π/4=arctan1の展開公式

tanθ=x のときarctan(x)=θとなります。つまりtanθの逆関数です。このページではBASICのようにarctan(x)=atn(x)と書きます。 θ=arctan(x)=x^1/1-x^3/3+x^5/5-x^7/7+.....
となります。
但し、当然ながら|x|<1です。そうでなかったらどう考えても値が発散してしまいますから。

θは弧度法での値です。
弧度法とは３６０度を２πとして１８０度をπとする角度の表し方です。
例えば、atn(1)=π／４=45度というような感じです。
このような物は他にもたくさんありますが、ここには主な公式をあげておきます。

ライプニッツ(Gottfried.W.Leibniz ; 1646-1716)の公式 π/4=atn(1)=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+・・・
　簡単だが、収束がとても遅い。

マチン(John.Machin ; 1685-1751)の公式　π/4=4atn(1/5)-atn(1/239)

　1949年にENIACで計算され、2037桁を求めた。
　今でも簡単で収束の早い公式として知られている。

ハットン(Charles Huttion ; 1737-1823)の公式　π/4=3atn(1/4)+atn(5/99)

オイラー(Leonhard.Euler ; 1707-1783)の公式　π/4=atn(1/2)+atn(1/3)

オイラー(Leonhard.Euler ; 1707-1783)の公式　π/4=5atn(1/7)-2atn(3/79)

ベガ(Vega)の公式　π/4=2atn(1/2)-atn(1/7)
この公式はヘルマンまたはクラウゼンの発見であるという説もある。

ベガ(Vega)の公式　π/4=4atn(1/5)-2atn(1/408)+atn(1/1393)

ダーゼ(Z.Dase ; 1804-1861)の公式　π/4=atn(1/2)+atn(1/5)+atn(1/8)

ガウス(Carl.Friedrich.Gauss ; 1777-1855)の公式　π/4=12atn(1/18)+8atn(1/57)-5atn(1/239)

ガウス(Carl.Friedrich.Gauss ; 1777-1855)の公式　π/4=3atn(1/4)+atn(1/20)+atn(1/1985)

ラザフォード(Rutherford)の公式　π/4=4atn(1/5)-atn(1/70)+atn(1/99)

クリンジェンシェルナ(S.Klingenstierna)の公式・フゼインガーの公式　π/4=8atn(1/10)-atn(1/239)-4atn(1/515)

シャンクス(W.Shanks ; 1812-1882)の公式・シュテルマー(F.C.M.Störmer)の公式　π/4=6atn(1/8)+2atn(1/57)+atn(1/239)

シュテルマー(F.C.M.Störmer)の公式　π/4=44atn(1/57)+7atn(1/239)-12atn(1/682)+24atn(1/12943)

エスコットの公式　π/4=22atn(1/28)+2atn(1/443)-5atn(1/1393)-5atn(1/11018)

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