第 5 章 運動方程式の一般的解法
第１章などで変数分離法を用いた運動方程式の解法などを説明したが、力が保存力である場合、一般に変数分離法では解けない。
そこで、力が保存力である場合の運動方程式の一般的解法を考える。
力が保存力であることから、
E= (1/2)mv2 + U(x) = (一定)
である。（この式は運動方程式を積分して導かれたためにエネルギー積分とも呼ばれる）この式には、x''が存在せず、x'であるvのみがあるので、この式をうまく積分すればxの解が原理的には求まるはずである。
まず、vについて解くと、
Av = { E - U(x) }1/2 [(1/2m)1/2 =A]
となる。この式は、f(x) = g(x)の形なので、変数分離ができ、
A (dx/dt) / { E - U(x) }1/2 = 1
x→x"に置き換え、両辺tで積分して
A∫x0→x [ E - U(x") ] -1/2 dx" = ∫t0→tdt = t - t0
よって
t=A∫x0→x [ E - U(x") ]-1/2 dx" + t0
となり、右辺第一項が積分できればこの方程式はt=f-1(x)の形で解ける。
この場合、解は逆関数として与えられ、任意定数はt0,x0,Eである。
t0は基準をどこにとってもいいため、実質的にこの解の任意定数はx0とEの二つであり、二階微分方程式である運動方程式の一般解となっている。
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