曲った時空 

１. 局　所　慣　性　系

等価原理により適当な座標系を選ぶ事で、重力の大きさをどのようにでも変える事が出来る。例えば加速度αで上昇しているロケットの中での重力は地球の重力＋αである。自由落下しているエレベータの内部では重力は打ち消され無重力状態になっている。このようにして重力を消し去った基準系を局所慣性系又は局所ローレンツ系と呼ぶ。これはエレベータの内部の重力が一様である事を仮定している。エレベータ内部の重力が非一様、下の方が強いとすると、下の方にある物体は重力が強い分だけ下の方に動き慣性系でなくなる。このように大域的な慣性系を作る事は不可能である。しかしどんな重力場も時間と空間の十分小さな領域にわたっては一様と見なす事が出来る。従っていつも局所慣性系を作る事が出来る。それらは加速された粒子の瞬間的共動慣性系（＝MCR系）に類似したものである。重力場の非一様性は潮の干満を引き起こす。この見かけ上生じる力を潮汐力と言う。もし地球が一様な重力場の中にあれば、潮の干満は起こらない。月と太陽の重力場の地球の直径にわたる違いによって潮の干満が起こる。

(1) 局所平坦性

局所慣性系は当然局所的に平坦である。
特殊相対論に於けるミンコフスキー空間は、ユークリッド幾何学の平行線の公理に従うから平坦なである。しかしそのメトリックはユークリッド空間のそれとは異なるのでユークリッド空間ではない。光子は固有長ゼロのまっすぐな世界線上を動く。従って特殊相対論は平坦な非ユークリッド幾何学に従う。
非一様な重力場では平行に動き始めた二つの近接した粒子の世界線は一般に平行にとどまってない。従って重力のある時空は平坦でない。ユークリッド幾何学で平行線の公理を落とすと、曲った空間が得られる。例えば、球の表面は曲っている。球面上での局所的な直線を伸ばしていくと大円になり、二つの大円は必ず交わる。それでも任意の点に十分近い範囲では幾何学は平坦であると見なす事が出来る。一つの街の地図は一枚の紙の上に歪みなしに描く事が出来る。しかし地球全体についてしようとすれば失敗する。球はこのように局所的に平坦である。

(2) 局所平坦性のメトリックによる数学的表現

特殊相対論では時空が平坦であったからｇ_αβ＝η_αβであったが、一般相対論では上で述べた様に重力が存在する為に、大域的にはそういう系は存在しない。しかし局所的にはｇ_αβ＝η_αβとなる系が存在する。
線形代数のよく知られた定理によりｇ_αβをｇ_αβ＝η_αβとする事が可能である。 （詳細は付録１：正方行列の対角行列への変換を参照)

曲った空間上の任意の点Pを原点とし
　　　ｇ_αβ（Ｘ^μ）＝η_αβ＋０[（Ｘ^μ）²]

となる座標系｛Ｘ^α｝をとる事が出来る。即ち点Pの近くではメトリックが近似的に特殊相対論のものとなって いて、その差は座標の２次大きさでしかない。上の式をもう少し正確にいうと
　　　◆　ｇ_αβ（P）＝η_αβ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１）
Pの近傍でもｇ＝ηからのずれが微小であるためには
　　　◆　∂ｇ_αβ（P）／∂Ｘ^γ＝０　――→ 　 Γ^α_βγ＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（２）
空間が厳密に平坦でなければ
　　　◆　∂²ｇ_αβ（P）／∂Ｘ^γ∂Ｘ ^μ≠ ０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（３）
局所慣性系が存在するというのは、どのように曲った空間でも、任意の点において、その空間に接する平坦な空間が存在するという事である。局所慣性系で成り立つテンソル方程式は一般の座標系でも成り立つ。（一般の座標系から局所慣性系へのテンソルの成分の変換で証明できる。）
【局所平坦性の証明】

２. 共　変　微　分

局所慣性系は局所的には全てが特殊相対論的である系であり、これらの基底ベクトルの微分はゼロである。従ってベクトル の共変微分は、クリストッフェル記号が消えて、単なる成分の偏微分で与えられる。即ち
　　　Ｖ^α_；β＝Ｖ^α_，β　 　　　　　　（この系の点Ｐで）
　　　ｇ^α_；β＝ｇ^α_，β＝０　　　　　（点Ｐで）
ｇ^α_；β＝０　はテンソル方程式なので一般の座標系でも成り立つ。
曲った空間の任意の座標系でも
　　　◆　Γ^μ_αβ＝Γ^μ_βα ・・・・・・・・・・・・・・・　（７）
　　　◆　Γ^α_μν＝ｇ^αβ （ ｇ_βμ,ν＋ｇ_βν,μーｇ_μν,β ） ・・・・・・・・・・・・・・・　（８）
　　　◆　Ｖ^α_；β＝Ｖ^α_，β＋Γ^α_μβＶ ^μ ・・・・・・・・・・・・・・・　（９）
　　　◆　Ｐ_α；β＝Ｐ_α，βーΓ^μ_αβＰ_μ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１０）
　　　◆　Ｔ^αβ_；γ＝Ｔ^αβ_，γ＋Γ^α_μγＴ ^μβ＋Γ^β_μγＴ^αμ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１１）
が成り立つ。　（曲線座標系の　７. 共　変　微　分 と ９. クリストッフェル 記号とメトリックを参照）
局所慣性系では Γ^μ_αβ＝０ であるが、この系での点Ｐに於ける  Γ^μ_αβ の微分は ｇ_αβ,μν を含むので一般には 全部がゼロにはならない。しかし時空が平坦なら Γ^μ_αβ の微分はゼロである。曲っ た空間と平坦な空間との違いは、任意の点でのクリストッフェル記号の微分（＝メトリックの２回微分）に現れる。
【発散の公式】

３. 平　行　移　動

ベクトルＶを点Ｐから接近したＱへ移動させた時、局所慣性系におけるベクトルＶの成分が変わらない時、これを平行移動であるという。どの様に曲った空間でも任意の点においてその空間に接する平坦な空間があるのでその空間上で平行移動を行えばよい。

上で述べた平行移動を数式で表す。
ベクトル場  が下図の様にある曲線上の各点で定義されている。
ベクトル ＝ は曲線に接するベクトルである。（ は曲線の位置ベクトル。λは曲線に沿 ったパラメーター ）
　　　＝（Ｘ⁰，Ｘ¹，Ｘ²，Ｘ ³）
　　　＝（ ，，， ）
　　　＝
 が平行移動の時、局所慣性系では点Ｐでの  の 成分は曲線に沿って一定でなくてはならない。即ち
　　　＝０
書き換えると
　　　＝Ｕ^βＶ^α_，β=Ｕ ^βＶ^α_；β＝０
Ｕ^βＶ^α_；β＝０が成り立つのは、局所慣性系ではクリストッフェル記号（＝Γ ^α_μβ）が０だからである。
故に平行移動の条件として
　　　◆　Ｕ^βＶ^α_；β＝０　　　　 Ｖ^α_；β＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１６）
Ｖ^α_；β＝０ はテンソル方程式なので一般の系でも成り立つ式である。

４. 測　地　線

測地線とは二つの点を結ぶ最短の経路の事である。局所慣性系では物体は重力を感じないで直線運動をする。その軌道に沿って次々と局所慣性系をつないでいけば物体の運動の軌跡が分かる。 前章で一般のベクトル  の平行移動を考えた。この  を  に代えた、即ち接線ベクトル  を平行移動させた式が測地線の方程式になる。
　　　Ｕ^βＵ^α_；β＝Ｕ^βＵ^α_，β＋Γ^α_μβ Ｕ^μＵ^β＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１７）
λを曲線のパラメーターとすると、Ｕ^βＵ^α_，β　なので上の式は
　　　◆　 ＋Γ^α_μβ  ＝ ０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（１８）
となる。これが測地線の方程式である。クリストッフェル記号は座標｛Ｘ^α｝の既知関数であるから、この式はＸ^α（λ）の４元連立２階非線形の微分方程式である。これは λ＝λ₀ で Ｘ^α₀＝Ｘ^α（λ₀） と Ｕ^α₀＝（ｄＸ^α／ｄλ）_λ0 という初期条件が与えられればただ一つの解をもつ。従って初期の位置（Ｘ^α₀）と初期の方向（Ｕ^α₀）を与える事でただ一つの測地線が得られる。
平坦な空間ではクリストッフェル記号は消えるので測地線の式は   ＝ ０ となる。これを解くと（二次元で）
　　　X¹＝ａλ＋ｂ　，　X²＝ｃλ＋ｄ　　Y=AX +B
と直線の式となる。
曲った空間の時には、重力場の方程式でメトリックを求める事でクリストッフェル記号の値が決まる。それを測地線の方程式に代入して測地線を求める。
λがある測地線のパラメーターで、新しいパラメーターを定数ａとｂを使って
　　　φ＝ａλ＋ｂ
で定義するとφは上記の測地線の方程式が成り立つパラメーターであって
　　　 ＋ Γ^α_μβ   ＝ ０
となる。一般的にはφのようなλの線形変換によってのみ測地線の方程式を満たす新しいパラメーターが与えられる。このようなλやφのようなパラメーターをアフィンパラメーターという。

５. 曲　率　テ　ン　ソ　ル

メトリックは時空が平坦であるか曲っているかを表し、その１階微分は時空の傾き（勾配）ともいうべき量であるから、クリストッフェル記号は時空の各点における接線や接平面の傾きのように狭い範囲の直線的な性質を表現するものである。曲率テンソルはメトリックの２階微分であるから、これは接平面の傾きが変化する割合を表し、曲面の曲率を特徴づけるものである。
曲率を求めるために　「３. 平　行　移　動」　で述べた閉じた曲線のまわりでベクトルを平行移動する例に戻る。曲面の上でベクトルを平行移動する時、経路によってちがった結果になる。それを表すのがリーマンの曲率テンソルである、これを曲率の定義に使う。
点Ａで定義されたベクトル  が点Ｂ₁に平行移動される。平行移動の法 則　Ｖ^α_；ρ＝Ｖ^α_，ρ＋Γ^α_λρＶ ^λ＝０　より
　　　＝ーΓ^α_λρＶ^λ
従って点Ｂ₁でのベクトルの成分は
　　　Ｖ^α（Ｂ₁） ＝ Ｖ^α（Ａ)＋ ＝ Ｖ^α（Ａ)ー
　　　　　　　　　＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（Ａ)ｄ ₁Ｘ^ρ　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（１９）
　　　　　　　　 同様に点Ｂ₁から点Ｃへ平行移動させた時の点Ｃでのベクトルの成分は
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ｂ₁)ー［Γ^α_βν］ _B1 Ｖ^β（Ｂ₁)ｄ₂Ｘ^ν　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（２０）
　　　　 ［Γ^α_βν］_B1 は点Ｂ₁に於ける  Γ^α_βν の値で、単なる Γ^α_βν は点Ａに於け る値である。
　　　［Γ^α_βν］_B1 ＝ Γ^α_βν＋ Γ^α_βνｄ₁Ｘ^μ
である。従って
　　　［Γ^α_βν］_B1 Ｖ^β（Ｂ₁) ＝  （Γ^α_βν＋ Γ^α_βνｄ₁Ｘ^μ）（Ｖ^β（Ａ)ー Γ^β_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ^ρ）
　　　Γ^α_βνＶ^β（Ａ)ー Γ^α_βνΓ^β_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ^ρ ＋（ Γ^α_βνｄ₁Ｘ^μ ）（Ｖ^β（Ａ)） 　・・・・・　（２１）
（１９）と（２１）を（２０）の右辺に代入すると
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（ Ａ)ｄ₁Ｘ^ρ
　　　　　　ー［Γ^α_βνＶ^β（Ａ)ー Γ^α_βνΓ^β_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ^ρ ＋（ Γ^α_βνｄ₁Ｘ^μ ）（Ｖ^β（Ａ)）]ｄ₂Ｘ^ν
　　　＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ ^ρーΓ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ₂Ｘ^ν
　　　　　＋Γ^α_βνΓ^β_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ ^ρｄ₂Ｘ^ν ー Γ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν

上の式の右辺の第四項のダミーの添字、λ→β，β→τ，ρ→μ　にそれぞれ書き換えると
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（ Ａ)ｄ₁Ｘ^ρーΓ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ₂Ｘ ^ν
　　　　　　　　　＋Γ^α_τνΓ^τ_βμＶ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν ー Γ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν
右辺の第三項と第四項を共通項、Ｖ^β（Ａ)ｄ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^νで 括ると
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（ Ａ)ｄ₁Ｘ^ρーΓ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ₂Ｘ ^ν
　　　　　　　　　＋（Γ^α_τνΓ^τ_βμ ー Γ^α_βν）Ｖ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν　 　　・・・・・・・・・・・・　（２２）
上の式がＡ→Ｂ₁→Ｃとベクトルを平行移動させた時のＣ点に於けるベクトルの成分である。
Ａ→Ｂ₂→Ｃとベクトルを平行移動させた時のＣ点に於けるベクトルの成分も同様に計算して求まるが、（２２） の式でｄ₁Ｘとｄ₂Ｘを取り換えれば簡単に求まる。即ち
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_λρＶ^λ（ Ａ)ｄ₂Ｘ^ρーΓ^α_βνＶ^β（Ａ)ｄ₁Ｘ ^ν
　　　　　　　　　＋（Γ^α_τνΓ^τ_βμ ー Γ^α_βν）Ｖ^β（Ａ)ｄ ₂Ｘ^μｄ₁Ｘ^ν
ダミーの添字をそれぞれ書き換えると
　　　Ｖ^α（Ｃ） ＝ Ｖ^α（Ａ)ーΓ^α_βνＶ^β（ Ａ)ｄ₂Ｘ^νーΓ^α_λρＶ^λ（Ａ)ｄ₁Ｘ ^ρ
　　　　　　　　　＋（Γ^α_τμΓ^τ_βν ー Γ^α_βμ）Ｖ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν 　　・・・・・・・・・・・・　（２３）
（２３）から（２２）を引き、経路の違いによる点Ｃでのベクトルの成分の差、δＶ^α（Ｃ）を求めると
　　　δＶ^α（Ｃ） ＝ Ｒ^α_βμνＶ^β（Ａ)ｄ ₁Ｘ^μｄ₂Ｘ^ν
ここで
　　　◆　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α_βμ，ν＋Γ^α_τμΓ^τ_βνー Γ^α_τνΓ^τ_βμ 　・・・・・・・・・・・　（２４）
Ｒ^α_βμνは「リーマンの曲率テンソル」と呼ばれ、ユークリッド幾何学の平行線の公理の破れ、即ち空間の歪みの程度を表す四階の（１，３）テンソルである。 空間が平坦なら Ｒ^α_βμν ＝ ０ である。

６. 測地線偏差の方程式

曲がった座標系では平行線は延長していくと平行でなくなる。この事をリーマンテンソル及び連結ベクトルを使って定式化した方程式を測地線偏差の方程式という。
点Ａでは全てのクリストッフェル記号が消えるから、点Ａでの測地線方程式は
　　　＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（２５）
となる。点Ａ'ではクリストッフェル記号は消えないので、点Ａ'での測地線方程式は
　　　＋Γ^α₀₀（Ａ'）＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（２６）
である。ここで点Ａ'に於いてやはりＶ^α＝δ^α₀となるように座標系を選んだ。 ＡとＡ'は  だけしか離れていないので
　　　Γ^α₀₀（Ａ'）  Γ^α_00,βξ^β ・・・・・・・・・・・・・・・　（２７）
が成り立つ。（テーラーの定理 f（a＋x）−f（a） xf'（a） を応用する。）
式（２６）と（２７）より
　　　＝ーΓ^α_00,βξ^β ・・・・・・・・・・・・・・・　（２８） ベクトル  の成分ξ^αは、ｘ^α（λ，測地線 ）ーｘ^α（λ，測地線 ）で与えられる。従って点Ａで
　　　 ＝  ー  ＝ ーΓ^α_00,βξ^β ・・・・・・・・・・・・・・・　（２９） となる。成分ξ^αの完全な２階の共変微分、∇_v∇_v を求める。
　　　∇_v∇_vξ^α ＝ ∇_v（∇_vξ^α） ＝ （∇_vξ^α）＋Γ^α_β0（∇_vξ^β） 　・・・・・・・・・　（３０）
　　　　　　（最後の項のクリストッフェル記号の添字0は ｄλ＝ｄτ＝ｄｔ より0である）
局所慣性系では点Ａにおいてクリストッフェル記号は消え（Γ^α_β0＝０）、クリストッフェル記号の微分は消えないので
　　　∇_v∇_vξ^α ＝ （∇_vξ^α） ＝ （ξ^α＋Γ^α_β0ξ^β） ＝ ξ^α＋Γ^α_β0,0ξ^β
が点Ａで成り立つ。式（２９）と上の式より
　　　∇_v∇_vξ^α ＝ （Γ^α_β0,0ーΓ^α_00,β）ξ^β ・・・・・・・・・・・・・・・　（３１）
式（２４）より、Γ^α_β0,0ーΓ^α_00,β ＝ Ｒ^α_00βなので
　　　∇_v∇_vξ^α ＝ Ｒ^α_00βξ^β ＝ Ｒ^α_μνβＶ^μＶ^νξ^β　　（∵ Ｖ^μ＝ δ^μ₀だから）
が得られる。最終的な結果は系に依存せず、従って、任意の基底で
　　　◆　∇_v∇_vξ^α ＝ Ｒ^α_μνβＶ^μＶ^νξ^β　　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（３２）
である。平坦な空間での測地線は Ｒ^α_μνβ＝０ なのでその間隔は変化しない。しかし、曲がった空間ではその間隔は変化する。この式を測地線偏差の方程式という。この式は重力波の偏りを計算する時に用いられる。

７. ビアンキの恒等式

ビアンキの恒等式を証明する前に点Ｐに於ける局所慣性系での リーマンの曲率テンソルＲの成分を調べておく。
局所慣性系では Γ^α_μν＝０ であるが、メトリックの２階の微分は０でないから
　　　Γ^α_μν，σ＝ｇ^αβ （ ｇ_βμ,νσ＋ｇ_βν,μσーｇ_μν,βσ ）
点Ｐで Γ^α_μν＝０ だから、式（２４）のリーマンの曲率の右辺の第三項（Γ^α_τμΓ^τ_βν）と
第四項（ Γ^α_τνΓ^τ_βμ）は０となる。従って
　　　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α_βμ，ν ＝ ｇ^ασ （ ｇ_σβ,νμ＋ｇ_σν,βμーｇ_βν,σμ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーｇ_σβ,μνーｇ_σμ,βν＋ｇ_βμ,σν）
メトリックは対称で、偏微分は常に交換可能だから ｇ_σβ,νμ＝ｇ_σβ,μν
よって、点Ｐに於ける局所慣性系での リーマンの曲率テンソルＲは
　　　◆　Ｒ^α_βμν ＝ ｇ^ασ （ｇ_σν,βμーｇ_σμ,βν＋ｇ_{βμ, σν}ーｇ_βν,σμ） 　　・・・・・・・・・・・　（３３） が得られる。添字αを（点Ｐでのこの座標系で）下げると
　　　Ｒ_αβμν ＝ ｇ_αλＲ^λ_βμν  ＝ ｇ_αλｇ^λσ （ ｇ_σν,βμーｇ_σμ,βν＋ｇ_βμ,σνーｇ_βν,σμ）
ｇ_αλｇ^λσは α＝λ＝σの時だけ０でないから
　　　◆　Ｒ_αβμν ＝  （ｇ_{αν, βμ}ーｇ_αμ,βν＋ｇ_βμ,ανーｇ_βν,αμ ） 　・・・・・・・・・・・・　（３４）
上の式より下記の二つの式が容易に導かれる。
　　　◆　Ｒ_αβμν＝ーＲ_βαμν＝−Ｒ_αβνμ＝Ｒ_μναβ・・・・・・・・・・・・・・・　（３５）
　　　◆　Ｒ_αβμν＋Ｒ_ανβμ＋Ｒ_αμνβ＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（３６）
式（３５）に於いて、Ｒ_αβμνは最初の二つの添字の中での入れ換えについてと、又次の二つの添字の中での 入れ換えについて反対称であり、最初の二つの添字と次の二つの添字の同時の入れ換えに対して対称である。
この為、Ｒ_αβμνの独立な成分の数は２１個になる。
式（３６）は式（３５）と独立な独立なものとしては、一つだけの関係式を与え、従って独立な成分の数を２０個に減らす。
（３３）と（３４）は共変微分でなく偏微分があるからテンソル方程式でない。従ってその形が導かれた座標系のみで成り立つ式である。（３５）と（３６）は一つの座標系で成り立つテンソル方程式だから、全ての基底に対して成り立つ。

（３４）をｘ^λで微分し、その結果を局所慣性系で考える。
　　　Ｒ_αβμν,λ ＝  （ｇ_{αν, βμλ}ーｇ_αμ,βνλ＋ｇ_βμ,ανλーｇ_{βν,αμ λ} ）
上の式において添字（λ,μ,ν）を順に入れ替えた式、Ｒ_αβμν,λ　、Ｒ_αβλμ,ν　、Ｒ _αβνλ,μをそれぞれ加えると、偏微分は交換可能（＝偏微分する順序の無関係性）だから０になる。
　　　Ｒ_αβμν,λ＋Ｒ_αβλμ,ν＋Ｒ_αβνλ,μ＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（３７）
局所慣性系では Γ^μ_αβ＝０ だから下記の式も成り立つ。
　　　◆　Ｒ_{αβμν；λ}＋Ｒ_{αβλμ；ν}＋Ｒ_{αβνλ；μ}＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（３８）
この式はテンソル方程式なので、任意の系で成り立つ。これを「ビアンキの恒等式」という。添字αを上付けにした下記の式も成り立つ。
　　　◆　Ｒ^α_βμν；λ＋Ｒ^α_βλμ；ν＋Ｒ^α_βνλ；μ＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（３９）
【証明】

８. リッチテンソル、リッチスカラー

リーマンの曲率テンソルで第一と第三の添え字を縮約して得られるテンソルをリッチテンソルという。リッチテンソルは対称テンソルである。
　　　◆　Ｒ_αβ＝Ｒ^μ_αμβ＝Ｒ_βα　　（　Ｒ_αβ＝ Ｒ⁰_α0β＋Ｒ¹_α1β＋Ｒ²_α2β＋Ｒ ³_α3β　） 　・・・・・　（４０）
下記の式で、クリストッフェル記号から直接リッチテンソルを求める事が出来る。
　　　◆　Ｒ_αβ＝Ｒ^μ_αμβ＝Γ^μ_αβ,μー Γ^μ_αμ,β＋Γ^μ_σμΓ^σ_αβー Γ^μ_σβΓ^σ_αμ 　　・・・・・　（４１）
【リッチテンソルの対称性の証明】 同様にリッチテンソルをメトリックで縮約した下記の量をリッチスカラー又はスカラー曲率という。これはスカラーなので、座標の選び方には関係のない、その空間の曲がり具合を表す量である。曲面論で、ガウスの曲率と呼ばれる量がある。これをＫとすると、リッチスカラーとの間に Ｒ＝２Ｋ という関係がある。
　　　◆　Ｒ＝ｇ^μνＲ_μν＝ｇ^μνｇ^αβＲ_αμβν＝Ｒ^μ_μ ・・・・・・・・・・・・・・・　（４２） 　　　　　　　　　　　（Ｒ^μ_ν＝ｇ^αμＲ_αν） 　　

９. アインシュタイン・テンソル

アインシュタイン・テンソルを導く前にｇ_αβ；μ＝０、ｇ^αβ_；μ＝０である事を確認しておく。ｇ_αβ；μ＝０は曲線座標系　９. クリストッフェル記号とメトリックを参照
ｇ^αβ_；μについては局所慣性系で考える。ｇ_αβ，μ＝０だから、ｇ_αβの要素からなる逆行列ｇ^αβの微分も０である。即ち
　　　ｇ^αβ_，μ＝０　　　　　　ｇ^αβ_；μ＝０　　　　（　∵　局所慣性系だから　）
これはテンソル方程式だから一般の座標系でも成り立つ。 この二つの式でメトリックは共変微分に自由に出し入れが出来る。
ビアンキの恒等式に左からｇ^αμを掛け、リッチの縮約を施す。
　　　ｇ^αμ［Ｒ_{αβμν；λ}＋Ｒ_{αβλμ；ν}＋Ｒ_{αβνλ；μ}］＝０
共変微分は通常の微分の積の規則に従うから
　　　（ｇ^αμＲ_αβμν）_；λ＝ｇ^αμ_；λＲ_αβμν＋ｇ^αμＲ_{αβμν；λ} 　　ｇ^αμＲ_{αβμν；λ}＝（ｇ^αμＲ_αβμν）_；λ
　　　　　　　（リッチの縮約を施した後、共変微分の記号　_；λ　を付け加えてやればよい）
従って前述の式の第一項はＲ_βν；λ、第二項は λとμが反対称だからＲ_{αβλμ；ν}＝−Ｒ_{αβμλ；ν}（６. ビアンキの恒等式　 （３）を参照）
従って第二項は−Ｒ_βλ；ν、第三項はＲ^μ_βνλ；μ
よってビアンキの恒等式に左からｇ^αμを掛けた結果は
　　　Ｒ_βν；λ−Ｒ_βλ；ν＋Ｒ^μ_βνλ；μ＝０　　Ｒ_βν；λ−Ｒ_βλ；ν−Ｒ^μ_βλν；μ＝０
上の式にさらにｇ^βνを掛けると
　　　Ｒ_；λ−Ｒ^μ_λ；μ−Ｒ^μ_λ；μ＝０　　Ｒ^μ_λ；μ−Ｒ_；λ＝０
Ｒ_；λ＝(δ^μ_λＲ）_；μ　だから、上の式は
　　　（Ｒ^μ_λ−δ^μ_λＲ）；μ＝０
となる。ｇ^λνを掛けると
　　　（Ｒ^μν−ｇ^μνＲ）；μ＝０
Ｇ^μν＝Ｒ^μν−ｇ^μνＲ　とおくと
　　　◆　Ｇ^μν_；μ＝０ ・・・・・・・・・・・・・・・　（４３）
　　　◆　Ｇ^μν＝Ｒ^μν−ｇ^μνＲ＝Ｇ^νμ ・・・・・・・・・・・・・・・　（４４）
この対称なテンソル（＝Ｇ^μν）を「アインシュタイン・テンソル」という 。その発散（＝Ｇ^μν_；ν）はゼロである。アインシュタイン・テンソルは重力場の方程式の中で
　　　Ｇ^μν＝８πＴ^μν
という形で登場する。Ｔ^μνはストレス-エネルギーテンソルである。

付録１：正方行列の対角行列への変換

対称な正方行列Ａを対角行列（＝対角要素以外の要素は０の行列）に変換し、その対角要素を-１，０，１のいずれかにする手順は次の様になる。
�T．対角行列に変換するための変換行列Ｈを求める。
�U．対角要素を-１，０，１のいずれかに変換するための変換行列Ｎは

　　　Ｎ^tＨ^tＡＨＮを計算すると、対角要素は-１，０，１のいずれかになる。 �V．変換行列Λは次の様になる。
　　　　　　Λ＝ＨＮ
　　　Λ^tＡΛ　又は　Ａ_μ'ν'＝Λ^α_μ'Λ^β_ν'Ａ_αβ　を計算すると、対角要素が-１，１の対角行列が求まる。
【具体例】

付録２：独立な成分の数

(1) ∂²Ｘ^α／∂Ｘ^γ'∂Ｘ^μ'の独立な値の数は４０

（γ' ，μ'）の独立なペアは下記の表の様になる。

γ' の値        μ' の値       個数     １ １，２，３，４ ４個 ２ ２，３，４ ３個 ３ ３，４ ２個 ４ ４ １個

上の表より、組み合わせの数は　 ｎ（ｎ＋１）個　　ｎ＝４だから１０個
αは４つの値をとれるから全部で４０個の係数がある。

(2) ∂³Ｘ^α／∂Ｘ^λ'∂Ｘ^γ'∂Ｘ ^μ'の独立な値の数は８０

（λ' ，γ' ，μ'）の独立なペアは下記の表の様になる。

λ' の値        γ' の値       μ' の値       個数     １ １ ２ ３ ４ １，２，３，４ ２，３，４ ３，４ ４ ４個 ３個 ２個 １個 ２ ２ ３ ４ ２，３，４ ３，４ ４ ３個 ２個 １個 ３ ３ ４ ３，４ ４ ２個 １個 ４ ４ ４ １個

上の表より、組み合わせの数は　
　　　
ｎ＝４だから（λ' ，γ' ，μ'）の対称的な組み合わせの数は２０個
αは４つの値を独立にとれるから全部で８０個の係数がある。

(3) ｇ_{αβ，γ'μ'}の独立な値の数は１００

(１)より（α，β）に対して１０個の、（γ'，μ'）に対して１０個のそれぞれなペアがある。それらのペアは互いに独立であるから、１０ｘ１０＝１００個が独立である。

(４) Ｒ_αβμνの独立な成分の数は２１

ペア（α，β）及びペア（μ，ν）は反対称なので、それぞれ ｍ＝ ｎ（ｎー１） 個の独立な成分をもつ。
ペア（α，β）とペア（μ，ν）は対称なので、 ｍ（ｍ＋１）  個の独立な成分をもつ。ｎ＝４ だから ｍ＝６
よって Ｒ_αβμν は ２１個 の独立な成分の数をもつ。

付録３：曲率に関する情報の実例

球面座標等に於けるリーマン曲率、リッチテンソル、リッチスカラー又アインシュタイン・テンソル等を実際に計算してみる。リーマン曲率を計算するにはクリストッフェル記号とその微分が必要である。クリストッフェル記号を計算するには、メトリックとメトリックを微分したものとメトリックの逆行列が必要である。従って、先ずメトリックが必要である。

(1) ユークリッド平面での極座標

クリストッフェル記号は曲線座標系　６. クリストッフェル記号で既に計算しているので、それを使用する。
　　　Γ^r_θθ ＝ −ｒ　，　Γ^θ_rθ ＝ 　，　 Γ^θ_θr ＝ 
有効なクリストッフェル記号は上記の三つで、後は０である。ｒで偏微分すると
　　　Γ^r_θθ，r ＝ −１　，　Γ^θ_rθ，r ＝ −１／ｒ²　，　 Γ^θ_θｒ，r ＝ −１／ｒ²
リーマンの曲率テンソル
　　　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α_βμ，ν＋Γ^α_τμΓ^τ_βνー Γ^α_τνΓ^τ_βμ　　　　 に於いて、α，β，μ，νにr及びθを代入して、リーマンの曲率テンソルの成分を計算すると、全て０になる。
座標系は曲線座標系であるが平面は平坦であるから、リーマンの曲率テンソル全て０になる。平坦な空間ではいたる所で Γ^α_μν＝０ となるような座標系が存在するが、この例のように Γ^α_μν≠０ となる座標系を選ぶ事も可能である。
　　　

(2) 円柱表面のリーマン曲率テンソル

デカルト座標（Ｘ，Ｙ，Ｚ）と円柱座標（ｒ，θ，Ｚ）との間には次の関係がある。
　　　Ｘ＝ｒｃｏｓθ　，　Ｙ＝ｒｓｉｎθ　，　Ｚ＝Ｚ 従って変換行列 Λ^α_β' は
　　　∂Ｘ／∂ｒ＝ｃｏｓθ　　 　，　∂Ｙ／∂ｒ＝ｓｉｎθ　　，　∂Ｚ／ ∂ｒ＝０
　　　∂Ｘ／∂θ＝-ｒｓｉｎθ　　，　∂Ｙ／∂θ＝ｒｃｏｓθ　，　∂Ｚ／∂θ＝０
　　　∂Ｘ／∂Ｚ＝０　　　　　　　，　∂Ｙ／∂Ｚ＝０　　　　　，　∂Ｚ／∂Ｚ＝１
以下、極座標でのメトリックを求めた時と同様な方法で円柱座標でのメトリックを計算すると
　　　ｇ_rr＝１　，　ｇ_θθ＝ｒ²　，　ｇ_zz＝１　，　ｇ_θθ，r＝２ｒ メトリックの逆行列は
　　　ｇ^rr＝１　，　ｇ^θθ＝１／ｒ²　，　ｇ^zz＝１　 クリストッフェル記号を計算すると、有効なクリストッフェル記号は
　　　Γ^r_θθ＝ーｒ　，　Γ^θ_rθ＝１／ｒ　，　 Γ^θ_θr＝１／ｒ
ｒで偏微分すると
　　　Γ^r_θθ，r ＝ −１　，　Γ^θ_rθ，r ＝ − １／ｒ²　，　 Γ^θ_θr，r ＝ −１／ｒ²
リーマンの曲率テンソル
　　　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α _βμ，ν＋Γ^α_τμΓ^τ_βνー Γ^α_τν Γ^τ_βμ　　　　 に於いて、α，β，μ，νにｒ，θ及びＺを代入して、リーマンの曲率テンソルの成分を計算すると、全て０になる。
円柱表面は曲っている様にみえるが、円柱表面での平行線はどこまで行っても平行であるから、リーマンの曲率テンソルの成分は全て０になる。

(3) 半径が一定の球の極座標での曲率に関する情報

デカルト座標（Ｘ，Ｙ，Ｚ）と球面座標（ｒ，θ，φ）との間には次の関係がある。
　　　Ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ　，　Ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ　，　Ｚ＝ｒｃｏｓθ 極座標でのメトリックを求めた時と同様な方法で、変換行列 Λ^α_β' を求め、極座標でのメトリックを計算すると
　　　ｇ_θθ＝ｒ²　，　ｇ_φφ＝ｒ²ｓｉｎ²θ　，　ｇ_φφ，θ＝２ｒ²ｓｉｎθｃｏｓθ メトリックの逆行列は
　　　ｇ^θθ＝１／ｒ²　，　ｇ^φφ＝１／ｒ²ｓｉｎ²θ　 クリストッフェル記号を計算すると、有効なクリストッフェル記号は
　　　Γ^θ_φφ＝-ｓｉｎθｃｏｓθ　，　Γ^φ_θφ＝ｃｏｓθ／ｓｉｎθ　，　 Γ^φ_φθ＝ｃｏｓθ／ｓｉｎθ
θで偏微分すると
　　　Γ^θ_φφ，θ ＝ 2ｓｉｎ²θ-1　，　Γ^φ_θφ，θ ＝ − １／ｓｉｎ²θ　，　 Γ^φ_φθ，θ ＝ −１／ｓｉｎ²θ
リーマンの曲率テンソル
　　　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α _βμ，ν＋Γ^α_τμΓ^τ_βνー Γ^α_τν Γ^τ_βμ　　　　 に於いて、α，β，μ，νにθ及びφを代入して、リーマンの曲率テンソルの成分を計算すると、有効な成分は
　　　・　Ｒ^θ_φθφ ＝ ｓｉｎ²θ　，　Ｒ^θ_φφθ ＝ -ｓｉｎ²θ　，　Ｒ^φ_θθφ ＝ -１　，　Ｒ^φ_θφθ ＝ １
リーマンの曲率テンソルの第一と第三の添字を縮約して得られるリッチテンソルの、有効な成分は
　　　・　ＲＣＨ_θθ ＝ １　，　ＲＣＨ_φφ ＝ ｓｉｎ²θ
リッチスカラー（＝ＲＳＣＡＬＡＲ）を求める式 ＲＳＣＡＬＡＲ＝ｇ^μνＲＣＨ_μν により、リッチスカラーを計算すると
　　　・　ＲＳＣＡＬＡＲ ＝ ２／ｒ²

(4) 線要素が下記のような多様体の曲率に関する情報

　　　ｄｓ²＝-ｅ^2φｄｔ²＋ｅ^2Λｄｒ²＋ｒ²（ｄθ²＋ｓｉｎ²θｄφ²） メトリックは
　　　ｇ_tt＝-ｅ^2φ　，　ｇ_rr＝ｅ^2Λ　，　ｇ_θθ＝ｒ²　，　ｇ_φφ＝ｒ²ｓｉｎ²θ メトリックの逆行列は
　　　ｇ^tt＝-１／ｅ^2φ　，　ｇ^rr＝１／ｅ^2Λ　，　ｇ^θθ＝１／ｒ²　，　ｇ^φφ＝１／（ｒ²ｓｉｎ²θ） メトリックをｒ及びθで偏微分（ ' はｒで偏微分した事を表す。 ）
　　　ｇ_tt，ｒ＝-2ｅ^2φφ'　，　ｇ_rr，ｒ＝2ｅ ^2ΛΛ'　，　ｇ_θθ，ｒ＝２ｒ
　　　ｇ_φφ，ｒ＝２ｒｓｉｎ²θ　，　ｇ_φφ，θ＝２ｒ ²ｓｉｎθｃｏｓθ クリストッフェル記号を計算すると、有効なクリストッフェル記号は
　　　Γ^t_tr＝φ'　，　Γ^t_rt＝φ'
　　　Γ^r_tt＝ｅ^2φ-2Λφ'　，　Γ^r_rr＝Λ'　，　Γ^r_θθ＝-ｒｅ^-2Λ　，　Γ^r_φφ＝-ｒｓｉｎ²θｅ^-2Λ
　　　Γ^θ_rθ＝１／ｒ　，　Γ^θ_θr＝１／ｒ　，　Γ^θ_φφ＝-ｓｉｎθｃｏｓθ
　　　Γ^φ_rφ＝１／ｒ　，　Γ^φ_φr＝１／ｒ　，　Γ^φ_θφ＝ｃｏｓθ／ｓｉｎθ　，　Γ^φ_φθ＝ｃｏｓθ／ｓｉｎθ クリストッフェル記号をｒ及びθで偏微分すると
　　　Γ^t_tr，ｒ＝φ''　，　Γ^t_rt，ｒ＝φ''
　　　Γ^r_tt，ｒ＝２ｅ^2φ-2Λ（φ'-Λ'）φ'＋ｅ^2φ-2Λφ''　， 　Γ^r_rr，ｒ＝Λ''
　　　Γ^r_θθ，ｒ＝-ｅ^-2Λ＋２ｒｅ^-2ΛΛ'　，　 Γ^r_φφ，ｒ＝-ｓｉｎ²θｅ^-2Λ＋２ｒｓｉｎ²θｅ^-2Λ Λ'
　　　Γ^r_φφ，θ＝-２ｒｓｉｎθｃｏｓθｅ^-2Λ
　　　Γ^θ_rθ，ｒ＝-１／ｒ²　，　Γ^θ_θr，ｒ＝-１／ｒ ²　，　Γ^θ_φφ，θ＝２ｓｉｎ²θ-１
　　　Γ^φ_ｒφ，ｒ＝-１／ｒ²　，　Γ^φ_φｒ，ｒ＝-１／ｒ ²　，　Γ^φ_θφ，θ＝-１／ｓｉｎ²θ　，　Γ^φ_φθ，θ ＝-１／ｓｉｎ²θ
リーマンの曲率テンソル
　　　Ｒ^α_βμν ＝ Γ^α_βν，μー Γ^α _βμ，ν＋Γ^α_τμΓ^τ_βνー Γ^α_τν Γ^τ_βμ　　　　 に於いて、α，β，μ，νにｔ，ｒ，θ及びφを代入して計算する。結果はリーマンの曲率テンソルの成分を参照。
リーマンの曲率テンソルの第一と第三の添字を縮約して得られるリッチテンソルの、有効な成分 は
　　　・　ＲＣＨ_tt ＝ ｅ^2φ-2Λ（φ''＋（φ'）²-φ'Λ'＋２φ'／ｒ）
　　　・　ＲＣＨ_rr ＝ -φ''-（φ'）²＋φ'Λ'＋２Λ'／ｒ
　　　・　ＲＣＨ_θθ ＝ １−ｅ^-2Λ−ｒｅ^-2Λφ'＋ｒ ｅ^-2ΛΛ'
　　　・　ＲＣＨ_φφ ＝ ｓｉｎ²θＲＣＨ_θθ
リッチスカラー（＝ＲＳＣＡＬＡＲ）を求める式 ＲＳＣＡＬＡＲ＝ｇ^μνＲＣＨ _μν により、リッチスカラーを計算すると
　　　・　ＲＳＣＡＬＡＲ ＝ ー２ｅ^-2Λ（φ''＋（φ'）²-φ'Λ'＋φ'／ ｒーΛ'／ｒ）
　　　　　　　　　　　　　　＋２（１−ｅ^-2Λ−ｒｅ^-2Λφ'＋ｒｅ ^-2ΛΛ'）／ｒ² アインシュタイン・テンソルは
　　　・　Ｇ_tt ＝ （ｒーｒｅ^-2Λ）
　　　・　Ｇ_rr ＝ ーｅ^2Λ／ｒ²＋１／ｒ²＋２φ'／ｒ
　　　・　Ｇ_θθ ＝ ｒ²ｅ^-2Λ（φ''＋（φ'）²-φ'Λ'＋φ'／ ｒーΛ'／ｒ）
　　　・　Ｇ_φφ ＝ ｓｉｎ²θＧ_θθ

付録４：行列式の微分

行列式ｇの余因数を△_βα、行列ｇ_αβの逆行列をｇ^αβとすると次の関係がある。
　　　ｇ^αβ＝△_βα／ｇ　　 △_βα＝ｇｇ^αβ 行列式ｇは余因数△_βαを使って
　　　ｇ＝ｇ_β1△_β1＋…＋ｇ_βα△_βα ＋…＋ｇ_βn△_βn と表せる。上の式をｇ_βαで偏微分すると
　　　＝△_βα＝ｇｇ^αβ 両辺に 　を掛けると
　　　 ＝ｇｇ^αβ　　　　 ＝ｇｇ^αβ 　　　∴　ｇ_,μ＝ｇｇ^αβｇ_βα,μ