【自然変換】
定義（自然変換）
\[
\xymatrix{\mathscr{A} \ar@<0.5ex>[r]^{F}\ar@<-0.5ex>[r]_{G} & \mathscr{B} }を圏と関手とする. FからGへの\\
自然変換（natural transformation）\\
\alpha: F\Rightarrow Gとは,\mathscr{B}の射の族\left(F(A)\overset{\alpha_A}{\longrightarrow}G(A)\right)_{A\in\mathscr{A}}
であって, \\
任意の\mathscr{A}の射\\
A\overset{f}{\longrightarrow}A'に対して次の\mathscr{B}における図式
\\
\xymatrix{
F(A) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]_{\alpha_{A}} & F(A') \ar[d]^{\alpha_{A'}}\\
G(A) \ar[r]_{G(f)} & G(A')\ar@{}[lu]|{\circlearrowright}
}
\\
を可換にする（すなわち,G(f)\circ\alpha_A=\alpha_{A'}\circ F(f)）\\
となるものをいう.
\\
また, \alphaがFからGへの自然変換であることを
\\
\xymatrix{
\mathscr{A} \ar@/^8pt/[r]^{F} \ar@/_8pt/[r]_G & \mathscr{B}\ar@{}[l]|{\Downarrow\alpha}
}
のように表す.\\
\]
2つの関手 $F,\; G:\mathscr{A}\longrightarrow\mathscr{B}$ があれば，$\mathscr{A}$の射$A\overset{f}{\longrightarrow}A'$から2つの$\mathscr{B}$の射
$F(A)\overset{F(f)}{\longrightarrow}F(A'),\quad G(A)\overset{G(f)}{\longrightarrow}G(A')$
が作れます。この2つの射を可換図式のように整合的に繋いでくれる$\mathscr{B}$の
射の族$\left(F(A)\overset{\alpha_A}{\longrightarrow}G(A)\right)_{A\in\mathscr{A}}$というのは、
$F$ によって写される射$F(A)\overset{F(f)}{\longrightarrow}F(A')$を
$G$ によって写される射$G(A)\overset{G(f)}{\longrightarrow}G(A')$に
変換してくれるものと考えることができます。（「コロちゃんぬ」さんブログから）
「圏論の道案内」の定義
定義4.1
圏$\mathscr{A}$から圏$\mathscr{B}$への関手$F,G$に対して$\alpha$が$F$から$G$への
自然変換であるとは、
以下の二条件を満たすときにいう:
$\bullet$ $\alpha$は$\mathscr{A}$の各対象$A$に対して射$F(A)\overset{\alpha_{A}}\longrightarrow G(A)$を対応させる。
$\bullet$ 圏$\mathscr{A}$の任意の対象$A,A'$および任意の射$A \overset{f}\longrightarrow A'$に対して
$G(f)\circ \alpha_{A}=\alpha_{A'}\circ F(f)$が成り立つ。
このとき$F \overset{\alpha}\Longrightarrow G$と書く。また、$\alpha_{A}$を$\alpha$の$A$成分と呼ぶ。
（圏$C$:圏$\mathscr{A}$などに変更した。なお、$\mathscr{A}$は$A$の花文字、可換図は省略。）
「ベーシック圏論」から、
自然変換は射の一種であるため、それらを構成できることが期待されます。
自然変換
\[
\xymatrix@C+1.5em{
\mathscr{A}
\ruppertwocell<8>^F{\alpha}
\ar[r]|G
\rlowertwocell<-8>_H{\beta}
&
\mathscr{B}
},
\]
について、複合自然変換
\[
\xymatrix@C+1.5em{
\mathscr{A} \rtwocell^F_H{\hspace{.8em}\beta \circ \alpha} &\mathscr{B}
}
\]
が、$A \in \mathscr{A}$について、$(\beta \circ \alpha)_A = \beta_A \circ\alpha_A$
と定義される。（この図式はいわゆる『垂直合成』(vertical composition)）
また、恒等自然変換
\[
\xymatrix@C+1em{
\mathscr{A} \rtwocell^F_F{\hspace{.5em}1_F} &\mathscr{B}
}
\]
も、任意の関手$F$ごとに
$(1_F)_A = 1_{F(A)}$によって定義される。
だから、任意の二つの圏$\mathscr{A}$ と $\mathscr{B}$について
$\mathscr{A}$から
$\mathscr{B}$への関手を対象とし、
それらの間の自然変換を射とする圏が存在することになる。これは
$\mathscr{A}$ から $\mathscr{B}$への関手圏（functor category）とよばれ
$[\mathscr{A},\mathscr{B}]$あるいは$\mathscr{B}^\mathscr{A}$.
と書かれる。
定義1.3.10
$\mathscr{A}\ ,\ \mathscr{B}$ を圏とする。
$\mathscr{A}$から$\mathscr{B}$への関手の間の自然同型（natural isomorphism）とは、
$[\mathscr{A},\mathscr{B}]$における同型射のことである。
ここで証明をいくつか、これも、「ベーシック圏論」から。覚書(6)の（注）に逆射は存在すればただ一つに定まる、
と書いたが、まず、それから。
$\bullet$ 圏の射が逆射をもつならば、それはただ一つに定まる。。 つまり、射$f：A\rightarrow B$が与えられた場合、
$g\circ f = 1_{A}$および$f\circ g = 1_{B}$となる$g：B\rightarrow A$はただ一つであること。（逆射の一意性）
【証明】\ 逆射が2つあると仮定し、これらを$g,g':B\rightarrow A$とすると、
$g'\circ f=1_{A}=g\circ f\ ,\ f\circ g'=1_{B}=f\circ g$が成り立つから
$g'=g'\circ 1_{B}=g'\circ (f\circ g)=(g'\circ f)\circ g=1_{A}\circ g=g$
ゆえに、逆射は存在すれば、ただ一つである。
$\bullet$ 関手が同型を保持することを示す。 つまり、$F：\mathscr{A}\rightarrow \mathscr{B}$は関手であり、$A、A'\in \mathscr{A}$が$A \cong A'$、なら$F(A)\cong F(A')$であること。
【証明】 $A \cong A'$だから、$f:A\rightarrow A'\ ,\ g:A'\rightarrow A$が存在して、$g\circ f=1_{A}$かつ$f\circ g=1_{A'}$
$F：\mathscr{A}\rightarrow \mathscr{B}$は関手より、
$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)=F(1_{A})=1_{F(A)}$
$F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)=F(1_{A'})=1_{F(A')}$
$F(g)$は$F(f)$の逆射であるから、$F(A)\rightarrow F(A')$同型射。
ゆえに、$F(A)\cong F(A')$である。
$\bullet$ $\xymatrix@1{\mathscr{A}\rtwocell^F_G{\alpha} &\mathscr{B}}$ を自然変換とする。 その場合、$\alpha$ が自然同型であることと、
$\alpha_A : F(A) \to G(A)$ が各 $A \in \mathscr{A}$について同型射であることは同値である。（証明、次回）
圏 $\mathscr{A}$ と $\mathscr{B}$, について、直積圏 （product category）
$\mathscr{A} \times \mathscr{B}$ が次で定義される。
\[
\begin{align*}
ob(\mathscr{A} \times \mathscr{B}) &
=
ob(\mathscr{A}) \times ob(\mathscr{B}),\\
(\mathscr{A} \times \mathscr{B})((A, B), (A', B')) &
=
\mathscr{A}(A, A') \times \mathscr{B}(B, B').
\end{align*}
\]
別の表現をするならば、直積圏 $\mathscr{A} \times \mathscr{B}$
の対象は組 $(A, B)$ で（ここで $A \in \mathscr{A}\ ,\ B \in \mathscr{B}$）
射 $(A,B) \to (A', B')$ は組 $(f, g)$である。（ここで$f : A \to A'$ は $\mathscr{A}$ の射で $g : B \to B'$ は $\mathscr{B}$の射） $\mathscr{A} \times \mathscr{B}$ における
合成と恒等射の定義については問とする。理にかなった定義は一通りしかない、それを書き下せ。
【合成と恒等射：問への解答】
合成
\begin{align*}
((\mathscr{A} \times \mathscr{B})((A', B'), (A'', B'')))\times ((\mathscr{A} \times \mathscr{B})((A, B), (A', B'))) &
\to
(\mathscr{A} \times \mathscr{B})((A, B), (A'', B''))\\
((h,i),(f,g))\to (h,i)\circ (f,g)=(h\circ f,i\circ g)
%\mathscr{A}(A, A') \times \mathscr{B}(B, B').
\end{align*}
恒等射 $1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B})$
と定義すると
\[
\xymatrix{
(A,B) \ar[r]^{(f,g)} \ar[dr]_{(h,i)\circ (f,g)} &
(A',B') \ar[d]^{(h,i)} \\
&
(A'',B'').
}
\]
$(A,B),(A',B'),(A'',B'')\in \mathscr{A} \times \mathscr{B}$つまり、
$A,A',A''\in \mathscr{A},B,B',B''\in \mathscr{B},f \in\mathscr{A}(A,A'),h\in \mathscr{A}(A',A''),g \in \mathscr{B}(B,B'),i\in \mathscr{B}(B',B'')$となるので、
$\mathscr{A} \times \mathscr{B}$は圏の公理を満たすことがわかる。
$\bullet$ $\xymatrix@1{\mathscr{A}\rtwocell^F_G{\alpha} &\mathscr{B}}$ を自然変換とする。 その場合、$\alpha$ が自然同型であることと、$\alpha _{A} : F(A) \to G(A)$
が各$A \in \mathscr{A}$について同型射であることは同値である。
【（証明】
$(\Rightarrow)\ \alpha$が自然同型、言い換えると$[\mathscr{A},\mathscr{B}]$における同型射だから、$A\in \mathscr{A}$について、射$\alpha _{A}$に対する射$\beta _{A}:F(g)\to F(f)$
が存在するはずで、次のような図式がかける。
\[
\xymatrix{
F(A) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]_{\alpha_{A}} & F(A') \ar[d]^{\alpha_{A'}}\\
G(A) \ar[r]_{G(f)} & G(A')%\ar@{}[lu]|{\circlearrowright}
}
\ \ に対して\
\xymatrix{
F(A) \ar[r]^{F(f)} & F(A') \\
G(A) \ar[r]_{G(f)} \ar[u]_{\beta_{A}} & G(A') \ar[u]^{\beta_{A'}}%\ar@{}[lu]|{\circlearrowright}
}
\ \ まとめると\
\xymatrix{
F(A) \ar@(lu,ru) []^{\beta _{A}\circ \alpha _{A}=1_{F(A)}} \ar@<1ex>[d]^{\alpha _{A}} \ar[r]^{F(f)} & F(A') \ar@<1ex>[d]^{\alpha _{A'}} \\
G(A) \ar@(ld,rd) []_{\alpha _{A}\circ \beta _{A}=1_{G(A)}}
\ar@<1ex>[u]^{\beta _{A}} \ar[r]_{G(f)} & G(A') \ar@<1ex>[u]^{\beta _{A'}}%.
}
\]
各$A\in \mathscr{A}$について、$\alpha _{A}\circ \beta _{A}=1_{G(A)},\beta _{A}\circ \alpha _{A}=1_{F(A)}$、ゆえに$\alpha _{A}$は同型射
$(\Leftarrow)$ 各$A\in \mathscr{A}$について、$\alpha _{A}:F(A) \to G(A)$は同型射より、$\beta _{A}:G(A) \to F(A)$で
$\alpha _{A}\circ \beta _{A}=1_{G(A)},\beta _{A}\circ \alpha _{A}=1_{F(A)}$となるものがただ１つ存在する。そこで、次の図式
\[
\xymatrix{
F(A) \ar@<1ex>[d]^{\alpha _{A}} \ar[r]^{F(f)} & F(A') \ar@<1ex>[d]^{\alpha _{A'}} \\
G(A) \ar@<1ex>[u]^{\beta _{A}} \ar[r]_{G(f)} & G(A') \ar@<1ex>[u]^{\beta _{A'}}%.
}
\]
から、任意の$A,A'\in \mathscr{A}$、任意の$f\in \mathscr{A}(A,A')$について、$\alpha$は自然
変換だから、
$\alpha _{A'}\circ F(f)=G(f)\circ \alpha _{A}$、これより、
$\beta _{A'}\circ (\alpha _{A'}\circ F(f))\circ \beta _{A}=\beta _{A'}\circ (G(f)\circ \alpha _{A})\circ \beta _{A}$
$(\beta _{A'}\circ \alpha _{A'})\circ F(f))\circ \beta _{A}=\beta _{A'}\circ G(f)\circ (\alpha _{A}\circ \beta _{A})$
$1_{F(A')}\circ F(f)\circ \beta _{A}=\beta _{A'}\circ G(f)\circ 1_{G(A)}$
つまり、$F(f)\circ \beta _{A}=\beta _{A'}\circ G(f)$、これより$\beta$は自然変換。
$\alpha _{A} \circ \beta _{A}=1_{G},\beta _{A} \circ \alpha _{A}=1_{F}$もいえるので、$\alpha _{A}$は自然同型 【証明終】
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