テンソル解析 

１. テンソルの定義

タイプ（Ｍ，Ｎ）のテンソルとは、Ｍ個の一形式とＮ個のベクトルを変数とする実数への関数で 、おのおの変数について線形なものをいう。 線形なものとは、例えば１個のベクトルを変数とする関数をＰとすると
の二つの関係を満足する事である。２個のベクトルを変数とする関数ｈについては
の関係が成り立つ事である。
一個のベクトルを変数とする（０，１）テンソルは一形式である。 一個の一形式を変数とする（１，０）テンソルはベクトルである。 実数とは（＝関数の値）、下記の式に於ける   の事である。
例えば一個のベクトルを変数とする一形式を  とすると
　　　　◆　（ ）＝（  ）＝ （ ）＝ 　　（α＝０〜３）　 　　　・・・・・・・・・・・・　（３）
（ ）はの成分。  はどの系でも同じ値になる。(６. テンソル商の定理を参照)又変数の線形性により成分の変換則は保証される。詳細は３. テンソルの代数を参照

２. 反変、共変テンソルと添字の位置

テンソルの成分に於いて、上付きの添字はそれらが基底ベクトルと反対に変換するので（＝反対の変換行列  を用いて変換する）反変、下付きの添字はそれらが基底ベクトルと同じ変換行列  を用いて変換するので共変と呼ばれる。 （Ｍ，Ｎ）テンソルはＭ階反変Ｎ階共変なテンソルといわれる。（上付きの添字の数がＭ個、下付きの添字の数がＮ個）又、単に (Ｍ＋Ｎ) 階テンソルと言う。（Ｍ，Ｎ）テンソルは変数としてＭ個の一形式とＮ個のベクトルをもつ。ベクトルは1階反変なテンソルで、一形式は1階共変なテンソルである。
テンソルの成分の数はｎ階のテンソルならＤ^ｎ個になる。Ｄは次元数で、三次元ユークリッド空間ではＤは３で、ミンコフスキーの四次元時空ではＤは４になる。Ｄが４の時、２階のテンソルならテンソルの成分の数は１６個、３階のテンソルなら６４個、４階のテンソルなら２５６個になる。

3. テンソルの代数

(1) テンソルの成分

（Ｍ，Ｎ）テンソルの成分はＭ個の添字を上に、Ｎ個の添字を下にもつ。
例えばＲを（１，１）テンソルとすると、数 Ｒ（，） を与えるために、一つの形式  と一つのベクトル  を必要とする。
それは成分 Ｒ（，）＝ Ｒ^α_β をもつ。
 と  を変数にもつ、Ｒ（，） の値は
　　　◆　Ｒ（，）＝ Ｒ（ Ｐ_α，Ａ^β ）＝Ｐ_αＡ^βＲ（ ， ）＝Ｐ_αＡ^βＲ^α_β 　　　・・・・・・・・・・・・　（４）

(2) テンソルの成分の変換

系Ｓから系への成分の変換は
　　　◆　Ｒ＝Ｒ（  ， ）＝Ｒ（   ，  ）＝  Ｒ^μ_ν 　　　・・・・・・・・・・・・　（５）
系から系Ｓへの成分の変換は
　　　◆　Ｒ^α_β＝Ｒ（  ， ）＝Ｒ（   ，  ）＝  Ｒ 　　　・・・・・・・・・・・・　（６）
同じ方法で、 系Ｓから系への（ｍ，ｎ）テンソルの成分の変換は
　　　◆　　　　　　　・・・・・・・・・・・・　（７）

(3) テンソルの基底

ベクトル、一形式を基底を使って表現した様に、テンソルを基底を使って表現する。 例として（１，２）テンソルを考える。
1階反変2階共変なテンソルの集合はベクトルの空間をつくるから、任意の線形独立なテンソルを基底として用いることが出来る。それを  とすると
　　　Ｔ＝   
　　　 ＝  ＝   
上の式は次の関係を意味する。
　　　  ＝   
 は 上での  の値であり、（）＝ 
　 （　6. 双対ベクトル、双対空間　(4) 一形式の基底を参照）
同様に （）＝  　　　（）＝ 
従って はその値がちょうど二つの双対基底の値と一つの基底ベクトルの値の積となるようなテンソルであり、これから次式が結論される。
　　　◆　 ＝      　　　・・・・・・・・・・・・　（８）
よってテンソル      は全ての1階反変2階共変なテンソルにたいする基底であり、任意の1階反変2階共変なテンソルは次の様に書く事が出来る。
　　　Ｔ＝      　　　・・・・・・・・・・・・　（９） 系でのＴは
　　　Ｔ＝      　　　・・・・・・・・・・・・　（１０）
基底の変換は
　　　＝ 　，　＝ 　，　＝  　　　・・・・・・・・・・・・　（１１）
上の式を（９）に代入すると、（９）は
　　　Ｔ＝            ＝          
上の式と（１０）を比べると  ＝     
である事が分かる。即ち、テンソルを基底を使って表現してもテンソルの成分の変換則を満足する。

同様な方法でｍ階反変ｎ階共変なテンソルを基底を使って表現すると
　　　◆　Ｔ＝  ^l1  l2 …  ^ln   _k1  k2 …  _km 　　　・・・・・・・・・・・・　（１２）

　　　　　（k1,k2,…,km=0〜3　　l1,l2,…,ln=0〜3）

４. テンソルの演算

・ 同種、即ち反変及び共変の階数の等しい二つのテンソルは、反変及び共変の添字の対応を
  適当に定めると、各成分の和は初めのテンソルと同種のテンソルとなる。 ・ 二つのテンソルの成分の積から高階のテンソルが得られる。例えば
　　　Ｔ^αβγ_μν＝Ｖ^αβγＵ_μν

５. テンソルの縮約

テンソルの式において、上下の添え字を等しくおいてこれについて加える操作をテンソルの縮約という。これにより階数が２減る。例
　　●　Ｒ^μ_αμβ＝Ｒ_αβ　，　Ａ^μ_μ＝ 不変量（スカラー）　，　Ａ^μＢ_μ＝不変量（スカラー）
　　●　Ｔ^αμＵ_μ＝Ｗ^α　（ベクトル）　　，　　Ｔ_αμＵ^μ＝Ｐ_α　（一形式）　
　　●　Ｔ^α_μＵ^μ＝Ｗ^α　（ベクトル）　・・・　テンソルＴはベクトルＵからベクトルＷへの写像を与える。
　　●　Ｔ^α_βＵ_α＝Ｐ_β　（一形式）　　・・・　テンソルＴは一形式Ｕから一形式Ｐへの写像を与える。

６. テンソル商の定理

二個のベクトルと一個の一形式を変数とする関数をTとする。
T(  ,  ,  ) ＝ T(   ,   ,   )  ＝ 
　　　（　α,β,γ　＝　０〜３　）
 は系Sに於けるＴの成分で　 ＝ 　とおき
 は系に於けるＴの成分で  ＝ 　とおく。
　　　 ＝ 　　　・・・・・・・・・・・・　（１３）
ならTはテンソルであるというのがテンソル商の定理である。
【証明】
逆にTがテンソルなら（１３）が成り立つ。即ちTがテンソルならどんな座標系を選んでも関数の値は同じになる。 【証明】　　  ＝  ＝  

７. メトリック

メトリックは計量テンソル又は基本テンソルと呼ばれ、基本ベクトル（＝基底ベクトル）のスカラー積の組みで定義される２階のテンソルである。（テンソルである事の証明は１０. テンソルの例　(3) ２階のテンソルを参照）即ち
特殊相対論に於ける基底ベクトルのスカラー積は
【系 S の基底ベクトルの内積】
【系  の基底ベクトルの内積】
従ってメトリック ｇ_αβ は

ミンコフスキーの平坦な時空では ｇ_αβ を特にη_αβ と書く。
　　　◆　 　　　・・・・・・・・・・・・　（１５）
メトリックは時空が平坦であるか曲がっているかを表す。時空が平坦な場合には上記の様に簡単であるが、一般相対論で扱う曲がった時空では複雑なものになる。
メトリックは線要素（＝間隔）を表す時に用いられる。即ち
　　　◆　ｄｓ²＝ｇ_αβｄｘ^αｄｘ^β　　（α，β＝０〜３） 　　　・・・・・・・・・・・・　（１６）
【証明】
　　　ベクトル  を  ＝ ｘ^α とすると  ＝
　　　 の全微分より ｄ は 　ｄ ＝  ｄｘ^α ＝ ｄｘ^α
　　　ｄｓ² ＝｜ｄ ｜² ＝ ｄ ・ｄ＝（ｄｘ^α） ・ （ｄｘ^β）＝（ ・ ）ｄｘ^αｄｘ^β
　　　ｇ_αβ＝ ・ 　だから
　　　　　　∴　ｄｓ²＝ｇ_αβｄｘ^αｄｘ^β

８. （０，２）テンソル

（０，２）テンソルは二つのベクトルを変数としてもつテンソルである。その例としてメトリックテンソルや二つの一形式の積で作られたテンソル等がある。（０，２）テンソルの対称性、反対称性から重要な性質が導かれる。

(1) 対称性

ｆ を（０，２）テンソルとし、その成分ｆ_αβを  ｆ_αβ＝ｆ（  ,  ） とする。
 ,  を任意のベクトルとした時、一般には ｆ（  ,  ）≠ ｆ（  ,  ） であるが
　　　・　ｆ（  ,  ）＝ ｆ（  ,  ）
の時、対称と呼ばれる。  ＝  と  ＝   とおくと、これらから成分の関係が導かれる。
　　　◆　ｆ_αβ＝ｆ_βα 　　　・・・・・・・・・・・・　（１７）
任意の（０，２）テンソルｈから次の規則により、新しい対称テンソルｈ_(s)を定義する事が出来る。
　　　・　ｈ_(s)（  ,  ）＝ ｈ（  ,  ）／２＋ｈ（  ,  ）／２
ｈ_(s)は対称テンソルである。その成分は
　　　◆　ｈ_(αβ) ＝ （ｈ_αβ＋ｈ_βα）／２ 　　　・・・・・・・・・・・・　（１８）
これは重要な数学的性質なので特別な記法を用いる。（ ｈ_(αβ)と添字に括弧を付ける ） ｆ がある座標系で対称なら別の座標系でも対称である（成分の変換より導かれる）。反対称なら別の座標系でも反対称である。

(2) 反対称性

　　　・　ｆ（  ,  ）＝ ーｆ（  ,  ）　，　ｆ _αβ ＝ ーｆ_βα
の時、反対称と呼ばれる。 任意の（０，２）テンソル ｈ から次の規則により、新しい反対称テンソル ｈ_(Ａ) を定義する事が出来る。
　　　・　ｈ_(Ａ)（  ,  ）＝ ｈ（  ,  ）／２ーｈ（  ,  ）／２
その成分は
　　　◆　ｈ_[αβ] ＝ （ｈ_αβーｈ_βα）／２ 　　　・・・・・・・・・・・・　（１９）
次の事が成り立つ。
　　　◆　ｈ_αβ ＝ （ｈ_αβ＋ｈ_βα）／２＋ （ｈ _αβーｈ_βα）／２ ＝ ｈ_(αβ) ＋ ｈ_[αβ] 　　　・・・・・・・・・　（２０）
従って任意の（０，２）テンソルは、その対称部分と反対称部分に一意的に分ける事が出来る。

９. 添字の上げと下げ

添字の上げと下げは、一種の座標変換、基底の変換である。

(1) ベクトルから一形式への写像としてのメトリック

メトリックはベクトルから一形式への写像として働く。その時の一形式の成分 P_α は
　　　◆　P_α＝（）＝・＝P^β ・ ＝（ ・ )P^β ＝η_αβP^β 　　　・・・・・・・・・・・・　（２１）
メトリック η_αβ はベクトルの成分の添字を下げ、一形式の成分へ変換する働きをする。
　　　＝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ)　　ならば 　　＝（−ａ，ｂ，ｃ，ｄ)
 の成分は  の時間成分の符号を変える事によって求められる。この事は η_αβ の成分による。一般相対性理論では、添字の上げと下げには ｇ_αβ を使う。 と  の対応の規則もまたより複雑になる。
ユークリッド空間でのデカルト座標ではメトリックは単に｛δ_ij｝であり、一形式の成分とそれに対応するベクトルの成分は同じである。

(2)  から  へ：(1) の逆変換

一形式  からベクトル  への写像はη_αβの逆行列η^αβを用いる。
　　　◆　P^α＝η^αβP_β 　　　・・・・・・・・・・・・　（２２）

(3) メトリックの混合成分

η^αμとη_μβからメトリックの"混合"成分η^α _βが得られる。即ち
　　　η^α_β＝ η^αμη_μβ
上式の右辺はお互いの逆行列の積だから、それは単位行列であり、従ってそれはクロネッカーのデルタである。
　　　◆　η^α_β＝δ^α_β　，　 η^α_α＝４　　である 　　　・・・・・・・・・・・・　（２３）

(4) （Ｍ，Ｎ）テンソルを（Ｍ−１，Ｎ＋１）テンソルに写像

Ｔ^αβ_μを（２，１）テンソルとする。添え字βを下付けにして（１，２ ）テンソルとする。
　　　◆　Ｔ^α_βμ＝η_βγ Ｔ^αγ_μ 　　　・・・・・・・・・・・・　（２４）

(5) （Ｍ，Ｎ）テンソルを（Ｍ＋１，Ｎ−１）テンソルに写像

Ｔ^αβ_μを（２，１）テンソルとする。添え字μを上付けにして（３，０ ）テンソルとする。
　　　◆　Ｔ^αβμ＝η^μγ Ｔ^αβ_γ 　　　・・・・・・・・・・・・　（２５）

１０. テンソルの例

テンソルの具体的な例を階数毎に列挙する。

(1) ０階のテンソル

スカラーは０階のテンソルである。何故なら座標変換で値が変化しないから。例えば、光の速度や関数ｆ 等。

(2) １階のテンソル

【証明】

二次元ユークリッド空間に於ける直線の方程式 ａＸ＋ｂＹ＝C に於いてａ及びｂはテンソルである。 系Ｓに於けるテンソルの成分を
　　　Ｐ₀ ＝ ａ　,　Ｐ₁ ＝ ｂ
ベクトル（＝変数）の成分を　　　A⁰＝ｘ , Ａ¹＝ｙ
系於ける成分を  ＝ 　,　 ＝ 　,　 ＝ 　,　 ＝  とすると
  ＝   ＝ C が成り立ち ａ 及び ｂ はテンソルである事が分かる。
【例】 具体的にａ , ｂ, C及び変換行列を指定してグラフを描いてみる ａ＝10 , ｂ＝-2, C＝12 ,θ＝π/6　（座標軸を反時計回りに30゜回転）

　　　
とすると　 ＝10cosθ-2sinθ＝7.660　　 ＝-10sinθ-2cosθ＝-6.732
従って系から見た直線の方程式は 7.660ー6.732＝12となる。
 はこの場合ローレンツ変換行列ではなく二次元ユークリッド空間に於いて座標軸を反時計回りにθだけ回転した時の系から系Ｓへの変換行列である。
通常座標変換では変換式 ｘ＝cosθ-sinθ　,　ｙ＝sinθ+cosθ を
ａｘ＋ｂｙ＝C の式に代入して行うが、係数がテンソルなら係数を変換する方がすっきりした式の形が１回で求まり効率が良い。特に二階以上の高階のテンソルに於いてはテンソルの成分だけを変換すればよいからテンソルの良さが顕著に表れる。

(3) ２階のテンソル

【証明】

【証明】

【例】 二次曲線 2ｘ^２＋ｘｙ-ｙ ^２-2ｘ＋ｙ＝-1のグラフを描く。

(4) ３階以上のテンソル

【証明】

付録１：対称テンソルの固有値

一つのテンソル Ｔ_ij はベクトルの１次写像を定める。（ i,j=1〜3 ） 即ち　Ｖ_i＝Ｔ_ijＵ^j　ユークリッド空間でのデカルト座標では一形式の成分とそれに対応するベクトルの成分は同じであるので、Ｖⁱ＝Ｖ_i である。今　Ｖⁱ＝λＵⁱ　即ち　Ｔ_ij Ｕ^j ＝ λＵⁱ　とし、これを展開すると
　　　（Ｔ₁₁ーλ）Ｕ¹＋Ｔ₁₂Ｕ²　　　　　　＋Ｔ₁₃Ｕ³　　　　　＝　０
　　　Ｔ₂₁Ｕ¹　　　　＋（Ｔ₂₂ーλ）Ｕ²　　＋Ｔ₂₃Ｕ³　　　　　＝　０
　　　Ｔ₃₁Ｕ¹　　　　＋Ｔ₃₂Ｕ²　　　　　　＋（Ｔ₃₃ーλ）Ｕ³　＝　０
上の斉次一次方程式に於いて Ｕⁱ が０以外の解をもつためには下記の行列式の値が０である事が必要である。
　　　　　　　 ・・・・・・・・・・・・・・・　（ａ）

上の方程式をテンソル Ｔ_ij の固有方程式といい、その根を固有値といい、固有値λに対応するベクトル Ｕⁱ を固有ベクトルという。固有ベクトルは直交行列である。
【テンソル二次曲面】

付録２：慣性モーメント

慣性モーメント（＝慣性能率）は角運動量を計算する過程で導出される。剛体が原点Ｏの回りに回転する時、ある瞬間に於ける角速度を ω （以下太字で表した文字はベクトル又は一形式を表す）とする時、剛体の点Ｐ（ＯＰ＝ｒ）の速度 ｖ は、ｖ＝ωxｒ （xはベクトルの外積である）となる。ｍ_i を質点、剛体の角運動量を Ｌ とすると
　　　Ｌ ＝  ｒ_ix（ｍ_iｖ_i） ＝  ｍ_iｒ_ix（ωxｒ_i） ＝  ｍ_i｛ω（ｒ²_i）ーｒ_i（ωｒ_i）｝
となり、その ｘ 成分は
　　　Ｌ_x ＝  ｍ_i｛ω_x（ｘ²_i＋ｙ²_i＋ｚ²_i）ーｘ_i（ω_xｘ_i＋ω_yｙ_i＋ω_zｚ_i）｝
　　　　  ＝ ω_x  ｍ_i（ｙ²_i＋ｚ²_i）ーω_y  ｍ_iｘ_iｙ_iーω_z  ｍ_iｘ_iｙ_iｚ_i
となる。そこで
　　　●　Ｉ_xx＝  ｍ_i（ｙ²_i＋ｚ²_i）＝∫ρ（ｙ²＋ｚ²）ｄＶ
　　　●　Ｉ_yy＝  ｍ_i（ｚ²_i＋ｘ²_i）＝∫ρ（ｚ²＋ｘ²）ｄＶ
　　　●　Ｉ_zz＝  ｍ_i（ｘ²_i＋ｙ²_i）＝∫ρ（ｘ²＋ｙ²）ｄＶ
　　　●　Ｉ_yz＝ Ｉ_zy＝ ー ｍ_iｙ_iｚ_i＝ー∫ρｙｚｄＶ
　　　●　Ｉ_zx＝ Ｉ_xz＝ ー ｍ_iｚ_iｘ_i＝ー∫ρｚｘｄＶ
　　　●　Ｉ_xy＝ Ｉ_yx＝ ー ｍ_iｘ_iｙ_i＝ー∫ρｘｙｄＶ
　　　　　　ρは密度、ｄＶ＝ｄｘｄｙｄｚである。積分記号∫は一個だけ書いてあるが、本当は三個必要である。
と定義せられる量を導入すると、角運動量 Ｌ のｘ、ｙ、ｚ 成分 Ｌ_x 、 Ｌ_y 、 Ｌ_z は
　　　Ｌ_x＝Ｉ_xxω_x＋Ｉ_xyω_y＋Ｉ_xzω_z　，　Ｌ_y＝Ｉ_yxω_x＋Ｉ_yyω_y＋Ｉ_yzω_z　，　Ｌ_z＝Ｉ_zxω_x＋Ｉ_zyω_y＋Ｉ_zzω_z
と書ける。Ｉ_xx、Ｉ_yy、Ｉ_zzをそれぞれｘ、ｙ、ｚ軸に関する剛体の慣性モーメントといい、ーＩ_yz、−Ｉ_zx、−Ｉ_xyを慣性乗積という。いずれも剛体の形、質量の分布状態、回転軸の位置等によって定まる定数である。上の式から分かる様に、慣性モーメントは一つの軸から物体を構成する各質点までの距離ｒの二乗と質量ｍとの積の総和である。
慣性モーメントは二階の対称なテンソルであるから、うまく直交座標系を選べば，対角化出来る（付録１：対称テンソルの固有値又は 曲った時空の付録１ を参照）。その時出てくる対角化された慣性モーメントを主慣性モーメントと呼び、それが成り立つ座標系を慣性主軸という。そして主軸に関する慣性乗積は全て０になる。

付録３：物理学に於けるテンソル

(1)  圧力テンソル

(2)  慣性テンソル

付録４：（０，２） テンソルの成分の変換

二つのベクトルを変数とする（０，２） テンソルの系Ｓでの成分、ｆ_αβ＝ｆ（ ，） から系Ｓでの成分、ｆ_α β ＝ ｆ（ ，） への変換則は次式に従う。
　　　ｆ_α β ＝  ｆ_αβ
【証明】
上の変換則を行列で表すと、成分がΛ^α_α である行列を （Λ） として
　　　（ｆ） ＝ （Λ）^T（ｆ）（Λ）
と表す事が出来る。
【証明】