角球

通常の球	三角球	四角球
八角球	星型の錐	星型の柱
星型の球	その他１	その他２
その他３
浅いずれ球	中ずれ球	深いずれ球
四角球の展開図	三角球の展開図	何かの角球の展開図

円や多角形の柱や錐を、円柱、ｎ角柱、円錐、ｎ角錐と言うのに対して、
円の代わりに多角形を元に作った球を考え、
「ｎ角球（かくきゅう）」って呼んだらどうかと思ってます。
球の赤道面を多角形としたバージョンで、具体的な形は以上の通りです。
極の部分は滑らかになっています。
角球と言っても、コーナーキックの事ではありません（ぉ。

基本的な平面図形として、丸、三角、四角ってありますが、
これを立体にしたら、人によって違うかもしれませんが、
球、正四面体、立方体ってなると思います。
ここで、正四面体は三角錐の一種、立方体は四角柱の一種です。
また、錐体は横から見たら三角です。円錐でも四角錐でもそうです。
柱体は四角です。
以上から、以下のような表を考える事ができます。

	○	△	□
○	球
△	円錐	正四面体	正四角錐
□	円柱	正三角柱	立方体

しかし、球の隣の二箇所が不明で気持ち悪いです。
そこで、角球が登場するわけです。◇はオマケ。

	○	△	□
○	球	正三角球	正四角球
△	円錐	正四面体	正四角錐
□	円柱	正三角柱	立方体
◇	双円錐	双正三角錐	正八面体

2006.1.15-2010.1.19

四角球はSuperellipsoidなるものの中にも見られます。

2016.5.15

この構造はHosohedronに例えられる事があるようですが、
あれは球面幾何学上の多面体という感じっぽいのに対し、
こちらは曲面で構成された立体なので本質的には別物です。
一般的なHosohedronの絵とは面の曲がり方が異なっています。

2016.6.17

展開図

角球は意外にも、通常の球と違って、上に示したとおり展開図を考える事ができます。
ただし、角球からその展開図を計算できるのはごく一部で、大抵は非常に難しくなってしまいます。
でも、何かしらの角球になる展開図は無数に計算できます。曲面があるし組み立てるのは結構難しいと思いますが。

展開図を考え易いタイプの角球というのは、球に外接するタイプです。
これは円柱を削り出して組み立てる事でも作る事ができますので、
角球の中で最も標準的なタイプと見ても良いかもしれませんが、
いまいち決め手に欠けてます。

2006.1.15-2016.5.12

英名

英語では直訳するとpolygonal sphereとなりそうですが、
その表現は多面体によって球を近似したような図形の意味合いで
用いられてる様子があるので、難しそうです。
polygon based sphereとは呼べるかもしれません。
最終的には、prismやpyramidのように一つの単語に短縮で出来たら良いかもしれません。
「形の似た具体的な物体の名を借りる」という慣習に倣うと、
hozuki(またはhoozuki、hozky)はどうだろうかと思ってます。

2010.1.19-2016.6.7

多角形回転体と角球

円柱も円錐も双円錐も、多角形回転体の一種として一まとめにできます。
斜柱などもあるので完全に含める事はできませんが、
多角形回転体も斜めにする事はできますので、もう少し定義を広げれば可能そうです。

多角形回転体は全て、横から見れば多角形ですが、上から見れば円です。
角球は逆に、上から見れば多角形、横から見れば円ぽい図形です。
多角形回転体が経度方向に関して丸いのに対し、角球は緯度方向に丸い図形です。
両方の丸さを併せ持つと球や楕円体となります。
どちらも球の半多角形バージョンと言えます。

トーラスに対しても同様に2種の多角形版を考える事ができます。
トーラスは、円柱を円状に丸めた形をしてますが、これに対し、
円柱を多角形状に丸めたものと、角柱を円状に丸めたものが考えられます。
四次元空間図形であるn,m角柱の片方を円柱にしたものは、
この二種が絡み合ったような図形となっています。
それぞれ、円柱多角環、角柱円環とでも呼べそうです。

角柱円環は、回転軸が図系外にある多角形回転体と見る事ができます。
ただ、楕円回転体と言われてトーラスが出て来る事はまずありませんから、
広義の多角形回転体という所でしょうか。
対して円柱多角環は、広義の角球…と取るには少々無理があるかもしれません。
トーラスを球の一種としているようなものです。
円柱→角柱、球→角球という変形は、あらゆる回転体に対して考える事ができます。
角柱、角錐、角球、円柱多角環、この辺を更にまとめた概念が必要になって来るかもしれません。

2016.5.12

一般球

円とも多角形とも限らない一般的な平面図形を元にしても、
このような図形を作る事ができます。これをひとまず「一般球」と名付けてます。
円錐・角錐を一般化したものは錐とか錐体と呼ばれ、
円柱・角柱を一般化したものは柱とか柱体と呼ばれますが、
球とか球体と言えば真球になってしまいますので、悩み所です。

2010.1.15-2016.5.12

体積

角球の体積を考えると、曲面がありますし、横から見たら丸に見えますし、
円柱や円錐はπが入って来ますし、展開図が曲線を含んだ図形になってますので、
πが入って来そうですが、意外にも、πは出現しません。
例えば正方形の四角球ならば、赤道面での一辺の長さをa、赤道面から極までの高さをhと置けば、
体積は、4ha²/3となります。
テキスト上では分数で書くのは難しいのでこういう形にしてますが、
(4/3)ha²という感じです。
一般球の場合でも、赤道面の面積をSと置けば、4hS/3となります。
先の四角球の場合なら、S=a²ですので、同じ式となり、
球の場合なら、S=πr²、h=rですので、4πr³/3となります。
この式は、積分を使って球を求める方法を一般化する事で出て来ます。

円にπが入るなら、球にはπの二乗が入りそうなのに、一つしか無いってのを昔不思議に思ってましたが、
平面図形を球化する段階ではπが入らないので、赤道面の円に含まれるπのみってわけだったのです。
一般には（この辺は他が詳しいと思いますが）、2n-1次元の図形を2n次元の超球化するにはπが入り、
2n次元の図形を2n+1次元の超球化するには入らないです。
つまり、三次元の図形を四次元の超球化する場合にはπが新しく入りますので、
四次元の超球にはπ²が入るわけです。

2006.1.15-2010.1.19

斜球

斜錐や斜柱に対し、「斜球」と呼べるものも考えられます。
一つ注意点として、「直錐⇔斜錐」と「直柱⇔斜柱」における
「直」「斜」には、少々意味合いの違いが見られます。
その解釈によっては、斜球と呼べるものにも違いが出て来ます。
同様の問題は双錐体の場合にも起こります。

直錐は「頂点から底面に降ろした垂線が底面の重心を通る」という定義をされてますが、
底面の形が複雑な場合は、直錐と斜錐の区別は難しくなり、区別がナンセンスにも思えて来ますし、
底面が無限に広がってて重心が定義でいない場合には、区別は無くなります。

対して直柱と斜柱は、底面の形が複雑でも無限でも、一目瞭然で区別できます。
直柱と斜柱の違いは、底面の形を積み重ねていく方向の違いによるものという考え方ができます。
同じ定義を錐体に対して用いると、直錐と斜錐は区別が付かなくなります。
錐体の場合は伸縮しながら積み重ねる形となってますが、その伸縮の中心となる軸をどこに置くかによって、
例えその軸が底面に対して垂直であろうとも、斜めになるからです。

「全ての切断面の重心を結んだ軸を考える」という方法ならば、
両者の「直」「斜」の意味は一致して来そうですが、それでも重心を定義できない場合は微妙です。

一方、直錐・直柱から斜錐・斜柱を作る操作は、共通の方法で可能です。
全体的に斜めに傾ける方法です。
対応する任意の点同士を結ぶ線を傾けてやる、という言い方もできそうです。
ここでは、この操作でできるものを斜球と呼ぶ事にしようと思います。
なお、通常の球や楕円体の場合、斜球に相当するものは球や楕円体の範疇となって来ます。

2006.1.15-2021.2.28

角球座標系

直交座標系	角球座標系
円柱座標系（円筒座標系）	球座標系

角球に関連して、三次元の座標系では、ｘｙｚで表す直交座標系、 ｒθｚで表す円柱座標系、ｒθφで表す球座標系の三つが有名です。
でもこれに対し、ｘｙφで表す角球座標系というものを考える事もできます。
直交を００、円柱を１０、球を１１と考えると、角球座標系は０１にちょうど対応しています。
聞いた事が無い所を見ると、実用性は無いのでしょうけど^^;。

以上は厳密には、それぞれ、
（ｘ，ｙ，ｚ）、（ｒ´，θ，ｚ）、（ｘ´，ｙ´，φ）、（ｒ，θ，φ）
で表されてます。
´の記号がｘ´にもｒ´にも付いてますけど、紛らわしい事に、
ｒ´＝√（ｘ^２＋ｙ^２）
ｒ＝√（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）＝√（ｘ´^２＋ｙ´^２）
ですので、注意してください。
これらを組み替える事によって、更に幾つか考える事ができます。
ｘやｒなど、長さを表す要素を固定する事で、以下のように、対応する立体を考える事ができそうです。
角球座標系としては（ｘ，ｙ，φ）型も考えられそうですが、 この考え方により、開角柱座標系と見なせそうです（「開」は、無限遠まで続くけど、遠くなるほど希薄になる、というイメージから）。
尤も、角球座標系も、ちゃんとした角球にはならないですが^^;。
また、開角柱座標には死角があるので、やはり上記で示した角球座標の方が、より標準のものとして扱えそうです。
（ｒ´，θ，φ）⇒開円柱（ｚ軸上不定）
（ｘ，ｙ，φ）⇒開角柱（ｚ軸上不定）
（ｒ，θ，ｚ）⇒球台
（ｘ´，ｙ´，ｚ）⇒角球台
（ｒ，ｒ´，θ）⇒円柱＋球（ｚ符号不定）
（ｒ，ｘ，ｙ）⇒角柱＋球（ｚ符号不定）
（θ，φ，ｚ）⇒開板（ｘｙ平面上不定）

2010.1.18-2010.8.7

楕円体

楕円体

楕円の三次元版といえば、世間では通常、楕円回転体が出てきます。
しかし、楕円回転体は、三つの径のうち、二つは等しいです。
上に示したオオバンヒザラガイみたいな図の例のように、三つの径ともばらばらの球もあります。
長い間その名前を知らず、気になってましたが、どうやら楕円体（ellipsoid）と言うようです。 まずは、放物面や双曲面など、三次元で関数の作る平面を指すもので、 その場合に楕円面と呼ばれ、その面によって囲まれるものとして楕円体と呼ばれるようです。
ネーミングに関する文句については別項で述べようと思います（笑）。 解るまでは、三次元版楕円、楕球、楕円球などと呼んでました。

扇状体

円柱状扇体１	円柱状扇体２	双円錐状扇体１
双円錐状扇体２	角柱状扇体１	角柱状扇体２
双角錐状扇体１	双角錐状扇体２

「扇状体（おうぎじょうたい）」「柱状扇体（ちゅうじょうおうぎたい）」、「双錐状扇体（すいじょうおうぎたい）」というのは造語で、本当は何て言うか知りません。
取り扱われているのを見た覚えが無い、少し気になる立体なので、オマケで載せておきました。
扇体を、扇形の球版と意識して、扇状体です。あまり好ましいネーミングでは無いと思いますが(^^;。
双錐状は、三角錐を組み合わせていったものになります。
柱状と双錐状の両方の入り混じったもっと複雑なものも考える事ができ、 そう考えると、柱状の場合は緯度的、双錐状の場合は経度的に追加されていき、 球を緯度と経度で分割したような、四角形や三角形で表面を構成された立体も出てきます。

2008.3.6-

＊補
某所で質問してるのは管理人本人です^^;。
特定されるような単語も書いてはまずいという事を知りませんでした。すみませんm(__)m。
ちなみに、「解決」と表示されてますが、解決してません……。

図形の言葉について（工事中）
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