【圏論の定義】

圏(category)$\mathscr{A}$ とは:
$\bullet$ 対象 (objects)の集まり$ob(\mathscr{A})$
$\bullet$ 各 $A, B \in ob(\mathscr{A})$, について$A$から$B$への射(maps,morphisms)または矢印(arrows)の集まり $\mathscr{A}(A, B)$
$\bullet$ 各 $A, B, C \in ob(\mathscr{A})$について,合成(composition)とよばれる関数
\begin{array}{ccc} \mathscr{A}(B, C) \times \mathscr{A}(A, B) & \to & \mathscr{A}(A, C)\\ (g, f) & \mapsto & g \circ f \end{array} $\bullet$ 各 $A \in ob(\mathscr{A})$について,$A$上の恒等射(identity)とよばれる$\mathscr{A}(A, A)$の元 $1_A$ からなり、以下の公理を満たすもののことである。
$\bullet$ 結合法則(associativity): 任意の $f \in \mathscr{A}(A, B)$, $g \in \mathscr{A}(B, C),h \in \mathscr{A}(C,D)$ について $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$　が成り立つ
$\bullet$ 単位法則(identity laws) : 任意の $f \in \mathscr{A}(A, B)$について $f \circ 1_A = f = 1_B \circ f$が成り立つ.

射$g,f$について$cod (f)=dom (g)$であるなら$f,g$の合成
(composition)と呼ばれる$dom (f)$から$cod (g)$への射が
一意に存在する。これを、$g\circ f$と書く。
\[ \begin{xy} \xymatrix { & B \ar[dl]_{g} & \\ C & & A \ar[ul]_{f} \ar[ll]^{g \circ f} } \end{xy} \] 「$g$と$f$の"合成"」

二つの対象の間にたかだか一つの射し
かない（射があっても一つしかない）圏を
”前順序集合”と呼ぶ。
$a \longrightarrow b \overset{def}{\Longleftrightarrow} a \leq b$

【定義2.7】
対象がただ一つの圏をモノイド(monoid)と呼ぶ。

圏C(category)とは
$CI$ 対象の集合$Ob(C)$が定まり、
$CII$ 任意の対象$A,B$に対して、$A$を始域$B$を終域とする射の集合
$Hom(A,B)$ (または$Hom_{c}(A,B)$と書く)
が与えられ、
$CIII$ $(A,B)\neq (C,D)$のとき
$Hom(A,B)\cup Hom(C,D)=\emptyset $ (空集合)、
$CIV$ 特に$Hom(A,A)$は恒等射$1_{A}$を含み、
$CV$ 合成写像
$Hom(A,B)\times Hom(B,C) \rightarrow Hom(A,C)$
すなわち、$f\in Hom(A,B),g\in Hom(B,C)$に対して
$ (f,g) \rightarrow g \circ f \in Hom(A,C)$

【定義2.8】
任意の射が可逆なモノイドを群(group)と呼ぶ。