ。
　このような定義、つまり、左辺を右辺によって規定するような定義を、「陽形式の定義」と呼ぶことにしよう。
　一方、もう一つ、別の形の定義も考えられる。これを「陰形式の定義」と呼ぶことにしよう。
　「陽形式」「陰形式」という言葉は、「陽関数」「陰関数」という言葉に由来する。
　陽関数とは、次のように表される ｙ のことだ。ここでは ｙ が右辺の記号列で置き換え可能である。
　　　　　　ｙ＝Ａｘ＋ｂ
　一方、陰関数とは、次のように表される Ｙ のことだ。ここでは Ｙ が別の記号列に置き換え可能ではなく、単に一定の式を満たすような Ｙ として定まるだけにすぎない。
　　　　　[Ｙ]!＋Ｙ＋ tan Ｘ＝０
　以上のように、関数には、陽関数と陰関数がある。それと同様のことが、定義の場合においても考えられる。
　陽形式の定義とは、つまり、通常の定義である。そこでは左辺の新しい記号が、右辺の記号列で置き換えられる。
　一方、陰形式の定義とは、定義すべき新しい記号が、式のなかに埋め込まれているような形の定義のことである。陽形式の定義と違って、その新しい記号を、別の記号列にただちに置き換えることはできない。
　実際に例を挙げよう。
　　　　　　i ＝√(−１)　　　　　　　　　　　　　……(1)
　画面では根号をうまく表せていないが、これは虚数の定義である。この定義は、陽形式の定義である。左辺は右辺に置き換え可能である。
　さて、一方、次のような式もある。
　　　　　　i ×i ＝−１　　　　　　　　　　　　　……(2)
　ここでは i は、別の記号列に置き換え可能ではない。(2)という式を満たすような i としてのみ、定まっている。 i とは何かは具体的にわかる必要はなく、ただ(2)という条件を満たすことさえわかっていればよい。このようにして、新たな記号 i が定まる。
　以上に示したように、定義には、「陽形式の定義」と「陰形式の定義」の二種類がある。この二種類の定義を、区体論は前提とする。そして、それ以外の一切を前提としない。
　このような考え方を、「定義主義」と呼ぶことにしよう。区体論は、定義主義の上に成立する理論体系である。　
　定義主義では、公理は陰形式の定義として現れる。つまり、公理とは、真なることが自明とされた命題ではなく、真偽を不問にしたまま仮定された命題でもなく、単に、新たな記号を規定する条件にすぎない。
　だから、公理とは、絶対的なものではなくて、代替可能なものである。ある公理を選べば、その公理によって定まる記号からなる空間が規定される。別の公理を選べば、その公理によって定まる記号からなる別の空間が規定される。公理の組み合わせごとに別々の空間が規定される。
　公理次第でいくらでも別々の空間が規定される、という点は、ちょうど、ユークリッド空間の公理や、群の公理の場合と同様である。たとえば、平行線公理を否定すれば、非ユークリッド空間が得られる。
　ともあれ、区体論は、定義主義という考え方を取っている。そのことをよく覚えていてほしい。
　　［付記］なお、以上のことは、「正表示形の区体論」の場合の話である。「仮表示形の区体論」の場合は、そうではない。仮表示形の区体論は、もちろん、集合論と同様の考え方を取っている。
　
　§　３−２　
　区体論は、定義主義を取る。そこで、この考え方にともなって、定義というものを、少し拡張してみよう。
　一般に、陽形式の定義では、
　　　　　　≡　　　
　という記号によって、左辺が定義される。たとえば、
　　　λ(ｘ)≡ｘ＋１　　　
　という式がそうである。
　さて、区体論では、この ≡ という記号を、新しい記号を定義する場合に用いるだけでなく、他の場合にも用いる。すなわち、等号と対比させつつ、等号に類するものとして用いる。（なお、等号とは ＝ という記号である。）
　集合論の世界では　≡　という記号も　＝　という記号も、ほとんど同じ意味を持った。両者を区別する必要は、ほとんどなかった。区体論では、そうではない。この二つの記号は、意味が異なる。
　区体論における等号は、すでに《 Part２》で述べた通りである。すなわち、
　　　　　　Ａ＝Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　
　という式は、
　　　　　　Ａ⊂Ｂ　∧　Ｂ⊂Ａ　
　という式によって、定義された。一方、
　　　　　　Ａ≡Ｂ　　　　　　　
　という式の示すことは、もっと強い。ここで今、両者を比べると、
　　　　　　Ａ≡Ｂ　⇒　Ａ＝Ｂ　　　　　　　　　　……(1)
　は成立するが、
　　　　　　Ａ＝Ｂ　⇒　Ａ≡Ｂ　　　　　　　　　　……(2)
　は成立すると言えない。このことは、理解しにくいかもしれないが、とはいえ、論理的にそのようになることは、明らかだろう。(1)はほとんど自明だし、(2)が必ずしも成立しないことは一応理解できるだろう。
　さて、こうして ≡ という記号を ＝ という記号と対比した上で、区体論では、「準関数」というものを導入する。
　まず、関数とは、次のような λ(ｘ) のことだ。
　　　　　　ｘ＝ｙ　⇒　λ(ｘ)＝λ(ｙ)　
　一方、準関数とは、次のような ψ(ｘ) のことだ。
　　　　　　ｘ≡ｙ　⇒　ψ(ｘ)＝ψ(ｙ)　
　準関数と関数とでは、式の左辺の ≡ と ＝ の部分が異なることに、注意せよ。
　さて、準関数とは、何か？　いったい、どのような性質をもつのか？　そのことについては、あとで示すことにする。とはいえ、準関数の概念が、関数の概念と同様に、きわめてシンプルであることは、すぐにわかるだろう。
　では、この準関数という概念を用いると、どうなるか？　理論全体を、単純に構成できるようになるのだ。 ∀ や ∃ などの束縛記号を、天下り的に受け入れる必要はなくなるのだ。これらの記号は、集合論では、無定義語として、意味はあいまいにしたまま用いた。（§２−３［１］を参照。）区体論では、そうではない。区体論では、準関数という概念を用いるが、そうすると、 ∀ や ∃ などの束縛記号は、厳密に定義される。このような効果が、準関数という概念にはあるのだ。
　では、以下では、理論体系を示すこととしよう。
　
　§　３−３　
　初めに、区体論と論理学の関係について、述べよう。そこでまず、集合論の場合を見てみる。　
　集合論の場合、集合論と論理学の関係は、次のようになっている。
　　　　 （ 命題論理　＋　述語論理 ） →　集合論　
　すなわち、命題論理と述語論理の上に、集合論が成立している。
　一方、区体論と論理学の関係は、次のようになっている。
　　　　　命題論理　→　区体論　
　すなわち、命題論理の上に直接、区体論が成立する。述語論理を必要としない。換言すれば、 ∀ や ∃ などの束縛記号を用いない。
　このように、区体論は、述語論理を用いず、命題論理だけを用いる。
　さて、先に§３−１では、こう述べた。区体論は一切を前提としない、と。ただしそのことは、命題論理を使わないということではない。区体論は、たしかに、一切を前提としないところから始まるが、ただし、無からいきなり区体論に行き着くのではない。まず、真偽表に手をつける。
　真偽表とは、つまり、真と偽の関係を定めたものである。これは、次のような表で表される。

　　　　――――――――――　
　　　　｜　１∨１　｜　１　｜　
　　　　｜　１∨０　｜　１　｜　
　　　　｜　０∨１　｜　１　｜　
　　　　｜　０∨０　｜　０　｜　
　　　　――――――――――　

（注。インターネットでは表をうまく表示できないのだが、
　　　切れている縦線はつながっているものとして見てみてほしい。）
（注。なお、１と０は、真と偽とを表す）