硬貨の枚数
[問題
]
問題2->
[解答] $$1円,5円,10円硬貨をそれぞれ、x,y,z枚とする。$$ 題意より
$$x+5y+10z=a\cdots(1) , x+y+z=b\cdots(2)$$
$$(1)-(2)\ \ 4y+9z=a-b$$
$$\ \ \ \ \ 4y=a-b-9z$$
$$a-b-9z\equiv 0\pmod 4$$
$$a-b\equiv 9z\pmod 4$$
要するにこの場合、
合計金額と
硬貨枚数の差を4で割った余りと、
$$9z \equiv 1 \times z\equiv z\pmod 4$$
だから
$$9z\equiv z\pmod 4$$
ゆえに
$$a-b\equiv z\pmod 4$$
$$1\leqq x,1\leqq y,1\leqq zと(1)から、z\leqq \frac{a}{10}-2$$
としてよい。
１０円硬貨の枚数を4で割った余りが一致するものをさがせ
という話になる。
$$ z\pmod 4 が上で求めたもの(a-b\pmod 4)$$
$$と一致するものについて、次のように計算すればよい。$$
$$x=\frac{ \left | \begin{array}{cc}
a-10z & 5 \\ b-z & 1 \end{array} \right | }
{ \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 1 & 1
\end{array} \right | } ,
z=\frac{ \left | \begin{array}{cc} 1
& a-10z \\ 1 & b-z \end{array} \right | } {
\left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 1 & 1
\end{array} \right | }$$
$$となるので、$$
$$x=-\frac{a-5z-5b}{4} \cdots(3) ,
y=-\frac{9z+b-a}{4} \cdots(4)$$
[例]
1円,5円,10円硬貨が、いずれも各1枚以上で20枚あり、合計金額は70円である。各硬貨の枚数は何枚か求めなさい。
$$1 \leqq z\leqq \frac{70}{10}-2=5だから、$$ $$z=5,4,3,2,1 のうち$$ $$z=2だけである。これを(3),(4)に代 入して解くと、$$ $$x=-\frac{70-5\times 2-5\times 20}{4}=-\frac{-40}{4}=10$$ $$y=-\frac{9\times 2+20-70}{4}=-\frac{-32}{4}=8$$
[答]1円10枚,5円8枚,10円2枚
こういう問題を小学３、４年生に出す例があると聞いた。試行錯誤の末、わかる子もいるだろうが、これは小学３、４年生には易しくはないと思う。ネット上にも、ＱアンドＡのサイトが幾つかあるほどだ。何はともあれ上のような解き方を試みた。硬貨の枚数と金額を文字a,bとしたのは、いろいろな問題を作れるように、ということからだ。合同式を使ったのは、試行錯誤少なく整数解を定め、また求めるためと考えた。割り算の余りをみることが意外な結果を導く。余りといえば残り物のイメージだが、”福あり”だと思う。この割り算の余りなどを対象とする。 合同式 は初等整数論の豊かな内容の一員であるが、銀林浩氏はその著「初等整数論入門」（ちくま学芸文庫）で、整数論は「近年やや冷遇され」ていると書いておられる。