第 3 章 エネルギー
直線上を運動する質点に働く力の大きさが、時刻や速度に関係なく、位置によって決まる、つまり
F = F(x)
と表せるとき、この力Fは保存力であるという。
例えば、重力やクーロン力、弾性力などが保存力である。
さらに、力Fが保存力であるとき、
U(x) ≡ -∫F(x)dx
という関数U(x)を考え、このU(x)をポテンシャルエネルギー、または単にポテンシャルという。重力による位置エネルギーなどがポテンシャルエネルギーである。
定義からも明らかなように、ポテンシャルエネルギーの大きさは U(0)=0 の場合に質点をx=0の点からxだけ動かすのに必要な仕事の大きさに等しく、また
F(x) = - dU/dx
という関係を満たす。
またこのことから、運動方程式はポテンシャルを用いて、
mx'' = - dU/dx
と表すこともできる。
さらに、質点の質量がmで速度がvであるとき、
T≡(1/2)mv2
を運動エネルギーという。
そして、
E≡ T+U = ≡(1/2)mv2 + U(x)
を質点の全エネルギー、もしくは単に質点のエネルギーという。
さらにdE/dtを考えると、
dE/dt = mv・dv/dt + dU/dt
合成関数の微分公式を使って
dE/dt = mv・dv/dt + dx/dt ・ dU/dx
dx/dt = v 、dv/dt = x''より
dE/dt = v(mx''+ dU/dx) = 0
となる。（最後に -dU/dx = F = mx''を使った）
このことからエネルギーEは時間的に普遍であるとわかる。（エネルギー保存則）
また、dE/dt=0より
E=E0 (E0は定数）となり、Eの値は初期条件により決定される。
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