球　対　称　星 

１. 球対称な時空のメトリック

前章までは弱い重力場を取り扱ってきた。ここでは一般相対論に於ける強い重力場の例として球対称な系を考える。球対称な系だから球面座標系で考える。

デカルト座標系と球面座標系との間には次の関係がある。
　　ｒ＝（Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²）^1/2　，　θ＝ｔａｎ^-1（（Ｘ²＋Ｙ²）^1/2／Ｚ）　，　φ＝ｔａｎ^-1（Ｙ／Ｘ）
　 Ｘ＝ｒsinθcosφ　，　Ｙ＝ｒsinθsinφ　，　Ｚ＝ｒcosθ
時間ｔは両方の系とも同じである。 この球面座標系での線要素は
　　◆　ｄｓ²＝ーｄｔ²＋ｄｒ²＋ｒ²（ｄθ²＋ｓｉｎ²θｄφ²）　　　・・・・・　（１） である。これを基に強い重力場でのメトリックを求める。式（１）の導出法は付録１：球面座標系での線要素を参照

　

(1) 球対称の条件１

式（１）に於いて、ｄｔ＝ｄｒ＝０である時にθ、φが変化しても二次元球、つまりその線要素が
　　　ｄｌ²＝ｒ²（ｄθ²＋ｓｉｎ²θｄφ²）＝ｒ²ｄΩ² で表される二次元球面の上に対象となる時空の各点が存在しなければならない。従ってメトリックのθ成分ｇ_θθは
ｇ_θθ＝ｒ²　，　φ成分ｇ_φφは ｇ_φφ＝ｒ²ｓｉｎ²θ である。このような球では円周の長さは２πｒで、面積は4πｒである。

(2) 球対称の条件２

θ＝一定　，φ＝一定の線は二次元球に直交しているので _r・_θ＝０　， _r・_φ＝０が成り立ち、メトリックの定義により
　　　ｇ_ｒθ＝ｇ_ｒ'θ'＝０　，  ｇ_ｒφ＝ｇ_ｒ'φ'＝０ 又は空間座標の変換によっても線要素の式は不変である。式で表すと
（ｔ，ｒ，θ，φ）→（ｔ，ーｒ，θ，φ） と座標変換してもメトリックは変わらないという条件により、(3) と同じ方法で
　　　ｇ_ｒθ＝ｇ_ｒ'θ'＝０　，  ｇ_ｒφ＝ｇ_ｒ'φ'＝０ 　， ｇ_θφ＝ｇ_θ'φ'＝０ を導く事が出きる。

(3) 球対称の条件３

静的な時空である。静的な時空とは次の二つの性質をもった時間座標ｔの存在する時空の事である。 座標変換（ｔ，ｒ，θ，φ）→（-ｔ，ｒ，θ，φ）では変換行列ΛはΛ⁰_0'＝−１、Λⁱ_j'＝δⁱ_j'だから 　　　ｇ_0'0'＝（Λ⁰_0'）²ｇ₀₀＝ｇ₀₀
　　　ｇ_0'i'＝Λ⁰_0'Λⁱ_i'ｇ_0i＝ーｇ_0i
　　　ｇ_i'i'＝（Λⁱ_i'）²ｇ_ii＝ｇ_ii
幾何学は不変なので　ｇ_0'i'＝ｇ_0i これと、上の第二式よりｇ_0'i'＝ｇ_0i＝０となる。

以上により、静的で球対称的な星のメトリックは
　　　◆　ｄｓ²＝ーｅ^2φｄｔ²＋ｅ^2Λｄｒ²＋ｒ²ｄΩ²・・・・・　（２）

φ及びΛはｒの関数である。これは ｇ₀₀＜０ と ｇ_rr＞０ が全ての点で成り立つ場合には可能である。この条件は星の内部では成り立っているが、ブラックホールでは破れている。星から十分離れた所では時空は平坦と見なして良いから
　　　φ（ｒ）＝Λ（ｒ）＝０　→　ｅ^2φ＝ｅ^2Λ＝１

２. アインシュタインテンソル

１．でメトリックが決定したので次の手順で、球対称星でのアインシュタインテンソルを計算する事が出来る。
　　　�@メトリックの逆行列及び微分を計算。
　　　�Aクリストッフェル記号を計算。
　　　�Bリーマン曲率を計算。
　　　�Cリッチテンソル及びリッチスカラーを計算。
　　　�Dアインシュタインテンソルを計算。 この計算の過程は、既に「曲った時空　付録３：曲率に関する情報の実例の（４）」で計算しているのでそこを参照。この結果、球対称星でのアインシュタインテンソルは次の様になる。
　　　◆　Ｇ_tt ＝ （ｒーｒｅ^-2Λ）・・・・・　（３）
　　　◆　Ｇ_rr ＝ ーｅ^2Λ／ｒ²＋１／ｒ²＋２φ'／ｒ・・・・・　（４）
　　　◆　Ｇ_θθ ＝ ｒ²ｅ^-2Λ（φ''＋（φ'）²-φ'Λ'＋φ'／ ｒーΛ'／ｒ）・・・・・　（５）
　　　◆　Ｇ_φφ ＝ ｓｉｎ²θＧ_θθ・・・・・　（６）

３. アインシュタイン方程式

静的な完全流体を源とするアインシュタイン方程式を求める。
局所慣性系から一般の座標系（＝非局所慣性系）への座標変換行列をΛ^α_α' とする。（プライムの付いている方が局所慣性系）
　　　ｇ^αβ＝Λ^α_α'Λ^β_β'η^α'β'　，　ｇ⁰⁰＝（Λ⁰_0'）²η^0'0' 　　　従って
　　　Λ⁰_0'＝ｅ^-φ　　　（　∵ ｇ⁰⁰＝-ｅ^-2φ ，η^0'0'＝−１　だから　）

(1) ストレスーエネルギーテンソル

流体が運動してない静的な完全流体を源とする星では、流体の四元速度  のゼロでない成分はただ一つ Ｕ⁰ である。ＭＣＲ系（＝局所慣性系）ではこの成分は（１，０，０，０）である。この成分を先に求めた座標変換行列Λで一般の座標系（＝非局所慣性系）へ座標変換すると、（ｅ^-φ，０，０，０）になる。完全流体の、一般座標系でのストレスーエネルギーテンソルは 　　　Ｔ^αβ ＝ （ρ＋Ｐ）Ｕ^αＵ^β＋Ｐｇ^αβ
であった。この式からＴ⁰⁰，Ｔ¹¹，Ｔ²²　，Ｔ³³を求めると （他の成分はゼロ） 　　　Ｔ⁰⁰＝ρｅ^-2φ ， Ｔ¹¹＝Ｐｅ^-2Λ ， Ｔ²²＝Ｐ／ｒ² ， Ｔ³³＝Ｐ／ｒ²ｓｉｎ²θ アインシュタインテンソルの添字の位置が下付けなので、Ｔも下付けにする。
　　　Ｔ_αβ＝ｇ_αμｇ_βνＴ^μν μ≠ν なら Ｔ^μν＝０ だから μ＝ν だけを計算すればよい。Ｔ_αβ＝ｇ_αμｇ_βμＴ^μμ
α≠μ なら ｇ_αμ＝０，β≠μ なら ｇ_βμ＝０。従って α＝β＝μ だけを計算すればよい。Ｔ_αα＝（ｇ_αα）²Ｔ^αα　 　　　◆　Ｔ₀₀＝（−ｅ^2φ）²ρｅ^-2φ＝ρｅ^2φ ・・・・・　（７）
　　　◆　Ｔ₁₁＝（ｅ^2Λ）²Ｐｅ^-2Λ＝Ｐｅ^2Λ ・・・・・　（８）
　　　◆　Ｔ₂₂＝（ｒ²）²（Ｐ／ｒ²）＝Ｐｒ² ・・・・・　（９）
　　　◆　Ｔ₃₃＝（ｒ²ｓｉｎ²θ）²（Ｐ／ｒ²ｓｉｎ²θ）＝Ｐｒ²ｓｉｎ²θ＝ｓｉｎ²θＴ₂₂ ・・・・・　（１０）

(2) 保存則

保存則は
　　　Ｔ^αβ_；β＝Ｔ^αβ_，β＋Γ^α_μβＴ ^μβ＋Γ^β_μβＴ^αμ＝０ である。これはフリーな添字αの各値に対しての四つの式である。α＝０，２，３に対しては恒等的にゼロになる。（各項がゼロか又は項同士が打ち消し合ってゼロになる）
α＝１に対しては対称性から恒等的にはゼロにならない。それを計算すると （ クリストッフェル記号Γの計算は「曲った時空　付録３：曲率に関する情報の実例の（４）」を参照 ） 　　（ρ＋Ｐ）φ^'＋Ｐ^'＝０　　即ち
　　　◆　（ρ＋Ｐ） ＝ ー ・・・・・　（１１）

(3) アインシュタイン方程式

Λ(ｒ)を次の様な未知の関数ｍ(ｒ)で定義すると計算の都合が良くなる。
　　　◆　ｍ(ｒ)＝ｒ(１−ｅ^-2Λ)　，　(ｅ^2Λ＝) ・・・・・　（１２） 式（３）と式（７）と式（１２）からアインシュタイン方程式の（０，０）成分が求められる。
　　　Ｇ₀₀＝ｅ^2φ[ｒ(１-ｅ^-2Λ)]＝ｅ^2φ[２ｍ(ｒ)]＝８πＴ₀₀＝８πρｅ^2φ 　　　∴　＝４πｒ²ρ ・・・・・　（１３） となる。これはｍ(ｒ)が半径ｒの球の質量だとするニュートン的方程式と同じ形である。
式（４）と式（８）から（ｒ，ｒ）成分の方程式は
　　　Ｇ_rr＝-ｅ^2Λ＋φ^'＝８πＴ_rr＝８πＰｅ^2Λ　→　φ^'＝ｅ^2Λ（＋８πＰ） 式（１２）から ｅ^2Λ＝　なので、 ＝  （） 　　　∴　＝ ・・・・・　（１４）

４. 外　部　時　空

星の外側では ρ＝Ｐ＝０ だから、式（１３）及び式（１４）は
　　　 ＝ ０　，　 ＝  上の二つの微分方程式の解は
　　　ｍ（ｒ） ＝ Ｍ ＝ 一定　　　　ｅ^2Λ ＝  ＝ 
 ＝  ＝  （  ー  ）　　両辺を積分して ２φ＝ｌｏｇ（ｒ−２ｍ）−ｌｏｇ ｒ＝ｌｏｇ 
　　　∴　ｅ^2φ＝１−＝１− となる。この外部のメトリックはシュワルツシルト・メトリックと呼ばれる。
　　 ◆　ｄｓ²＝ー ( １− ）ｄｔ²＋（  ）ｄｒ²＋ｒ²ｄΩ²・・・・・　（１５） これが球対称星の外部時空での線要素及びメトリックである。ｒが十分大きい時には
　　 ｄｓ²  ー ( １− ）ｄｔ²＋（ １＋ ）ｄｒ²＋ｒ²ｄΩ² 【シュワルツシルトの半径】
【バーコフの定理】

５. 星　の　内　部　構　造

星の内部ではＰ≠０、ρ≠０なので式（１１）をＰ＋ρで割り式（１４）を使ってφを消去出来る。
　　　◆　＝ー ・・・・・　（１６） これをオッペンハイマー-ヴォルコフ（Ｏ-Ｖ）方程式という。 (1)星の中心と表面での値
(2)ニュートン的な星の構造

６. 星の内部の厳密解

与えられた状態方程式に対して式（１３）、（１７）等を解析的に解く事はたいへん難しい。しかし、ρ＝一定にしたり、Ｐとρの関係を現実に沿って与えてやると解く事が出来る。ここではシュワルツシルトによるものと、ブハダールによるものを調べる。 (1)シュワルツシルトの密度一定の内部解

(2)ブハダールの内部解

７. 恒　星　の　進　化

白色矮星、中性子星、ブラックホールがどのように形づくられるかを知るには星のライフサイクルを理解しておかねばならない。星は星間ガスが重力で凝集し、核融合反応が始まり高温になって輝き始める。核融合反応によってヘリウム、炭素、酸素・・・鉄等の元素が段階的に次々作られていく。星が燃え尽き、終末になると表層の物質は爆発又は流出によって星間ガスに戻っていく。星の中心部分は白色矮星、中性子星、ブラックホール等といった非常に高密度で輝きのない天体へと変わっていく。
(1)星の誕生
(2)主系列時代
(3)赤色巨星、水平分枝時代
(4)星の終末

８. フェルミ縮退圧

(1) 量子力学的圧力

粒子の運動量をＰとする。Ｐの不確定さを△Ｐ、位置の不確定さを△Ｘとすると、ハイゼンベルクの不確定原理により
△Ｐ△Ｘ＝ｈ が成り立つ（ｈはプランク定数）。△Ｘを一辺とする微小な立方体の体積を△Ｖとすると、 △Ｘ＝△Ｖ^1/3 だから
　　　△Ｐ＝ｈ△Ｖ^-1/3 が成り立つ。△Ｘが小さくなると、△Ｐが大きくなり、それにつれＰも大きくなる。これが量子力学的圧力（＝フェルミ縮退圧、又は単に縮退圧）の源である。核融合反応が活発であった星は、その膨張圧力で星の重力を支えていたが、核融合反応が終了した星は温度を下げながら収縮に向かう。そして重力と縮退圧が釣り合う所まで温度を下げ収縮する。 電子の運動量がＰとＰ＋ｄｐの間にある時、運動量空間では、球の表面積は４πＰ²、殻の厚みはｄｐだから、体積は４πＰ²ｄｐになる。フェルミ粒子はパウリの排他原理により、複数の電子が同一の状態（例えばエネルギーの一番低い状態）を取る事が出来ないので、又恒星が球状なので運動量空間も球状になる。 ４πＰ²ｄｐを０からＰ_fまで積分した球殻をフェルミ球、最大の運動量Ｐ_f（＝フェルミ球の半径）をフェルミ運動量、その時のエネルギーをフェルミエネルギーという。 電子が一辺の長さ1x10^-11mの直方体の狭い空間に閉じ込められた時（原子の直径は1x10^-10m）の運動量は 6.6ｘ10^-23Kg・m/sになる。電子の速度は7.25x10⁷ m/sになる。（光の速さは3x10⁸m/s）。フェルミ運動量は電子の運動量より少し大きい値になる。付録６：フェルミ縮退した気体の諸量の計算を参照

体積４πＰ²ｄｐの領域に含まれる、体積（△Ｐ）³の状態の数は ４πＰ²ｄｐ／（△Ｐ）³＝４πＰ²ｄｐ△Ｖ／ｈ³
電子はスピン １/２ で、各運動量状態には二つのスピン状態（”上向き”と”下向き”）がある。 従って状態の数は二倍になる。
　　　 個の状態があり、それが体積△Ｖの領域にあって、ＰとＰ＋ｄｐの間の運動量を持つ事の出来る電子の最大の数である。上の式を積分すると
　　　　　，　　　とおくと（ｎは粒子数密度） 　　　◆　　　，　　　・・・・・　（２６） フェルミ運動量（＝Ｐ_f）は粒子の質量ではなくて、単位体積当たりの粒子数（＝粒子数密度）に依存している事が分る。
電子の質量をｍとすると、１個の電子は相対論的エネルギー Ｅ＝（Ｐ²＋ｍ²）^1/2 をもっている。そうした気体中では全エネルギー E_TOTAL は
　　　E_TOTAL＝ＮxＥ＝Ｖ 全エネルギー密度 ρ は
　　　◆　ρ＝E_TOTAL／Ｖ＝　・・・・・　（２７） E_TOTALをＶで微分すると
　　　ｄE_TOTAL／ｄＶ＝Ｖ （ ）  ＋
　　　　　　　　　　　　＝Ｖ   ＋ρ 今扱っている系は閉じた系だから、圧力Ｐは熱力学の第一法則で△Ｑをゼロにして求める事が出来る。
　　　Ｐ＝ｄE_TOTAL／ｄＶ＝ーＶ   ーρ ＝　，　　だから　Ｖ＝ーＰ_f／３　従って 　　　Ｐ＝ ーρ が得られる。気体が狭い空間に押し込められると気体は相対論的になる。その結果 Ｐ_f≫ｍ となるので、（２７）と上の式は
　　　◆　ρ  　　，　　Ｐ   ーρ　・・・・・　（２８） 上の二つの式より、下記の式が成り立つ。
　　　◆　Ｐ  ρ　・・・・・　（２９） これらの具体例は付録６：フェルミ縮退した気体の諸量の計算を参照

(2) チャンドラセカール限界

普通の星が圧縮されると、電子が原子核からの束縛を受けなくなって、電子と原子核の２種類の気体が存在するようになる。それらの気体は同じ温度で、粒子あたりのエネルギーは同じである。白色矮星までの密度の星については、ニュートン力学による 球対称の星の重力平衡の式（１７）が 釣り合いの方程式として用いられる。一方、中性子星のような、非常に高密度の星の重力平衡については、釣り合い式を 一般相対論まで拡張しなければならない。重力と電子の縮退圧が釣り合った星が理論上持ち得る上限の質量をチャンドラセカール限界質量という。白色矮星は電子の縮退圧で支えられている星である。 チャンドラセカール限界質量の大よその目安を計算する。星の質量密度をρとすると
　　　◆　ρ＝μｍ_pｎ_e 　・・・・・　（３０） μ＝原子核の核子数／電子数（１ or ２程度の値）、ｍ_pは陽子の質量（陽子の質量は電子の質量の１８３６倍だからは陽子の質量を用いる）、ｎ_eは電子数密度。式（２６）、（２８）、（２９）、（３０）より次の式が成り立つ。（Ｐは圧力）
　　　◆　Ｐ＝ｋρ^4/3　，　ｋ＝ 　＝１５１．３１６ ｍ^2/3　・・・・・　（３１） ニュートン的な星の構造を決める式は（１３）及び（１７）である。それらを積分すると
　　　Ｍ＝４πＲ³ρ／３　，　Ｐ＝ρＭ／Ｒ 上の二つの式からＲを消去すると、Ｍ＝　　式（３１）より、 Ｐ³／ρ⁴＝ｋ³だから 　　　∴　Ｍ＝ 距離化単位で、μ＝１としてＭを計算すると
　　　Ｍ＝１．８７x１０³ｍ＝１．２７Ｍ_s　　（Ｍ_s：太陽の質量＝１．４７７x１０³ｍ） この値は、重力が冷たい非相対論的な原子核気体に起因している時、相対論的な電子気体で支え得る最大質量の大体の目安を与えている。この値をチャンドラセカール限界質量と呼ぶ。この値より重い星は電子の圧力では支えきれず、白色矮星にはなり得ない。白色矮星と連星をなす伴星からのガス吸収により質量がチャンドラセカール限界をを超えると、超新星爆発を起こし超新星になるか、中性子星になると考えられている。

(3) トルーマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ限界

重力と中性子の縮退圧が釣り合った星が理論上持ち得る上限の質量をトルーマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ限界質量という。これは白色矮星におけるチャンドラセカール限界と同様である。中性子星は中性子が冷たく、縮退したフェルミガスから成るので、(1) 量子力学的圧力の議論がそのまま通用する。トルーマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ限界質量は、太陽質量の1.5倍から2.5倍の範囲にあると考えられている。この限界質量を超えると中性子星が重力崩壊し、直接ブラックホールになると推測される。尚、中性子星の形成過程は７. 恒　星　の　進　化　・ 中性子星を参照

付録１：球面座標系での線要素

デカルト座標でのメトリックから球面座標でのメトリックへの変換は次の式に従う。
　　　ｇ_α'β'＝Λ^α_α'Λ^β_β'η_αβ Λ^α_α'（又はΛ^β_β'）は変換行列である。
　　　Λ^α_α'＝∂ｘ^α／∂ｘ^α'　（ｘ^α＝ｔ，ｘ，ｙ，ｚ　　ｘ^α'＝ｔ，ｒ，θ，φ）
　　　Ｘ＝ｒsinθcosφ　，　Ｙ＝ｒsinθsinφ　，　Ｚ＝ｒcosθ
　　　
α≠βなら、η_αβ＝０ だから α＝β だけを計算すれば良い。　　ｇ_α'β'＝Λ^α_α'Λ^α_β'η_αα
　　　ｇ_tt＝（Λ^t_t）²η₀₀＋（Λ^x_t）²＋（Λ^y_t）²＋（Λ^z_t）²＝−１
　　　ｇ_rr＝（Λ^t_r）²＋（Λ^x_r）²＋（Λ^y_r）²＋（Λ^z_r）²＝sin²θcos²φ＋sin²θsin²φ＋cos²θ＝１
　　　ｇ_θθ＝（Λ^t_θ）²＋（Λ^x_θ）²＋（Λ^y_θ）²＋（Λ^z_θ）²＝ｒ²cos²θcos²φ＋ｒ²cos²θsin²φ＋ｒ²sin²θ＝ｒ²　　　　　　　
　　　ｇ_φφ＝（Λ^t_φ）²＋（Λ^x_φ）²＋（Λ^y_φ）²＋（Λ^z_φ）²＝ｒ²sin²θsin²φ＋ｒ²sin²θcos²φ＝ｒ²sin²θ
　　　ｇ_tr＝ｇ_tθ＝ｇ_tφ＝ｇ_rt＝ｇ_θt＝ｇ_φt＝０　，　ｇ_rθ＝ｇ_rφ＝ｇ_θr＝ｇ_φr＝０　，　ｇ_θφ＝ｇ_φθ＝0
ｄｓ²＝ｇ_α'β'ｄｘ^α'ｄｘ^β' であるから故に
　　　ｄｓ²＝ーｄｔ²＋ｄｒ²＋ｒ²（ｄθ²＋ｓｉｎ²θｄφ²）

付録２：重力による時間の遅れ

ある重力場の１点で静止し、時間だけが経過している点では、ｄｘ＝ｄｙ＝ｄｚ＝０ だから、その線要素は
ｄｓ²＝−ｄτ²＝ｇ_αβｄｘ^αｄｘ^β  となる（特殊相対論入門　６．時間の遅れと固有時間と曲線座標系　４. メトリックテンソルを参照）。従って固有時間 ｄτ は ｄτ＝ｄｔ になる。時空が平坦な場合、ｇ₀₀＝−１ なので ｄτ＝ｄｔ
シュワルツシルトの外部解では ｇ₀₀＝−（１ー２Ｍ／ｒ） だから、ｇ₀₀≧−１　（−ｇ₀₀≦１）　ｒ（＝動径）が小さいか又はＭ（＝質量）が大きい時、つまり重力場が強い時 −ｇ₀₀ は０に近づくので、ｄτ≦ｄｔ となり、重力場が強いと時間の進み具合が、時空が平坦な場合に比べて遅くなる。

ｇ₀₀ を地球の場合と太陽の場合について計算してみる。
地球の場合、Ｍ＝4.435x10^-3ｍ（距離化単位　SI単位の場合:5.973x10²⁴Kg）　ｒ＝6.731x10⁶ｍ → ｇ₀₀＝-１+1.39x10^-9
太陽の場合 ｇ₀₀＝-１+4.244x10^-6  となり、両者とも時間の遅れは殆んど感じられない。
ブラックホールになるのは（ｒ＜２Ｍ）、地球の場合、半径が0.9ｃｍ、太陽の場合3Ｋｍである。
地球の半径が1.2ｃｍになったら、ｇ₀₀＝-0.2608、ｄτ＝0.5ｄｔ が導かれ、地球上の時間の経過は平坦な時空の時間の経過に比べ半分になる。

付録３：赤　方　偏　移

列車が近づく時、音の調子は高くなり、遠ざかる時、音の調子は低くなる。これは近づく時、音の振動数が増え（＝波長が短くなる）、遠ざかる時、音の振動数が減り（＝波長が長くなる）為である。この現象をドップラー効果という。光の場合にも似たような事があり、光のドップラー効果と呼ばれている。しかし光はどの観測者に対しても同じ速さで進むので、音のドップラー効果とは本質的な違いがある。光のドップラー効果は、光源とこれに対して相対的に動いている観測者の時間の進み方が違う事に原因している。重力場の中を走っている光子は、重力ポテンシャルに逆らって運動している為、エネルギーが減少し波長が長くなり（＝振動数が少なくなる ）、重力赤方偏移が起こる。

(1) 音のドップラー効果

Ｖ：音速　，　ｖ：音源の速度　，　ｕ：観測者の速度
Ｎ₀：音源が静止いる時の振動数
λ₀：音源が静止いる時の波長 （ λ₀ ＝Ｖ／Ｎ₀）
λ：音源が速度ｖで運動している時の波長 （ λ＝（Ｖーｖ）／Ｎ₀ ）
Ｎ：速度ｕで運動している観測者が受け取る振動数
とすると、音のドップラー効果は 　　　Ｎ＝　　　（ ｖ ＞ ｕ なら高く聞こえ、ｖ ＜ ｕ なら低く聞こえる ）

(2) 光のドップラー効果

系Ｏ'が系Ｏに対してＸ軸方向に速度ｖで動いているとする。系Ｏでの光子は、振動数がνで、系ＯのＸ軸に対して角度θで運動している時、系Ｏ'での光子の振動数ν'を求める。
系Ｏでの光子の四元運動量は （Ｅ，Ｅｃｏｓθ，Ｅｓｉｎθ，０） である。系Ｏ'での光子の四元運動量の第０成分をＥ'とすると、速度ｖのローレンツ変換によりＥ'は
　　　Ｅ'＝(ＥーｖＥｃｏｓθー０・Ｅｓｉｎθ)／ Ｅ＝ｈν　，　Ｅ'＝ｈν' （ｈはプランク定数） の関係があるので
　　　ν'＝ν(１ーｖｃｏｓθ)／ が成り立つ。θの値が

(3) 重力赤方偏移

重力赤方偏移とは、重力場の中を重力の強い方から、弱い方に走っている光のスペクトルが赤色の方にズレル（＝光の波長が長くなる＝振動数が減る）現象である。光子の赤方偏移の量 ｚ を次の様に定義する。
　　　ｚ＝  ＝  ＝ −１ 　　　λ　，ν　： 星の中心からｒ₁だけ離れた点Ｐで、放出された光子の波長と振動数 　　　λ' ，ν' ： 星の中心からｒ₂だけ離れた点Ｑでの、点Ｐで放出された光子の波長と振動数
第三等号の右辺は λν＝λ'ν'＝１（＝光速） より導かれる。
重力赤方偏移の現象は二つの方法で説明が付く。一つは光子が重力に逆らって運動しているのでエネルギーが減少し赤方偏移が起こる。二つ目は、二つの地点の重力の強さの違いでの、固有時間の違いによるものである。（付録２：重力による時間の遅れを参照） ・ エネルギー減少による説明
・ 固有時間の違いによる説明

付録４：ポリトロープ

ポリトロープとは宇宙物理学、流体力学に於いて、圧力と密度に Ｐ＝Ｃρ^1+1/n の関係を満たし、力学平衡にある球対称な流体の事である。
　　　（Ｐ：圧力、ρ：密度、Ｃ：任意の定数、ｎ：ポリトロープ指数）

球対称で静水圧平衡が成り立つ様な系では、圧力勾配による外向きの力と、万有引力による内向きの力が釣り合うので

　　　＝ー ｍ：半径ｒの球の中に含まれる質量

が成立する。 上の式に　ｒ²　を掛け、ｒ　で微分すると

　　　＝ー４πｒ²ρ

ポリトロープの質量密度ρと圧力Ｐの関係式で、　Ｐ＝Ｃρ²（ポリトロープ指数ｎを１とする）　を仮定すると

　　　　　なので 　　　＋２πｒ²ρ＝０　　＝０　

ρ＝１２（Ｐ_*Ｐ）^1/2　と　Ｐ＝Ｃρ²より　Ｃ＝　、Ａ²＝＝２８８Ｐ_*π　とおくと、上の式は

　　　＋Ａ²ρ＝０　　＋Ａ²ρｒ＝０ 上の微分方程式の解は　ρ＝α　である。星の中心では　＝１　なので、α＝ρ_c（星の中心の質量密度）
　　　∴　ρ＝ρ_c　，　Ｐ＝ρ²／（１４４Ｐ_*）＝Ｃρ² 次に星の半径と全質量を求める。星の表面では密度ρが０になるから、ｓｉｎＡｒ＝０　→　ｒ＝π／Ａ 　　　∴　星の半径　Ｒ＝π／Ａ＝＝

星の全質量Ｍは
　　　Ｍ＝ ４πρｒ²ｄｒ＝４πρ_c  ｒ²ｄｒ＝ρ_c ｒｓｉｎＡｒｄｒ

∫ｒｓｉｎＡｒｄｒ＝ ｓｉｎＡｒー ｃｏｓＡｒ　だから

半径ｒの質量ｍは
　　　ｍ＝ （ｓｉｎＡｒ／ＡーｒｃｏｓＡｒ）

全質量 Ｍ は ｒ＝Ｒ＝π／Ａ の時だから、上の式の ｒ にπ／Ａを代入して
　　　∴　星の質量　Ｍ＝  ρ_c＝ρ_c（２πＣ³）^1/2

【例】　電子の粒子数密度より、白色矮星の質量密度、圧力、質量及び半径を求める。

付録５：シュワルツシルトの内部解（密度一定）

星の質量、半径、質量密度及び圧力を求める時、左記の情報のうち二つが分かっていれば、あとの二つはその情報を基に計算する事が出来る。下記の４つの条件の星について質量、半径、質量密度及び圧力を求める。

�@太陽のような星

�A密度が10¹⁷Kg/m³、圧力が10³³Kg/ms²の中性子星（単位はSI単位）
�B質量が太陽と同じで、半径が10Kmの典型的な中性子星
�C電子の粒子数密度が10³⁷個/m³である白色矮星
距離化単位をSI単位に変換して表にまとめると

質　　　  量  SI単位:Kg　距離化単位:m  半　　　  径  m   質　　量　　密　　度   SI単位:Kg/m3　距離化単位:/m2   圧　　　　　力   SI単位:Kg/ms2　距離化単位:/m2   �@   1.99x1030　1.48x103 6.96x108  1.41x103　　　1.05x10-24  　1.35x1014　　1.10x10-30   �A   4.56x1030　3.39x103 2.22x104  1.00x1017　　　7.425x10-11  　1.00x1033　　8.25x10-12   �B   1.99x1030　1.48x103 1.00x104  4.75x1017　　　3.53x10-10  　4.52x1033　　3.73x10-11   �C   3.46x1030　2.57x103 2.92x106  3.35x1010　　　2.48x10-17  　1.33x1024　　1.10x10-20

付録６：フェルミ縮退した気体の諸量の計算

粒子数密度を基に、フェルミ運動量、フェルミ速度・・・等の諸量を付録５の�A〜�Cの星に対して計算する。

�T.粒子数密度

�U.フェルミ運動量

�V.フェルミ速度

�W.フェルミエネルギー（非相対論的）

�X.フェルミ温度

�Y.フェルミエネルギー（相対論的）

�Z.気体の全エネルギー密度

付録５の�A〜�Cの星に対する，上記の計算結果を表にまとめると

粒子数密度 個/m3 フェルミ運動量 SI単位:Kgm/s　距離化単位:m フェルミ速度 m/s フェルミエネルギー（非相対論的） SI単位:Kgm2/s2　距離化単位:m   �A   5.98x1043 1.27x10-19　　3.15x10-55 7.60x107 4.83x10-12　　3.98x10-56   �B   2.84x1044 2.14x10-19　　5.29x10-55 1.28x108 1.36x10-11　　1.13x10-55   �C   1.00x1037 7.00x10-22　　1.73x10-57 7.67x108 2.69x10-13　　2.22x10-57

フェルミ温度 K フェルミエネルギー（相対論的） SI単位:Kgm2/s2　距離化単位:m 気体の全エネルギー密度 SI単位:Kg/m3　距離化単位:/m2   �A   3.50x1011 1.55x10-10　　1.28x10-54　　 1.87x1016　　1.39x10-11   �B   9.88x1011 1.64x10-10　　1.35x10-54 1.49x1017　　1.11x10-10   �C   1.95x1010 2.26x10-13　　1.86x10-57 1.73x107　　　1.28x10-20