現代数学における問題と困難

―― 集合論をめぐって ――

[ver. 3.95  ( 2012.11.11 )]

           ※ 「発展編」の「正しいか?」の後に「注記」を加筆した。 ( 2012.09.03 )
           ※ 「専門解説編」の「公理9」の箇所 を加筆補充しました。 ( 2012.09.07 )
           ※ 「新まとめ」という 専門家向けのページを公開しました。 ( 2012.11.11 )




 このホームページに示すことは、「現代数学を構築するには、集合論による方法のほかに、別の方法もある」ということだ。(具体的に言えば、「区体論による方法」である。)

 以下で示すのは、数学に関する学術的な話である。とはいえ、前半(Part1〜Part3)に関する限りは、論文というほど堅苦しくはない。一般の人々にも理解できるようなものだ。

 対象とする読者は、知的好奇心のある人々である。教わったことを単に覚えるだけでなく、自分の頭で考えようとする人々である。ただし、数学の不得意な人は、読んではならない。

 なお、ここではついでに、「現代の集合論には大きな問題ないし課題がある」ということを述べている。ただし、「集合論には矛盾がある」とか「現代数学は間違っている」とか、そういう意味のことを主張しているわけではない。
 ここでは単に、数学的な問題提起をしているだけだ。現代数学の基礎の分野において、ある種の非常に大きな問題を提起している。(現代数学を批判しているわけではない。)
 もちろん、これは、いわゆる「トンデモ本」(理解不十分なまま難癖をつける本)の類いではない。以下に示す問題のうちの、かなり多くの部分は、数学者たちの間で広く知られている事実である。また、筆者は十分な数学的知識をもっている。(筆者は東京大学卒)

( ※ 学歴を書くと、学歴を誇示しているように見えて、イヤミに感じられるかもしれない。この点は、お詫びします。……「基礎素養もない人間のデタラメだ」ということではない、とふうに理解していただければ、幸いです。)



 本論は、次の文書からなる。

    新まとめ は、本サイトを初めて、数学専門家向け。新規公開しました。(普通の人は、このページを読む必要はありません。)

    《 Part1》 は、大学初級向け。
    《 Part2》 は、大学中級向け。
    《 Part3》 は、大学上級向け。
    《 後日解説編 》 は、以後の話のガイド。
    《 専門解説編 》 は、研究者向け。
    《 誤読解説編 》 は、イチャモンを付けたい人向け。 ( 2005.07.30 )

    《 補足解説編 》 は、半玄人向け。        ( 2005.09.30 )
    《 発展編 》 は、高度な研究者向け。       ( 2005.09.30 )
    《 二人の討論メール 》 は、参考資料。      ( 2005.09.30 )

 一般の人は、《 Part1》だけ読めば、十分だろう。
 そのあと、興味を持てば、《 Part2》に進めばよい。

 なお 必ず 《 Part1》から順々に読んでほしい。
 初めの《 Part1》は、程度が低いというより、話の基礎だからだ。
      「自分は数学の専門家だ。基礎なんか読み飛ばしてしまえ」
       と考えて、その結果、誤読する人が多いので、注意のこと。

   【付記】 Part3の最後では、人工知能の研究者のために、
         『超高速推論マシン』を作る方法のあらましを示した。

 
 

 ◆ 初めてこのホームページに来た人は、専門家ならば、「新まとめ」 のページへ。
 ◆ それ以外の普通の人は、次の《 Part1》から、順々にお読みください。

   《 Part1》   《 Part2》   《Part3》
   《 専門解説編 》   《 誤読解説編 》

   《 補足解説編 》  《 発展編 》  《 二人の討論メール 》 ( 2005.09.30 )

     ※ 最後の三つは、推敲が不十分であり、現時点ではまだ暫定版である。

   《 用語の変更 》 (可算区体論 ,連続区体論)
 ( 2008.07.19 )

   《 余談 》 (余談ふうの話題を、別サイトで示す。対角線論法の話題。) ( 2009.10.28 )

   《 後日解説編 》 ( 区体論の概要ないし核心を、現時点で新たに示す。) New  ( 2010.08.03 )



 (参考)

   < 英語版について > 
 

 英語版を、次のホームページから得られます。

          Ward Theory

  ※ これは、専門家向けです。一般向けではありません。
  


  < 関連ページ >


 (1)  Mereology (Wikipedia)  [ 英語版 ]

   区体論と本質的には同じ発想に基づく理論。世界で公認済み。
   区体論の初歩的な部分のみをまとめた体系。
   (実数を構築することまではできていない。無限小解析もまだ。
    区体論に比べると、はるかに遅れている。)

 (2)  世界の集合論 HP集

   集合論についての世界中のホームページへのリンク集。英語版。
   著者は英語圏の専門家。




    【 変更履歴 】

  ・ ver 2.00   《 専門解説編 》 を追加。
  ・ ver 2.10   《 専門解説編 》 の最後に Q&A 16 ,17 を追加。
  ・ ver 2.11   《 専門解説編 》 の最後に 
参考情報 を追加。
  ・ ver 2.12   《 専門解説編 》 の最後に 
あとがき を追加。
  ・ ver 2.13   Part1で、公理8の解説中で、a を B と誤記していたところが
        あったので、修正した。(ただし、これは、Part1の解説のみである。
        Part2 または Part3の公理 を示すところでは、この誤記はない。

  ・ ver 2.2   《 誤読解説編 》 を追加した。

  ・ ver 3.0   新たに大幅に原稿を追加した。次の三つ。
            《 補足解説編 》 ,《 発展編 》 ,《 二人の討論メール 》
           また、分配法則についての正誤訂正の記述を、 Part2 に追加した。

 



このホームページの作者

    氏 名    南堂久史
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    URL     http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/
 

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