特殊相対論入門 

１．特殊相対論の基本原理

特殊相対論は二つの仮説から成り立っている。

(1) 光速不変の原理

地上に静止している観測者が同じく地上に静止している自動車のヘッドランプより出た光の速さを測った時その速さは3x10⁸m/sで、自動車が時速100kmで走っていても地上に静止している観測者が光の速さを測った時その速さは3x10⁸m/s(3x10⁸m/s＋100km/時にならない) である。これはマイケルソン・モーレーの実験により確認されている。では時速100kmで走っている自動車より時速150kmで投げたられたボールを地上に静止している観測者が測った時、時速250kmになるのは何故だろう。250kmという数字ははたしては正しいのであろうか？。この疑問は 8. 速度の合成則で解消される。
光速を超える仮想粒子タキオンが考えられているが現在のところ見つかっていない。

(2) 相対性原理

自然法則は全ての慣性系に対して同じである。例えばニュートンの運動の第一法則は地上でも等速直線運動をしている電車の中でも同じように成り立つ。

上記の定義（付録１及び付録２を参照）によりＥ＝ＭＣ^２を簡単に導く事が出来る。
詳細は「9. 物質＝エネルギー（Ｅ＝ＭＣ^２）と質量の増加を参照

２．ガリレイ変換とローレンツ変換

慣性系Ｓに於ける事象の時空座標を（ｔ，ｘ，ｙ，ｚ）、その事象の別の慣性系に於ける時空座標を（，，，） としてこの二つの座標の関係を古典物理学（ガリレイ変換）と相対性理論（ローレンツ変換）の立場から求めてみる。空間座標の関係を求める為以下のような約束をしておく。

(1)ガリレイ変換

　　　＝XーVｔ　，　X＝＋V
この様な座標変換をガリレイ変換と言う。この変換はＶが光速に比べて十分小さい時だけ成り立つ近似式である。ガリレイ変換（古典物理学）ではどのような慣性系においても時間は不変であるという絶対時間が仮定されているので ｔ＝ である。

(2)ローレンツ変換

ローレンツ変換に於いては ｔ≠ なので速度Vに依存する係数γを導入して座標変換式を求める。
　　　＝γ（Ｘ−Ｖｔ）　，　Ｘ＝γ（＋Ｖ） ・・・・・・・・・・・・・・・　（１）
光速不変の原理より、光は系Ｓと系において同じ速度をもつから ｔ＝＝０ から出発した光は時間ｔ（）後にＸ（）に達するので　Ｘ＝ｔ　，　＝　が成り立つ。
これを（１）へ代入して両式の積をとると　ｔ＝γ²（１−Ｖ²）ｔ　となり
従って　γ＝ 　を得る。
（１）の第１式のを第２式に代入して整理すると
　　　◆　＝γ（ｔ−ＶＸ）　，　＝γ（Ｘ−Ｖｔ）　，　＝Ｙ　，　＝Ｚ ・・・・・・・・・・・・・・・　（２）
これがＸ方向への速度Ｖのブーストと呼ばれる最も簡単な形である。系Ｓから系への変換行列  と系から系Ｓへの変換行列  は下記のようになる。 　　　

３．ミンコフスキーの時空図

特殊相対論を学ぶ上で時空図は非常に有効な方法である。時空図は縦軸に時間、横軸に空間座標をとった座標系の事である。下記にＹ＝０, Ｚ＝０の面で四次元空間をスライスした図が示されている。光子、粒子、物体の運動はこの時空図（ミンコフスキーの空間）の中で直線又は曲線で表わされ、その直線又は曲線を世界線という。

軸及び軸はどこだろうか？
軸はローレンツ変換式 ＝γ（Ｘ−Ｖｔ）において ＝０とおいた式ｔ＝Ｘ／Ｖという直線が軸となる。
軸はローレンツ変換式 ＝γ（ｔ−ＶＸ）において ＝０とおいた式 ｔ＝ＶＸという直線が軸となる。
系Sに対しＸ軸の正の方向に速度Ｖで運動している粒子（系）の時間軸と空間軸を系Sから見た時空図に描いてみる。
V＝ｄｘ／ｄｔ より Vｔ＝X 　光の場合 V＝１ なので t＝X となり４５゜の傾きをもった直線となる。

４．間 隔 の 不 変 性

前節で座標軸は分かった。その軸に対し間隔の不変性を用いて目盛り付けを行う。その前に間隔の不変性の証明を行う。間隔とは ー(��ｔ)²＋(�儿)²＋(�凾x)²＋(�凾y)²の事である。この量が系が異なっても同じになる。
光の場合 (��ｔ)²＝(�儿)²＋(�凾x)²＋(�凾y)²　　　　（ ∵ 光の速さが１だから ）
光速不変の原理により　（��）²＝（�� ）²＋（�� ）²＋（�� ）² でもある。
　　　◆　�儡²＝ー(��ｔ)²＋(�儿)²＋(�凾x)²＋(�凾y)² ・・・・・・・・・・・・・・・　（３）
　　　◆　��²＝ー（��）²＋（��）²＋（��）²＋（��）²  ・・・・・・・・・・・・・・・　（４）
と間隔を定義する。
（�儡² は�儡の二乗という意味ではない。一つの記号である。�儡²は正にもなるし負にもなる）
光の場合 �儡²＝��²＝０ である。
光でない場合はローレンツ変換式により

故に光でない場合も間隔の不変性が成り立つ。今、ｔとＸの二次元で証明したが四次元の場合も 同様に�儡²＝��² が成り立つ。 付録：空間軸が回転している時のローレンツ変換を参照。
事象の関係の分類

５．不変双曲線と時空図の目盛付け

光速不変の原理により間隔が系に依らない事が分かった。この事を用いて座標軸の目盛付けを行う。t−X面だけを考える。ーｔ²＋X²＝ーａ² は双曲線であり、原点からの間隔がａ²である全ての事象を通る。間隔の不変性からそれらの事象はの原点からも間隔 ａ² をもち、従って
ー²＋²＝ーａ² 上にのる。この双曲線は時間軸を目盛付ける。ーｔ²＋ｘ²＝ｂ² は空間軸を目盛付ける。
双曲線ーｔ²＋ｘ²＝ーａ²は事象�@でｔ＝ａとなる。同様に事象�Aは軸上にあるから＝０であり、双曲線の方程式はー²＋²＝ーａ²でもあるから、事象�Aで＝ａとなる。 同様に双曲線 ーｔ²＋ｘ²＝ｂ² は事象�Iで座標ｔ＝０, ｘ＝ｂをもち、事象�Jは座標＝０,　＝ｂをもつ。
具体的に ａ , ｂに １ , ２ , ３を代入して図を描くと下図の様になる。

６．時間の遅れと固有時間

前節の時空図で系の時計は事象�Aで時刻ａを示すが系Sの時計では事象�Aは
時刻  を示す。（ ーｔ²+X²＝ーａ² と X＝Vｔより ）　  ＞ ａなので系Sにとっては系の時計はゆっくり進んでいるように見える。つまり
　　　◆　ｔ＝  ・・・・・・・・・・・・・・・　（５）
固有時間とは系での時間の事である。系で静止している時計は��＝��＝��＝０であり、固有時間を�刄ﾑとすると
　　　◆　�儡²＝��²＝ー��²＝ー�刄ﾑ² ・・・・・・・・・・・・・・・　（６）
上の式より固有時間は間隔にマイナスを付けたものの平方根である事が分かる。固有時間�刄ﾑを系Sでの座標の量で書くと次の様になる。
　　　�刄ﾑ＝[(��ｔ)²ー(�儿)²ー(�凾x)²ー(�凾y)²]^1/2＝[(��ｔ)²ーV²(��ｔ)²]^1/2
従って
　　　◆　�刄ﾑ＝��ｔ ・・・・・・・・・・・・・・・　（７）

系Sの測った系の時計は自分の時計よりもゆっくり進んでいる事が示された。この事は系が系Sの時計を測ると自分の時計よりも速く進んでいる事を意味しないのだろうか？ その事について考えてみる。

先に事象�AでSは自分の時計が  を指しているのにの時計はａであると観測した。でははSの時計をどの様に観測するであろうか。にとって同時の線は（イ）である。（  軸に平行で、双曲線の事象�Aでの接線 ）  は同時の線（イ）がｔ軸と交わる事象�Bを S の時刻と観測する。そ れは簡単な計算よりａとなる。
ａ ＞ ａ なので系にとっては系Sの時計はゆっくり進んでいるように見える。従ってお互いが相手の時計はゆっくり進んでいると観測する。 ミンコフスキーの時空図で分かる通り系Sの現在は系にとっては現在でないし、系の現在は系Sにとっては現在でないのである。
では  が瞬間的に停止したとしよう（瞬間的に停止できると仮定して）。 即ちの慣性系が瞬間的に変わる。
下の図にその時の時空図が描かれている。
の軸と軸がSのｔ軸、X軸と同じ方向を向いている。（停止したのだからSと同じ慣性系になる）
の同時の線が（イ）から（ア）に変わり、事象�Bが�@に変わるのである。 従ってはSの時刻をａ と観測していたのが一瞬にして  に変わるのである。（  の時刻は ａ ）

宇宙船が光速の９０％で周回していると仮定すると、そこに乗船している宇宙飛行士は宇宙飛行士の時間で１年経過後に地球に帰還した時、地上では２．２９年経過した事になる。（（５）の式の右辺に  ＝１、Ｖ＝０．９を代入して計算するとｔ＝２．２９ ）
時間の遅れの正しさは、高速で運動している素粒子ミュー粒子の観測で分かっている。ミュー粒子の半減期は１．５ｘ１０ ^-6 秒で、上空の大気、約２００００ｍの所で発生する。ミュー粒子が光速で運動しているとしても、 相対論を考慮しない場合は３ｘ１０⁸ｘ１．５ｘ１０^-6＝４５０ｍしか走れず地上に到達しない。 しかし実際には地上に到達してる。ミュー粒子が速度０．９９９８で運動していて、時間の遅れを適用すると２００００ｍ（ 0.9998ｘ3ｘ10⁸ｘ1.5ｘ10^ー6・img SRC="SF/05/003.jpg" class=f>＝ 20124m ）走れ、地上に到達出来る。
そのほか、グローバル・ポジショニング・システム (GPS)では時間の補正を行っている。その補正をしないと位置情報が1日に約11kmもずれてしまう。何故時間の補正を行うかというと、GPS衛星は秒速約4ｋｍと高速で運動しているため時間の遅れが生じる。一方、GPS衛星は約2万ｋｍの高さに位置するため、地球の重力場の影響が地上より小さいので地上よりも時間の進み方が速くなる。そういう理由で時間の補正を行う。

７．ローレンツ収縮（空間の収縮）

物体の長さを測るためには、物体の先端と後端を同時に測らねばならない。系 で静止している長さ ｌ の棒((ア)-0）の両端の世界線を左の図に示した。系Ｓではその長さは棒の両端の世界線がＳの同時刻の時のＸ座標の差として観測される。即ち直線とｇがｔ＝０でＸ軸と交わるＸ座標の差(γ−０)で観測される。 事象(ア)の系Ｓでの座標を(ｔ_ξ,Ｘ_ξ)とすると、不変双曲線
  ーｔ²＋Ｘ²＝ｌ ² と直線 ｔ ＝ＶＸ の交点より
　　　ｔ_ξ＝Ｖｌ／ , Ｘ_ξ＝ｌ／

である。直線ｇの傾きは1／Vであるので直線ｇの方程式は
　　　ｔ＝（Ｘ−Ｘ_ξ)／Ｖ＋ｔ_ξ
上記の式にｔ＝０,ｔ_ξ,Ｘ_ξを代入してＸの値を求めるとＸ＝ｌ。即ちγの系Ｓでの座標は
　　　ｔ＝０　,　Ｘ＝ｌ 　　　・・・・・・・・・・・・　（８）

である。故に運動の方向に  の割合で縮む。これをローレンツ収縮と言う。時間の遅れがそうであったようにこの場合も運動する慣性系では空間そのものが収縮すると考 えねばならない。

８．速 度 の 合 成 則

ある粒子がの軸方向に速度Ｇで動いている。即ち Ｇ＝��／�� 別の系Ｓではその速度は Ｗ＝�凾w／��ｔで、�凾wと��ｔをローレンツ変換より求めることが出来る。が速度ＶでＳに対して動いているとすると
�凾w＝ε（��＋Ｖ��）,　��ｔ＝ε（�� ＋Ｖ��）
　　（ε＝）
従ってＷ＝�凾w／��ｔ＝（��＋Ｖ��)／（��＋Ｖ��）
　　　　　　 ＝（��／��＋Ｖ）／（１＋Ｖ��／��)

　　　◆　Ｗ ＝（Ｇ＋Ｖ）／（１＋ＧＶ） 　　　・・・・・・・・・・・・　（９）
これがアインシュタインの速度の合成則である。上の式に於いてＧ＝Ｖ＝１（光の速度）と置いてもＷ＝１であることが分る。つまり光の速度で走っている物体より光を発しても地上に静止している観測者は光の速度にしか見えないという事になる。

１．特殊相対論の基本原理(1)光速不変の原理で述べた疑問の解答は
Ｇ 《 １ ，Ｖ 《 １なら Ｗ＝Ｇ＋Ｖ となる。これは我々が日常経験しているガリレオの速度の合成則である。

９．物質＝エネルギー（Ｅ＝ＭＣ^２）

この宇宙が始まった時、物質は全く存在せずエネルギーだけが存在した。そのエネルギーから素粒子が出来、素粒子から物質が出来たのだから、エネルギーと物質は等価であると考えるのは極く当り前で、自然な事かもしれない。

(1)エネルギーと力の定義

エネルギーとは仕事をなしうるもののことである。物体に力Ｆが働いて物体が力の方向にＳだけ動いた時、その力は物体に仕事をしたという。仕事の大きさは力の大きさと物体が動いた距離との積ＦＳで表わされる。 力Ｆは運動量の時間に対する変化率で定義される。
M₀：物体の静止質量  Ｖ：速度

(2)三元速度及び四元速度、四元運動量

イ）三元速度

ロ）四元速度、四元運動量
　　ミンコフスキーの時空に於ける四次元幾何学では速度は粒子の世界線に
　　接するベクトルであり、粒子の座標は 固有時間τの関数として表される。
　　四元速度を Ｕｔ, Ｕｘ, Ｕｙ, Ｕｚとすれば
　　　　　Ｕｔ＝ｄｔ／ｄτ ,　Ｕｘ＝ｄｘ／ｄτ ,　Ｕｙ＝ｄｙ／ｄτ ,　Ｕｚ＝ｄｚ／ｄτ
　　時間の遅れにより ｄτ＝ｄｔ の関係があるので
　　　　　Ｕｔ＝ , 　Ｕｘ＝Ｖｘ , 　Ｕｙ＝Ｖｙ , 　Ｕｚ ＝Ｖｚ
　　四元運動量を Ｐｔ,  Ｐｘ,  Ｐｙ,  Ｐｚとすれば
　　　　　Ｐｔ＝M₀Ｕｔ ,　Ｐｘ＝M₀Ｕｘ ,　Ｐｙ＝M₀Ｕｙ ,　Ｐｚ ＝M₀Ｕｚ
　　従って
　　　　　Ｐｔ＝ , Ｐｘ＝ , Ｐｙ＝ , Ｐｚ＝

(3)微小エネルギーの計算

微小エネルギーをｄＥとすると（１）の定義により

付録１：ＳＩ単位系から自然単位系へ

ＳＩ単位から自然単位へ変換するには、ＳＩ単位に現れるＳ（＝秒）をｍにする。最初に定義したように 1ｓ＝3x10⁸ｍである。下記の例では、最後の式が自然単位系である。
★ 例１：１０Ｊ＝１０Ｋｇ・ｍ²・ｓ^-2
　　　１０Ｊ＝１０Ｋｇ・ｍ²・（3x10⁸ｍ）^-2＝１．１ｘ１０^-16Ｋｇ
★ 例２：１００Ｗ＝１００Ｋｇ・ｍ²・ｓ^-3
　　　１００Ｗ＝１００Ｋｇ・ｍ²・（3x10⁸ｍ）^-3＝３．７ｘ１０^-24Ｋｇ・ｍ^-1
★ 例３：プランク定数  ＝１．０５ｘ１０^-34Ｊ・ｓ＝１．０５ｘ１０^-34Ｋｇ・ｍ²・ｓ^-1
　　　 ＝１．０５ｘ１０^-34Ｋｇ・ｍ²・（3x10⁸ｍ）^-1＝３．５ｘ１０^-43Ｋｇ・ｍ
★ 例４：車の速度 Ｖ＝３０ｍ・ｓ^-1
　　　Ｖ＝３０ｍ・ｓ^-1＝３０ｍx（3x10⁸ｍ）^-1＝１０^-7
★ 例５：車の運動量＝３x１０⁴Ｋｇｍ・ｓ^-1
　　　車の運動量＝３x１０⁴Ｋｇｍ・ｓ^-1＝３x１０⁴Ｋｇｍx（3x10⁸ｍ）^-1＝１０^-4Ｋｇ
★ 例６：１気圧＝１０⁵N・ｍ^-2＝１０⁵Ｋｇ・ｍ^-1・ｓ^-2
　　　１気圧＝１０⁵Ｋｇ・ｍ^-1・ｓ^-2＝１０⁵Ｋｇ・ｍ^-1x（3x10⁸ｍ）^-2＝１．１ｘ１０^-12Ｋｇ・ｍ^-3
★ 例７：水の密度＝１０³Ｋｇ・ｍ^-3
★ 例８：光度１０⁶Ｊ・ｃｍ^-2・ｓ^-1＝１０⁶Ｋｇ・ｍ²・ｓ^-2ｘ（１０^-2ｍ）^-2・ｓ^-1＝１０¹⁰Ｋｇ・ｓ^-3
　　　光度１０⁶Ｊ・ｃｍ^-2・ｓ^-1＝１０¹⁰Ｋｇ・ｓ^-3＝１０¹⁰Ｋｇx（3x10⁸ｍ）^-3＝３．７x１０^-16Ｋｇ・ｍ^-3

付録２：自然単位系からＳＩ単位系へ

自然単位からＳＩ単位へ変換するには、その物理量がＳＩ単位ではどういう次元であるかを確認し、自然単位に現れるｍをＳ（＝秒）にする。1ｍ＝(3x10⁸)^-1ｓである。下記の例では最後の式がＳＩ単位系である。
★ 例１：速度Ｖ＝１０^-2　　速度のＳＩ単位はｍ・ｓ^-1　　
　　　1＝3x10⁸ｍｓ^-1であるから　Ｖ＝１０^-2x1＝3x10⁶ｍ・ｓ^-1
★ 例２：圧力１０¹⁹Ｋｇ・ｍ^-3　　　圧力のＳＩ単位はＫｇ・ｍ^-1・ｓ^-2
　　　ｍ^-3＝ｍ^-1・ｍ^-2であるから
　　　圧力１０¹⁹Ｋｇ・ｍ^-3＝１０¹⁹Ｋｇ・ｍ^-1x（(3x10⁸)^-1ｓ）^-2＝９x１０³⁵Ｋｇ・ｍ^-1・ｓ^-2
★ 例３：時間ｔ＝１０¹⁸ｍ　　　時間のＳＩ単位はｓ
　　　時間ｔ＝１０¹⁸ｍ＝１０¹⁸x(3x10⁸)^-1ｓ＝３．３x１０^９ｓ
★ 例４：エネルギー密度ｕ＝１Ｋｇ・ｍ^-3　　　エネルギー密度のＳＩ単位はＫｇ・ｍ^-1・ｓ^-2
　　　ｍ^-3＝ｍ^-1・ｍ^-2であるから
　　　エネルギー密度ｕ＝１Ｋｇ・ｍ^-3＝１Ｋｇ・ｍ^-1x（(3x10⁸)^-1ｓ）^-2＝９x１０¹⁶Ｋｇ・ｍ^-1・ｓ^-2
★ 例５：加速度＝１０ｍ^-1　　　加速度のＳＩ単位はｍ・ｓ^-2
　　　ｍ^-1＝ｍ¹・ｍ^-2であるから
　　　加速度＝１０ｍ^-1＝１０ｍ¹x（(3x10⁸)^-1ｓ）^-2＝９x１０¹⁷ｍ・ｓ^-2
★ 例６：物質＝１Ｋｇ　　　エネルギーのＳＩ単位はＫｇ・ｍ^-2・ｓ^-2
　　　1²＝９x10¹⁶ｍ²ｓ^-2であるから
　　　物質＝１Ｋｇ＝１Ｋｇx1²＝９x10¹⁶Ｋｇ・ｍ²・ｓ^-2　

付録３：空間軸が回転している時のローレンツ変換

Ｕ方向への速度Ｖのブーストと呼ばれるものは 「２．ガリレイ変換とローレンツ変換」より
　　　　＝　，　＝ 　である。
UのX軸方向、Y軸方向、Z軸方向への一般的なローレンツ変換行列を求める。UがX軸となる直交座標系Oｴー XｴYｴZｴを設定する（原点は直交座標系OーXYZと一致）。変換行列は次の手順で求める。
　　　（１）直交座標系OーXYZの座標値を直交座標系Oｴー XｴYｴZｴの座標値に変換する。　　・・・・・　Ｃ
　　　（２）Xｴ軸方向（＝U方向）へのローレンツ変換　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　・・・・・　Ｌ
　　　（３）直交座標系Oｴー XｴYｴZｴの座標値を直交座標系OーXYZの座標値に変換する。　　・・・・・　Ｃ^-1　（Ｃの逆行列）　　
（１）（２）（３）を順に施せば一般的なローレンツ変換行列  は  ＝ Ｃ^-1ＬＣで求まる。

（１）　OーXYZの座標値をOｴー XｴYｴZｴの座標値に変換するＣを求める。

Xｴ軸はUと同じ方向。Xｴ軸とX軸、Y軸、Z軸の成す角度をφ、θ、ψとするとXｴ軸の方向余弦　l ,m ,nは
　　　l＝cosφ＝Vx/V
　　　m＝cosθ＝Vy/V
　　　n＝cosψ＝Vz/V
同様にYｴ軸の方向余弦を　lｴ,mｴ,nｴ　Zｴ軸の方向余弦を　l″,m″,n″とすると変換Ｃは
　　　

（２）　Xｴ軸方向へのローレンツ変換
　　　前述のU方向へのローレンツ変換の結果を使用する。(5)(6)よりＬを行列で表現すると
　　　　　
　　　ＣにU方向（＝Xｴ軸方向）へのローレンツ変換を施すとＬＣは
　　　　　
（３）　Oｴー XｴYｴZｴの座標値をOーXYZの座標値に変換