ディフェンダのカードの分かれかた　
　© boco_san (ぼこさん 2014/06 〜)　　　　　　　　メイリオ印刷
  1. はじめに
  2. 考え方 ステップ 1
  3. 考え方 ステップ 2
  4. なぜ 50% - 50% にならないのか？
  5. ソフトウェアの説明
  6. 組み合わせを使う計算
はじめに

　 ブリッジのプレイでは，ディフェンダ側のカードが，２人にどう分かれているかが問題になります。
　 ほとんどの場合，その分かれ方の確率まで知る必要は無く，たとえば，ACBL / JCBL から配布されている 無料ソフトウェア「ブリッジ入門 (LTPB)」の付録に確率の表が載っているので，それをチラッと見ておく程度で十分です。
　けれども，このような表を仔細に見ると，気になることがあります。
　たとえば，ディフェンダ側の枚数が２枚の場合，
　　2-0 の分かれ方は 48 % の確率で発生し，
　　1-1 の分かれ方は 52 % の確率で発生する。
と書かれています。誰しも疑問に思うのは，なぜ これが 50%-50% ではないのか ･･･ ということです。
　この疑問は，たしか，10 年ほど前に "かずちゃんの掲示板" を賑わせました｡ これに対する私の対処法は，コンピュータでプログラムを作成して，確率を計算する ･･･ というものでした。
　しかし，それでは 正しい数字が得られるにしても，分かりやすい説明には なっていません。 また，そういう説明を親切にしてくれるサイトも見当たらないようです。そこで，この計算の仕組みを丁寧に説明することにしました。

考えかた，ステップ 1

　注目するスートは，何でもよいのですが，一応 "スペード" とします。
　ここでは，２枚の分かれ方だけを取り上げます。３枚以上の場合も同様です。便宜上，２人のディフェンダを A, B と名づけましょう。このとき，スペードの枚数の分かれ方は，次の３通りあります。
　[1]　A さん 2 枚，B さん 0 枚,
　[2]　A さん 1 枚，B さん 1 枚,
　[3]　A さん 0 枚，B さん 2 枚.
このそれぞれについて，場合の数を数えます。数え方の説明は後回しにして，得られた場合の数から
　　　( [1] + [3] ) / ( [1] + [2] + [3] )
を計算すると ぴったり 48 %,
　　　[2] / ( [1] + [2] + [3] )
を計算すると 52 % という結果が得られます。
　ここで 当然のことですが，[1] と [3] は等しいので，場合の数を 独立に計算する必要はありません。

考えかた，ステップ 2

それでは，場合の数をどうやって数えたらよいでしょうか？
　考え方の出発点は，52 枚のカードのうち，ディクレアラーとダミーのカードは全て指定されており，しかも，ディフェンダの 26 枚のカードが何であるかも 既知ですが，その 26 枚が どのように 13 枚 − 13 枚に分かれているかが 不明です。
　ただし，26 枚のうち，スペードが ２枚，その他３スートが 26 − 2 = 24 枚であることは，分かっています。
　[1]　A さん スペード 2 枚，B さん スペード 0 枚.
この場合，A さんは 2 枚のスペードから ２枚 を取るので，これに対応する "場合の数" は １通りです。同時に A さんは 24 枚の３スートの山から 13 − 2 = 11 枚を抜き取ります。残ったカードを B さんが持ちます。
　念のために，[2] の場合も，考え方を調べましょう。
　[2]　A さん スペード 1 枚，B さん スペード 1 枚,
この場合，A さんは 2 枚のスペードから 1 枚 を取るので，２通りの場合がありえます。同時に A さんは 24 枚の３スートの山から 13 − 1 = 12 枚を抜き取ります。残ったカードを B さんが 取ります。B さんのカードは 完全に特定されたので，B さんについて 場合の数を数える必要はありません。

なぜ 50%-50% にならないのか

　上の考え方で，スペードだけに着目して，その他３スートを忘れると，場合の数は
　　　[1] + [3] = [2]
となるので，分かれ方の確率は 50%-50% となります。しかし，その他３スートまでを考えると，これは正しくありません。
　[1] の場合を振り返って見ると，A さんは スペードを２枚取ったために，その他スートが 13 − 2 = 11 枚です。いっぽう，[2] の場合には，A さんは スペードを 1 枚取ったので，その他スートが 13 − 1 = 12 枚です。
　 24 枚からの抜き取り枚数が このように異なるので，[1] (11 枚抜き取る) の方が [2] (12 枚抜き取る) よりも 抜き取り方が少なくなります。
　50%-50% からのズレは，このようにして理解できます。

ソフトウェアの説明

　このリンク Files.zip には，関連する小さな VB ソフトウェアを２つ納めました｡
(1) RandomDeal：52 枚のカードを乱数により配り，シミュレーションにより，分かれ方の確率を求めます。 20 万ディールほどデータ収集をすれば，よく知られている値に近づくことが分かります。
(2) SplitProb：上に述べた方法により，数学的に厳密な確率を求めるソフトウェアです。 実行すると，直ちに結果が画面に表示されます。
　ソースファイル SplitProb.frm も入れてありますので，これを読めば，一般の計算方法をご理解いただけると思います。

組み合わせを使う計算

　数学的に正確な計算をするには，組み合わせ nCr = n ! /r ! (n−r)! を使う必要がある。この記号は，n 枚のカードから r 枚を抜き出す方法が何通りあるかを示す。たとえば，13 枚のカードから２枚を引く場合は 13C2 = 13･12 / 2 = 78 通りである。
　この記号を使うと，上の３通り [1]〜[3] での 場合の数 (カードの配り方) は，２個の因子の積により与えられ，
[1]　2C2 24C11 = 1 (24!/11! 13!)
[2]　2C1 24C12 = 2 (24!/12! 12!)
[3]　これは，[1] に等しいので，計算する必要が無い。
上の [1] と [2] の比を取ると，[1] / [2] ＝ (1/2) 12 / 13 = 6 / 13 となり，これより，48 %, 52% という確率が得られる。
　この方法は，次のように，一般の場合 に拡張できる。
　いま，ディフェンダが，注目するスートであるスペードを N 枚，その他３スートを 26−N 枚 持つ場合を考える。このとき，これら N 枚 が２人のディフェンダに x 枚 + (N−x) 枚 のようにスプリットする "場合の数" W (N,x) は，上と同様の考えにより，A さんが スペード N 枚から x 枚を取り，スペード以外の３スート  26−N 枚から  13−x 枚を取るので，
　　　W (N,x)  =  N Cx   26−N C13−x
となる。これを x について 0 から N まで加えた総和は，
　　Σx=0, N　W (N,x)　＝　Σx=0, N　N Cx   26−N C13−x　＝　26C13
となる。ただし，ここでは２項係数の和公式を用いた。
　したがって，それぞれの W (N,x) を 総数 26C13 (=10,400,600) で割ることにより，それぞれの場合の確率が得られる。

この基本アルゴリズムを Visual Basic で書くと，
total = Combin(26,13)
For N = 2 To 8　　　　　　　　' ２枚から８枚までの分かれ方を調べる。
　For x = 0 To N \ 2
　　Events = Combin(N, x) * Combin(26 − N, 13 − x)
　　If x < > N − x Then Events = Events * 2　' ２人の枚数が等しくない場合.
　　Print N; " cards into "; x; "−"; N − x; " "; Events / total * 100; "%"
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