第 １ 章 運動方程式と一般解
これ以後のページでは、時間微分を ' で表す。
例）xの２回微分はx''
運動方程式F=mx''を例としてx方向に重力が働く場合を例に解く。
この場合、x''=v'よりF=mv'と一回微分方程式に書き直し、F=mgより(gは重力加速度で負の値)
mg=mv'
v'=g両辺時間で積分して
∫gdt=∫v'dt
v=v0 + gt (v0は積分定数、初速度)
さらに v=x'より両辺積分し
∫x' dt =∫(v0 + gt) dt
x= x0 + v0t + 1/2gt2 (x0は積分定数、初期位置)
となり、変位は二つの任意定数を含む t の関数となる。x0,v0は初期位置、初速度となる。
重力に加えてF=kv （抵抗力）がある場合について考える。
抵抗力は進行方向と逆向きなので
mx''=mg-kv
mx''/(mg-kv)=1
x''/(mg-kv)=1/m
(-x''/k)/(v-mg/k)=1/m
x''/ ( v - mg/k ) = - k/m とし、両辺を時間積分し
∫x''/(v-mg/k)dt = ∫(-k/m)dt
ここでx''=v'= dv/dtと合成関数の積分公式または簡便法を用いて左辺を書き換えると
∫1/(v-mg/k) dv = ∫(-k/m)dt
log |v - mg/k| = -kt/m + C 積分定数はひとつにまとめた。
v-mg/k = e-kt/m + C
v=mg/k + e-kt/m + C ここでv=x'より
x'=mg/k+eCe-kt/m 積分して
x=mgt/k + Ae-kt/m + B
となる。ただし(-k/m)eC=A、積分定数をBとした。
これもやはり二つの任意定数を含み、mx''=mg-kvの一般解である。
また、太字部分のように左辺と右辺で変数を分ける（今回は左辺がv、右辺がt｛定数｝）ことで積分し解くことを変数分離法という。
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